第1章 三角形 测试题 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第1章 三角形 一、单选题 1．下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．每个定理都有逆定理 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等腰三角形的底角必为锐角 2．如图，是由绕A点逆时针旋转得到的，若，则旋转角的度数为(    ) A． B． C． D． 3．如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④，则上述结论中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 4．如图，在中，的面积为的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 5．如图，等边的顶点在轴正半轴上，边在轴上，点，，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，过边长为6的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 7．如图，在中，，，为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（  ） A． B． C． D． 8．如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图，是的中线，若的面积是5，则的面积为 ． 10．如图，已知，点D，E分别在的垂直平分线上，且D，A，E三点共线，若四边形的周长为20，，则的长为 ． 11．如图，已知，的平分线交于点D，交于点E，如果，，则 ． 12．如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是 ． 13．已知等边外一点，，连接PA，PB，PC，若，则 ． 三、解答题 14．如图，点D在上，垂直平分，垂足为点E，垂直平分，垂足为点F．求证：． 15．如图，已知比小，的垂直平分线交于点E，交于点F，的周长为，求的长． 16．如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 17．已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、分别作、，垂足为、，求证：． 18．已知P是内任意一点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，定理与逆定理的定义，正确记忆相关知识点是解题的关键；根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理与逆定理的定义，逐一判断各个选项即可． 【详解】解：A．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故该命题是假命题，A选项不符合题意； B．每个定理不一定有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故“对顶角相等”没有逆定理． 故该命题是假命题，B选项不符合题意； C．等腰三角形的顶角不一定是锐角，也可以是直角或钝角，故该命题是假命题，C选项不符合题意； D．因为等腰三角形的两个底角相等，故两个底角的和一定小于， 故每个底角都是小于的角， 即等腰三角形的底角一定是锐角，故该命题是真命题，D选项符合题意． 故选：D． 2．A 【分析】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角．首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 是由绕点旋转得到的， 为旋转角， 旋转角的度数为． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到，，，则，则根据“”可证明，从而可对①进行判断；再证明，则可根据“”判断，从而可对②进行判断，所以，接着根据“”证明，从而可对③进行判断；由于不是等边三角形，为等边三角形，从而可对④进行判断． 【详解】解：和均为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，所以①正确； ， ， ， 在和中， ， ，所以②正确； ， 在和中， ， ，所以③正确； ， 不是等边三角形， 而为等边三角形， 与不能全等，所以④错误． 故选：B． 4．C 【分析】连接、，如图所示，由，为边的中点，由等腰三角形三线合一性质可得，根据，，求出，因为是垂直平分线，则周长，当三点共线时，最小，值为，又，得到周长最小值为． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，为边的中点， ∴由等腰三角形三线合一性质可得， ∵，的面积为， 即， 则， 解得， ∵是垂直平分线， ∴， ∴， 则当三点共线时，取得最小值，这个最小值就是的长度， 又∵为边的中点，， ∴， ∴周长最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题-两点之间线段最短，涉及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、中点定义、三角形面积公式的应用及三角形周长公式．解题的关键在于利用垂直平分线的性质将的周长进行转化，然后通过三角形面积求出相关线段长度，进而由两点之间线段最短分析出周长的最小值． 5．C 【分析】过点作轴于点，由旋转得，，，可得，则，结合等边三角形的性质可得，，则，，可得，可知点的坐标为． 本题考查坐标与图形变化旋转、等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、等边三角形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， ， ． 由旋转得，，， ， ． ， ，． 为等边三角形，，， ，， ，， ， 点的坐标为． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形是解答此题的关键．过P作的平行线，交于M；则也是等边三角形，在等边中，是上的高，根据等边三角形三线合一的性质知；易证得，则；此时发现的长正好是的一半，由此得解． 【详解】解：过P作，交于M； 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 又， ， ； 又， ∴， 在和中， ； ； 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的性质，三角形的面积，设的中点为点，由折叠可得，，即得，平分，设点到的距离为，根据角平分线的性质可得点到的距离也为，再根据解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，设的中点为点， 由折叠可得，，， ∴，平分， 设点到的距离为， ∵平分， ∴点到的距离也为， ∵， ∴， 即， 解得， ∴点到的距离是， 故选：． 8．D 【分析】此题重点考查角平分线的性质、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作交的延长线于点F，则，，即可证明，得，所以，可推导出，则，可判断①正确；证明，得，，可判断③正确；由，得，所以，可判断②正确；由，，，可推导出，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于点F， ∵平分，于E， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故④正确， 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 9．10 【分析】本题主要考查了三角形的中线．根据是的中线，可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中线，的面积为5， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 10．4 【分析】此题考查了垂直平分线的性质．根据垂直平分线的性质得到，得到，再根据四边形的周长为20即可求出的长． 【详解】解：∵点D，E分别在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴ ∵四边形的周长为20， ∴， 即， 解得， 故答案为： 11． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，由，，得到，由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，所以，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了正六边形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，则，最小，根据正六边形性质可得都是等边三角形，，从而求得即可，掌握正六边形的性质以及轴对称解决路径最短问题的解题方法是解题的关键． 【详解】解：如图，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点， ∴， ∴最小，最小值为的长， ∵六边形是正六边形，对角线交于， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 13． 【分析】通过构造等边三角形，利用全等三角形的性质，将 、 转化到同一条线段上，从而找到 与 的关系．本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握通过构造全等三角形将分散线段转化到同一直线上是解题的关键． 【详解】解：延长 到 ，使 ，连接 ． 是等边三角形 ， ，四边形 内角和为 ， 又 在 和 中 ， ，即 是等边三角形 又 故答案为： ． 14．见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，即可得到． 【详解】证明：垂直平分，垂直平分， ，， ． 15． 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵比小，即， ∴， ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定（）与性质以及垂直平分线的性质，熟练掌握这些知识（全等三角形的判定条件；垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等）是解题的关键． （1）要证明，根据，从而得到一组角相等，再结合是中点及对顶角相等，利用“”（角边角）判定全等． （2）先由（1）中的全等三角形得出相关线段相等，再根据垂直条件得出是的垂直平分线，进而得到，最后结合已知线段长度计算． 【详解】（1）证明：， （两直线平行，内错角相等）， 为的中点， ， 又（对顶角相等）， ； （2）解：由（1）知， ，， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ． 17．见解析 【分析】要证，考虑通过证明三角形全等，得到对应边相等，再利用线段间的和差关系推导．观察图形，可尝试证明 ，进而得出、与的关系．本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（等 ）及利用全等得到对应边相等，再结合线段和差关系推导结论是解题的关键． 【详解】证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ． 18．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键. （1）延长，交于D，在中，根据三角形两边之和大于第三边可得同理中，可得再根据不等式的性质得到进而证明； （2）在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论. 【详解】（1）（1）证明：如图，延长，交于点D． 在中，． 在中，， 即． （2）（2）． 理由：在中，． 同理可得，． 以上三式左、右两边分别相加，得， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$