第09讲 三角形全等的判定（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪科版2024）

第09讲 三角形全等的判定（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.基本事实“边角边”或“SAS” 2.基本事实“角边角”或“ASA” 3.基本事实“边边边”或“SSS” 4.“角角边”或“AAS” 5.用尺规作一个角等于已知角 6.“斜边、直角边”或“HL” 题型巩固 一、用SAS证明三角形全等 二、全等的性质和SAS综合 三、用ASA证明三角形全等 四、用SSS证明三角形全等 五、全等的性质和SSS综合 六、三角形的稳定性及应用 七、用AAS证明三角形全等 八、尺规作图——作三角形 九、用HL证全等 十、全等的性质和HL综合 十一、添加条件使三角形全等 十二、灵活选用判定方法证全等 十三、倍长中线模型 十四、全等三角形综合问题 分层强化 一、单选题（9） 二、填空题（4） 三、解答题（10） 知识梳理 知识点1.基本事实“边角边”或“SAS” 1. 基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 2. 书写格式：如图14.2-1， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， 把三个条件按顺序排列，并用大括号将其括起来 ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(SAS). 知识点2.基本事实“角边角”或“ASA” 1. 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 2. 书写格式：如图14.2-4， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA). 知识点3.基本事实“边边边”或“SSS” 1. 已知三边作三角形 要求 作法 图示 用直尺和圆规作△ABC， 使AB＝c，AC＝b，BC＝ ①作线段BC＝， ② 分别以点B，C为圆心，c，b的长为半径画弧，两弧相交于点A； ③连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形 2. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的依据. 知识点4.“角角边”或“AAS” 1. 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 2. 书写格式：如图14.2-6， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(AAS). 3.“ASA”和“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，“AAS”可由“ASA”推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 知识点5.用尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图14.2 - 10 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明. 作法：(1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D； (2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； (3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′； (4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图14.2-10 ②). 证明：连接CD，C′D′. 由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′； 由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′， ∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS). ∴∠AOB=∠A′O′B′. 知识点6.“斜边、直角边”或“HL” 1. 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2. 书写格式：如图14.2-14， 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′(HL). 3. 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角形 两边(SS) SSS 或SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等 一边及其邻角(SA) SAS 或ASA或AAS 可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等 锐角三角形或钝角三角形 一边及其对角(SA) AAS 可证另一角对应相等 两角(AA) ASA 或AAS 可证两角的夹边对应相等或证一相等角的对边对应相等 直角三角形 一锐角(A) ASA 或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边(L) HL 或ASA 或AAS 或SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等 题型巩固 题型一、用SAS证明三角形全等 1．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ， 用“”证明，则还需添加 故选： 2．如图，，，垂足分别为，，，，点为边上一动点，当 时，形成的与全等． 【答案】2 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】当BP=2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC=6可得CP=4，进而可得AB=CP，BP=CD，再结合AB⊥BC、DC⊥BC可得∠B=∠C=90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD． 【详解】解：当BP=2时，Rt△ABP≌Rt△PCD， ∵BC=6，BP=2， ∴PC=4， ∴AB=CP， ∵AB⊥BC、DC⊥BC， ∴∠B=∠C=90°， 在△ABP和△PCD中 ， ∴△ABP≌△PCD（SAS）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键． 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，，、交于点．在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并证明． 【答案】；证明见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，然后根据证明即可． 【详解】证明：，理由如下 ， 即， 在和中， ． 题型二、全等的性质和SAS综合 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在和中，，连接，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．大小关系不确定 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．先证明，根据可得，进而根据全等三角形的性质可得答案． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 故选A． 5．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，与相交于点，且，，，则、两点间的距离为 ． 【答案】200 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．根据题意可得，可证明，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即则、两点间的距离为． 故答案为：200 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知点B，C在线段上，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，根据平行线的性质、线段的和差求出，由“”可证，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明： ． ． 在和中， ， 题型三、用ASA证明三角形全等 7．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在梯形中，，，，若，，，则的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用平行线的性质求得，再证明得出，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5． 8．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D是边上一点，，，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 证明≌，得出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 题型四、用SSS证明三角形全等 9．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，可直接利用“”判定（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定定理有，，，．根据已知条件和全等三角形的判定定理结合图形得出选项即可． 【详解】解：根据，，可以推出，理由是， 其余是错误的，不能直接用定理推出，和不全等， 故选：C． 10．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是 ． 【答案】三边对应相等的三角形是全等三角形 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记定理内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴判断三角形全等的依据是：三边对应相等的三角形是全等三角形 故答案为：三边对应相等的三角形是全等三角形 11．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，点在同一条直线上，且，求证：． 【答案】见详解 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定定理证得结论． 【详解】证明：∵， ∵在和中， ∴． 题型五、全等的性质和SSS综合 12．（22-23八年级上·安徽黄山·阶段练习）如图，，分别为、的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】证明和，得到：，，再利用，即可得解． 【详解】解：在和中， ∴， ∴， 又∵，分别为的中点， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键． 13．如图所示，在中，，，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． 先证明可得，然后根据平角的性质即可解答． 【详解】解：在和中，，，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知：如图，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是利用已知条件，依据全等三角形判定定理证明三角形全等，再根据全等三角形性质和角的关系证明平行． （1）根据已知边相等的条件，利用“边边边（）”判定定理证明． （2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，得到内错角相等，从而证明． 【详解】（1）证明： ，， ， 在和中， ， ∴（）； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 题型六、三角形的稳定性及应用 15．下列图形中，不具有稳定性的图形是(    ) A．平行四边形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可判断． 【详解】平行四边形属于四边形，不具有稳定性，而三角形具有稳定性，故A符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了多边形和三角形的性质，解题的关键是记住三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性． 16．（24-25七年级下·上海长宁·期末）桥梁拉杆、电视塔架底座等都有三角形结构，这样设计的数学原理是利用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，根据三角形的稳定性作答即可． 【详解】解：桥梁拉杆、电视塔架底座等都有三角形结构，这样设计的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 17．如图是一个四边形木架． (1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是 ； (2)若平分，且，求四边形木架的周长． 下面是（2）的解答过程，请大家补充完整： 解：∵平分， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴（ ）， ∴四边形木架的周长为． 【答案】(1)三角形的稳定性 (2)，全等三角形的对应边相等 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的稳定性等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）由平分，得，再证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形木架加上木条后，四边形由和拼接而成， ∵三角形具有稳定性， ∴此时木架不易变形， 故答案为：三角形的稳定性； （2）解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴四边形木架的周长为， 故答案为：，全等三角形的对应边相等． 题型七、用AAS证明三角形全等 18．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，，则判定 与 全等的依据是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据公共角相等，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故选：D． 19．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，交的延长线于点，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，利用即可证明，解题的关键是灵活选用全等三角形的判定的方法． 【详解】证明：， ， 又， ， 在和中， 题型八、尺规作图——作三角形 20．如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【知识点】尺规作图——作三角形、用SAS证明三角形全等（SAS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 21．已知线段和，作一个三角形，使，，． 【答案】图见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题考查尺规作三角形，作射线，在上截取线段，作，在射线上截取，连接，则三角形即为所求． 【详解】解：如图，三角形即为所求． 22．尺规作图 已知：，，线段c 求作：，使得，，（要求：不写作法，保留作图痕迹） 作图区域： 结论： 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、尺规作图——作三角形、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查作图-复杂作图，作射线，在射线上截取线段，使得，在的上方作，，射线交于点，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 题型九、用HL证全等 23．如图，于点D，于点F，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断． 【详解】解：于点D，于点F， ， ， 当添加时，根据“”判断 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 24．如图，，，，，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点A，P，Q为顶点的三角形与全等．    【答案】10或20 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分情况讨论：当时，当时，由证明直角三角形全等，即可得出结果． 【详解】 分两种情况： 当时， 在和中 ； 当时， 在和中 ， 综上所述：当点P运动到或20时，与全等， 故答案为：10或20． 25．如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：．    【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理--，熟记定理内容是解题关键． 【详解】证明：∵是的中线， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ 题型十、全等的性质和HL综合 26．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意证明，可得，根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 解得： 故选：B． 27．如图，在，，E是上一点，且，于点E，若，则的值为 ．    【答案】8 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】连接，先根据定理得出，则可得出，由此可得出结论． 【详解】解：连接．    ∵，， ∴与均是直角三角形． ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，熟知根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 28．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得，即得； （2）证明，结合（1）可得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （2）解：在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十一、添加条件使三角形全等 29．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点是延长线上一点，已知，要使，只需再添加的一个条件，不可以是（   ） A． B．平分 C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判定即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 、当时，在和中， ， ∴，该选项不合题意； 、当平分，， 在和中， ， ∴，该选项不合题意； 、当时，在和中， ， ∴，该选项不合题意； 、当时，两边及一边的对角相等不能判定，该选项符合题意； 故选：． 30．如图，，请补充一个条件： 使． 【答案】或 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据全等三角形的判定方法，进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴根据，可以添加，使得； 根据，可以添加，使得； 故答案为：或． 题型十二、灵活选用判定方法证全等 31．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）根据下列已知条件，不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形唯一性的判定，需根据全等三角形的判定条件（）逐一分析各选项． 【详解】解：A．已知三边（），满足条件，可唯一确定三角形，不符合题意； B．已知两边（）及其中一边的对角（），属于情况．由于不是和的夹角，无法保证三角形唯一性，可能存在两种不同形状的三角形，符合题意； C．已知两边（）及其夹角（），满足条件，可唯一确定三角形，不符合题意； D．已知直角边，斜边，满足定理，可唯一确定直角三角形，不符合题意； 故选：B． 32．（22-23八年级上·安徽铜陵·期中）下列各组条件中，能判定与全等的有 （填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】②③⑤ 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的判定方法进行判定即可． 【详解】解：①，不符合判定定理； ②如图，过点A作边上的高，交的延长线于点M，过点D作边上的高，交的延长线于点N， ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 可以判定与全等； ③，符合，可以判定与全等； ④，不符合判定定理； ⑤，符合，可以判定与全等； ∴能判定与全等的是②③⑤， 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能直接判定两个三角形全等． 33．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)证明见解析 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意可得已知：，，，求证； ②根据题意可得已知：，，，求证； （2）解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 题型十三、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 34．在中，，中线，则边的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围． 【详解】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中，， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB＝CE， ∵AD＝7， ∴AE＝7＋7＝14， ∵14＋5＝19，14−5＝9， ∴9＜CE＜19，即9＜AB＜19． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系定理，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键． 35．已知三角形两边长分别为3和6，则第三边上的中线长x取值范围是 . 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】由可证，可得，，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：如图所示，，，延长至E，使，连接、，设， 在与中， ， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意构造全等三角形及三角形的三边关系． 36．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD．求证：AE＝AC． 【答案】证明见解析． 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【详解】试题分析：首先根据题意延长至点，使，连结，根据三角形中线的性质得到，然后利用SAS判定≌（SAS），再根据全等三角形的性质得到 利用外角性质及等式的性质得到，利用SAS得到≌，利用全等三角形的对应边相等得到，由，等量代换即可得证. 试题解析： 证明：延长至点，使，连结， ∵是的中线， ∴≌（SAS）， 是的中线， 又， ∴≌（SAS）， 即 题型十四、全等三角形综合问题 37．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在和中，，点分别在上，与交于点，连接．若，则图中的全等三角形一共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由三角形内角和定理可得，进而可得，得到，，即得，进而可推出、和，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 综上，图中的全等三角形一共有对， 故选：． 38．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，为边上的中线，为边上一点，连接交于点，连接． （）图中的全等三角形共有 对； （）若，且的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（）根据全等三角形的判定即可求解； （）根据，且的面积为，可得的面积为，根据全等三角形的性质得的面积为，则的面积为，的面积为15，即可得到结论； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：（）为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 同理， 图中的全等三角形共有对， 故答案为：； （），且的面积为3， 的面积为， 的面积为， ， 的面积为， 的面积为， ， 的面积为， 的面积为， 故答案为：． 39．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据定理证得，得到，即可证得结论； （2）证明得到，证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴． 分层强化 一、单选题 1．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　）    A．① B．② C．③ D．①和③ 【答案】C 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 2．如图，已知，下列条件能使的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：，，添加， 可利用证明， 其他条件无法证明， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有． 3．如图，已知与，分别以，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H．下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】尺规作一个角等于已知角、尺规作角的和、差 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算．根据作图可知，结合图形，根据角度的和差关系逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，符合题意； B、∵，即，故该选项正确，不符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 4．如图，已知，，则可以判定依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定方法．平行线的性质，得到，再结合，，利用证明，即可． 【详解】解：∵， ∴， 又，， ∴； 故选A． 5．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在河岸BF上取两点C、D，使CD＝BC，再作DE⊥BF，垂足为D，使A、C、E三点在一条直线上，测得ED＝30米，因此AB的长是（  ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】由已知可以得到∠ABC＝∠BDE，又CD＝BC，∠ACB＝∠DCE，由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC，则ED＝AB． 【详解】解：∵BF⊥AB，DE⊥BF， ∴∠ABC＝∠BDE 在△EDC和△ABC中， ， ∴△EDC≌△ABC（ASA）． ∴ED＝AB． ∵ED＝30米， ∴AB＝30米． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的． 6．如图，∠C＝∠D＝90°，若添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则以下给出的条件适合的是(  ) A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 【答案】A 【知识点】用HL证全等（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即或． 【详解】解：需要添加的条件为或，理由为： 若添加的条件为， 在Rt△ABC与Rt△ABD中， ， ； 若添加的条件为， 在Rt△ABC与Rt△ABD中， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是知道“”即为斜边及一直角边对应相等的两直角三角形全等． 7．如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等． 利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点C到的垂线段长度，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：在上取一点， 使，连接， ， ， ， ， 则最小值时垂直， 这时，，即， 解得． ∴的最小值为． 故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3）且AO=BO，∠AOB=90°则点B的坐标为（　　） A．（2，3） B．（-3，2） C．（-3，-2） D．（-2，3） 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】过A作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．证明△AOC和△BOD全等，那么B的横坐标就是OD长的相反数，B的纵坐标就是OC长的绝对值，由此可得出B的坐标． 【详解】解：作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D． 则∠ACO=∠ODB=90°， ∴∠AOC+∠OAC=90°． 又∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90° ∴∠OAC=∠BOD． 在△ACO和△ODB中 ∴△ACO≌△ODB（AAS）． ∴OD=AC=3，DB=OC=2． ∴点B的坐标为（-3，2）． 故选B. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 9．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为(　　) A．60° B．75° C．90° D．120° 【答案】C 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】先根据BC=EF，AC=DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1=∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答． 【详解】如图， ∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， ∵BC=EF，AC=DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠1=∠4， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠ACB+∠DEF=90°． 故选C． 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，属基础题目． 二、填空题 10．如图，点在上，，，则根据 ，就可以判定． 【答案】 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】根据等角的补角相等，得到，利用，就可以判定． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 11．如图，在中，点，分别为边，上的点，且，，，则 ．    【答案】 【知识点】求一个角的补角、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质．通过证明得出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ． 【答案】①②/②① 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】由全等三角形的判定方法得出①②正确，③不正确 【详解】解：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；所以符合题意； ②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；所以符合题意； ③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形不一定全等；所以不符合题意； 故答案为①②． 【点睛】本题考查了命题与定理、全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 13．如图，在中，为线段上一动点(不与点重合)，连接作，且连接，当时， 度． 【答案】24 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE，可证△ABC是等边三角形，可得∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，即可求解． 【详解】解：∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE， ∵CE∥AB， ∴∠BAC=∠ACE， ∴∠BAC=∠B， ∴AC=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°， ∴△DAE是等边三角形， ∴∠AED=60°， ∴∠DEC=180°-36°-60°-60°=24°， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明△ABC是等边三角形是解题的关键． 三、解答题 14．已知：如图，点D，E分别在上，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】利用公共角相等和已知条件证明，即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握公共角是对应角，证明三角形全等，是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明． 你添加的条件是　　 ．（不添加辅助线）． 【答案】DE=DF(答案不唯一)，理由见详解 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【详解】解：添加的条件是：DE=DF． 理由如下： ∵点D是BC的中点， ∴BD=CD， 在△BDF和△CDE中， ∵ ∴△BDF≌△CDE． 故答案为：DE=DF． 16．在中，，是射线上一点，点在的右侧，线段，且，连结． （1）如图1，点在线段上，求证：． （2）如图2，点在线段延长线上，判断与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：（1）， ， 在与中， ， ， ， ， ， 即：． （2），理由： ， ， 在与中， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形全等的证明，合理利用已知条件进行证明是此类问题的关键． 17．如图，小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一颗树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步． （1）根据题意，画出示意图； （2）如果小刚一步大约0.5米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由． 【答案】（1）答案见解析；（2）40米 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据题意可判断步，步，即可画出示意图． （2）根据题意直接利用“ASA”可判断，即证明AB=ED=80步，最后由小刚一步大约0.5米，即可求出最后结果． 【详解】（1）根据题意可知步，步． 故可画示意图如下： （2）根据题意可知：， ∴在和中 ， ∴， ∴AB=ED=80步 小刚一步大约0.5米， ∴小刚在点A处时他与电线塔的距离为米． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质的实际应用．掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 18．作图题．已知，，且大于，求作（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图） 【答案】图见解析 【知识点】尺规作角的和、差 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知两角的差，根据尺规作角的方法，进行作图即可． 【详解】解：如图，即为所求． 19．如图，是的平分线，，点P在上，，，M，N分别是垂足． (1)与全等吗？为什么？ (2)吗？为什么？ 【答案】(1)全等；理由见解析 (2)；理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了的是全等三角形的判定定理与性质定理．全等三角形的判定定理：． （1）根据“”即可证明； （2）根据可得，再根据等角的补角相等可得，然后证明，利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）， ． ． ，， ， 又， ， ． 20．如图所示，已知AB=AC，AE=AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F．求证：∠1=∠2． 【答案】证明见解析. 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】根据HL证明Rt△AEC与Rt△AFB全等，再利用等式的性质解答即可. 【详解】证明：∵AE⊥EC，AF⊥BF， ∴△AEC是Rt△，△AFB是Rt△， 在Rt△AEC与Rt△AFB中， ， ∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）， ∴∠EAC=∠FAB， ∴∠EAC﹣∠BAC=∠FAB﹣∠BAC， 即∠1=∠2． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据HL证明Rt△AEC与Rt△AFB全等. 21．如图，CE、CB分别是与的中线，且，．求证：．    【答案】见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【详解】解析：过点B作交CE的延长线于点F，由点E为AB中点，得到，再由BF与AC平行，得到两对内错角相等，利用AAS得到与全等，利用全等三角形的对应边相等得到，，即，再由，根据点B为AD中点，得到，利用外角性质及等量代换得到，利用SAS得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证． 答案：证明：如图，过点B作交CE的延长线于点F．    ∵CE是的中线，， ∴，，， 在和中， ∵ ∴（AAS）， ∴，， ∴， 又∵，CB是的中线， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ∵ ∴（SAS）， ∴． 易错：证明：在和中， ∴（ASA）． 错因：写错证明方法． 满分备考：遇到三角形的中线，可通过倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形解决问题． 22．如图，在中，于于F，且与DC相等吗？你能说明下面小明思考过程的理由吗？ ≌BD=CE ①__________________  ②_________________ 【答案】①AAS  ②全等三角形的对应边相等 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】利用AAS来证明△BDE△CDF，则BD=CD. 【详解】∠BDE=∠CDF(对顶角相等)， ∠BED=∠CFD=，BE=CF. △BDE△CDF(AAS)， BD=CD（全等三角形的对应边相等） 故答案为①AAS  ②全等三角形的对应边相等 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，判定三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，还有判断直角三角形全等的方法HL. 23．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为 (1)如图，请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度． (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，则用直尺和圆规画出所有这样的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度；若不能，则说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有______个，请用直尺和圆规画出所有这样的三角形．并标记已知角的度数和已知边的长度． 【答案】(1)见解析 (2)能，见解析 (3)4，见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、尺规作图——作三角形、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了尺规作图，尺规作图主要是五种基本作图，本题主要考查了作已知线段和作已知角等知识的综合作图．解决此类题目的关键是熟悉五中基本作图及基本作图的原理，然后把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，同时也考查了全等三角形的判定．特别注意，本题未告知直尺是否有刻度，因此利用无刻度直尺进行作图的方式解答． （1）利用“”画图； （2）画出所对的边长为即可； （3）以和所夹的角为画三角形或以的角所对的边为画三角形或以的角所对的边为画三角形． 【详解】（1）解：如图1，为所作； （2）能．如图2，为所求； （3）所求图形如图3所述， 故答案为：4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 三角形全等的判定（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.基本事实“边角边”或“SAS” 2.基本事实“角边角”或“ASA” 3.基本事实“边边边”或“SSS” 4.“角角边”或“AAS” 5.用尺规作一个角等于已知角 6.“斜边、直角边”或“HL” 题型巩固 一、用SAS证明三角形全等 二、全等的性质和SAS综合 三、用ASA证明三角形全等 四、用SSS证明三角形全等 五、全等的性质和SSS综合 六、三角形的稳定性及应用 七、用AAS证明三角形全等 八、尺规作图——作三角形 九、用HL证全等 十、全等的性质和HL综合 十一、添加条件使三角形全等 十二、灵活选用判定方法证全等 十三、倍长中线模型 十四、全等三角形综合问题 分层强化 一、单选题（9） 二、填空题（4） 三、解答题（10） 知识梳理 知识点1.基本事实“边角边”或“SAS” 1. 基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 2. 书写格式：如图14.2-1， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， 把三个条件按顺序排列，并用大括号将其括起来 ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(SAS). 知识点2.基本事实“角边角”或“ASA” 1. 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 2. 书写格式：如图14.2-4， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA). 知识点3.基本事实“边边边”或“SSS” 1. 已知三边作三角形 要求 作法 图示 用直尺和圆规作△ABC， 使AB＝c，AC＝b，BC＝ ①作线段BC＝， ② 分别以点B，C为圆心，c，b的长为半径画弧，两弧相交于点A； ③连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形 2. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的依据. 知识点4.“角角边”或“AAS” 1. 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 2. 书写格式：如图14.2-6， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(AAS). 3.“ASA”和“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，“AAS”可由“ASA”推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 知识点5.用尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图14.2 - 10 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明. 作法：(1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D； (2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； (3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′； (4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图14.2-10 ②). 证明：连接CD，C′D′. 由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′； 由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′， ∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS). ∴∠AOB=∠A′O′B′. 知识点6.“斜边、直角边”或“HL” 1. 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2. 书写格式：如图14.2-14， 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′(HL). 3. 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角形 两边(SS) SSS 或SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等 一边及其邻角(SA) SAS 或ASA或AAS 可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等 锐角三角形或钝角三角形 一边及其对角(SA) AAS 可证另一角对应相等 两角(AA) ASA 或AAS 可证两角的夹边对应相等或证一相等角的对边对应相等 直角三角形 一锐角(A) ASA 或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边(L) HL 或ASA 或AAS 或SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等 题型巩固 题型一、用SAS证明三角形全等 1．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 2．如图，，，垂足分别为，，，，点为边上一动点，当 时，形成的与全等． 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，，、交于点．在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并证明． 题型二、全等的性质和SAS综合 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在和中，，连接，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．大小关系不确定 5．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，与相交于点，且，，，则、两点间的距离为 ． 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知点B，C在线段上，，求证：． 题型三、用ASA证明三角形全等 7．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在梯形中，，，，若，，，则的长度为 ． 8．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D是边上一点，，，，求证： 题型四、用SSS证明三角形全等 9．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，可直接利用“”判定（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是 ． 11．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，点在同一条直线上，且，求证：． 题型五、全等的性质和SSS综合 12．（22-23八年级上·安徽黄山·阶段练习）如图，，分别为、的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．如图所示，在中，，，，则 ． 14．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知：如图，，，． (1)求证：； (2)求证：． 题型六、三角形的稳定性及应用 15．下列图形中，不具有稳定性的图形是(    ) A．平行四边形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 16．（24-25七年级下·上海长宁·期末）桥梁拉杆、电视塔架底座等都有三角形结构，这样设计的数学原理是利用了三角形的 ． 17．如图是一个四边形木架． (1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是 ； (2)若平分，且，求四边形木架的周长． 下面是（2）的解答过程，请大家补充完整： 解：∵平分， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴（ ）， ∴四边形木架的周长为． 题型七、用AAS证明三角形全等 18．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，，则判定 与 全等的依据是(　　) A． B． C． D． 19．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，交的延长线于点，交的延长线于点．求证：． 题型八、尺规作图——作三角形 20．如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 21．已知线段和，作一个三角形，使，，． 22．尺规作图 已知：，，线段c 求作：，使得，，（要求：不写作法，保留作图痕迹） 作图区域： 结论： 题型九、用HL证全等 23．如图，于点D，于点F，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 24．如图，，，，，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点A，P，Q为顶点的三角形与全等．    25．如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：．    题型十、全等的性质和HL综合 26．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 27．如图，在，，E是上一点，且，于点E，若，则的值为 ．    28．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 题型十一、添加条件使三角形全等 29．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点是延长线上一点，已知，要使，只需再添加的一个条件，不可以是（   ） A． B．平分 C． D． 30．如图，，请补充一个条件： 使． 题型十二、灵活选用判定方法证全等 31．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）根据下列已知条件，不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 32．（22-23八年级上·安徽铜陵·期中）下列各组条件中，能判定与全等的有 （填序号） ①；②；③；④；⑤． 33．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 题型十三、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 34．在中，，中线，则边的取值范围是（  ） A． B． C． D． 35．已知三角形两边长分别为3和6，则第三边上的中线长x取值范围是 . 36．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD．求证：AE＝AC． 题型十四、全等三角形综合问题 37．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在和中，，点分别在上，与交于点，连接．若，则图中的全等三角形一共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 38．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，为边上的中线，为边上一点，连接交于点，连接． （）图中的全等三角形共有 对； （）若，且的面积为，则的面积为 ． 39．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)求证：． 分层强化 一、单选题 1．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　）    A．① B．② C．③ D．①和③ 2．如图，已知，下列条件能使的是（　　）    A． B． C． D． 3．如图，已知与，分别以，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H．下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知，，则可以判定依据是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在河岸BF上取两点C、D，使CD＝BC，再作DE⊥BF，垂足为D，使A、C、E三点在一条直线上，测得ED＝30米，因此AB的长是（  ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 6．如图，∠C＝∠D＝90°，若添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则以下给出的条件适合的是(  ) A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 7．如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3）且AO=BO，∠AOB=90°则点B的坐标为（　　） A．（2，3） B．（-3，2） C．（-3，-2） D．（-2，3） 9．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为(　　) A．60° B．75° C．90° D．120° 二、填空题 10．如图，点在上，，，则根据 ，就可以判定． 11．如图，在中，点，分别为边，上的点，且，，，则 ．    12．下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ． 13．如图，在中，为线段上一动点(不与点重合)，连接作，且连接，当时， 度． 三、解答题 14．已知：如图，点D，E分别在上，．求证：． 15．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明． 你添加的条件是　　 ．（不添加辅助线）． 16．在中，，是射线上一点，点在的右侧，线段，且，连结． （1）如图1，点在线段上，求证：． （2）如图2，点在线段延长线上，判断与的数量关系并说明理由． 17．如图，小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一颗树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步． （1）根据题意，画出示意图； （2）如果小刚一步大约0.5米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由． 18．作图题．已知，，且大于，求作（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图） 19．如图，是的平分线，，点P在上，，，M，N分别是垂足． (1)与全等吗？为什么？ (2)吗？为什么？ 20．如图所示，已知AB=AC，AE=AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F．求证：∠1=∠2． 21．如图，CE、CB分别是与的中线，且，．求证：．    22．如图，在中，于于F，且与DC相等吗？你能说明下面小明思考过程的理由吗？ ≌BD=CE ①__________________  ②_________________ 23．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为 (1)如图，请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度． (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，则用直尺和圆规画出所有这样的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度；若不能，则说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有______个，请用直尺和圆规画出所有这样的三角形．并标记已知角的度数和已知边的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$