第3章 勾股定理 练习题 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第3章 勾股定理 一、单选题 1．如图，在中，，，点是上的一点，连接，当，时，的长为（   ） A．6 B． C． D．10 2．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 3．以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（   ） A．3、4、5 B．1、2、2 C．1、、 D．8、15、17 4．如图，将绕点A顺时针旋转到，点E和点C是对应点，若，，则的长是（    ） A． B．2 C． D．4 5．如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在处，设，当落在的内部时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（   ） A． B．8 C．20 D． 8．如图，将绕着点A顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点D、E，点C、D、E恰好在一条直线上．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，四边形中，，E为射线上的动点，将线段绕A点顺时针旋转得到，则最小值 ． 10．如图，在直角三角形中，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处． ①的长为 ； ②当是直角三角形时，的长为 ． 11．如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，连接，则的长度为 ． 12．如图，是等腰直角三角形，，D是斜边的中点，，E、F分别是边、上，若，，则的面积为 ． 13．如图，在中，，是边上的中线，，若在射线上存在点，满足，且，则 ． 三、解答题 14．已知：如图，，，垂足分别为N，M，，与相交于点P． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．如图，在中，，，，D为的中点，过点D作交于点E，求的长． 16．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的长； (3)如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长． 17．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 18．如图①，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： (1)的度数是 　　；线段，，之间的数量关系是 　　； (2)如图②，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了勾股定理，含的直角三角形的性质，在中，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，在中，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解∶∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选∶C． 2．B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，，， ∵， ， 设，则 ， ． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足（为最长边），则为直角三角形。需逐一验证各选项是否满足该条件，同时检查是否能构成三角形． 【详解】选项A：最长边为5，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形； 选项B：最长边为2，验证，与不相等，不满足勾股定理。虽然三边满足三角形存在条件（如），但无法构成直角三角形； 选项C：最长边为，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形； 选项D：最长边为17，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形； 综上，选项B的三边不能组成直角三角形． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．根据旋转的性质可得，，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，， ∴，， 在中，， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题． 根据题意可证，可得，，根据勾股定理可得，的长，再根据勾股定理可得的长，即可求的面积． 【详解】解：是的平分线，于， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，． ， ∴，， ， ， 在中，， 的面积为． 故选：B． 6．D 【分析】当时，点落在上时，此时，当落在上时，得到解答即可． 本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点E， ∵，，， ∴，， ∴当P与点E时重合时，点落在上时，此时， ∴当落在上时，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据勾股定理并结合已知可得出，，根据完全平方公式变形可求出，，即可求解． 【详解】解：∵的周长等于14，正方形的边长是6， ∴，， ∴ ∴， 由题意知：， ∴， ∴正方形的面积为8， 故选：B． 8．C 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， 故选：C． 9． 【分析】将绕点顺时针旋转至，连接，可证得，从而得出，可得出，，从而得出，从而，故当点在处时，最小，从而，从而得出的最小值． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，连接，过点A作于点F，   ， ， ，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 当点在处时，最小，即的长度， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 10． 6或 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）先求出，，根据勾股定理求出结论； （2）根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，推出点E在上，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）在直角三角形中，，， ， ， ， ； 故答案为：； （2）∵点D是边上的一点， ∴， ∴当是直角三角形时，或， ①当时，则， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ②当时， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ∴点E在上，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为 6或， 故答案为：6或． 11． 【分析】先由含30度角的直角三角形的性质得到，由三角形内角和定理可得，由旋转的性质得到，证明是等边三角形，得到，则可证明是等边三角形，得到． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，连接，由题意可得，，，证明，得出，，即可推出为等腰直角三角形，求出，由勾股定理可得，从而可得，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵是等腰直角三角形，，D是斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想．过点作，交于点，过点作，交于点，根据题意分两种情况进行讨论，①当点在的延长线上时，②当点在线段上时，注意两种情况的取舍，先利用三角中线的性质得出相等的线段，通过证明三角形全等得出相等的线段和角，假设出未知数，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：①当点在的延长线上时，此时，令， 如图，过点作，交于点，过点作，交于点， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，不符合， 所以，此种情况不存在； ②当点在线段上时，此时，令，点为线段中点， 如图，过点作，交于点，过点作，交于点， 同①得，， ∴，，， 又∵，， ， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 假设，则，，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得，, 即， 解得，（负值已舍）， ， 故答案为：． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据题意证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由，可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：， ， ， ． 15．． 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．先连接，根据线段垂直平分线的性质，可得，然后设，由勾股定理可得方程，继而求得答案． 【详解】解：连接， ∵D为的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 16．(1) (2) (3) 【分析】设，在中，根据，构建方程即可解决问题； 首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题； 设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． 因为四边形是长方形， 所以． 设，则， 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以． （2）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得． 又因为， 所以． 因为交于点， 所以， 所以， 所以． 设，则． 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以． （3）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得， 所以． 又因为， 所以，所以， 所以． 又因为， 设，则， 所以． 在Rt中，，解得， 所以． 【点睛】此题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． 17．(1)1 (2) (3)2或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 18．(1)， (2)，见解析 【分析】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先判断出，即可判断出，即可得出，即可得出； （2）先证，推出，根据是等腰直角三角形，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：由旋转可知， ，． ，， 是等边三角形， ∴，， ∵ ， ． 在和中， ， ， ，， ， 即． 故答案为：，； （2）解：． ∵，， ∴， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$