第1章 有理数 章节（19知识点回顾+43题型巩固）（讲义）-2025-2026学年六年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制2024）

第1章 有理数 章节（19知识点回顾+43题型巩固） 目录 知识梳理 1.正数与负数 2.数轴 3.相反数 4.绝对值 5.有理数的大小比较 6.有理数的加法法则 7.有理数加法的运算律 8.有理数的减法 9.有理数的加减混合运算 10.数轴上两点之间的距离 11.有理数的乘法法则 12.有理数的乘法运算律 13.多个有理数相乘 14.倒数的概念 15.有理数除法法则 16.有理数的乘除混合运算 17．有理数的乘方 18．非负数的性质：偶次方 19．有理数的混合运算 题型巩固 一、正负数的定义 二、相反意义的量 三、正负数的实际应用 四、有理数的定义 五、0的意义 六、有理数的分类 七、带“非”字的有理数 八、数轴的三要素及其画法 九、用数轴上的点表示有理数 十、相反数的定义 十一、化简多重符号 十二、绝对值的几何意义 十三、求一个数的绝对值 十四、有理数大小比较 十五、利用数轴比较有理数的大小 十六、有理数大小比较的实际应用 十七、数轴上两点之间的距离 十八、绝对值非负性 十九、有理数加法运算 二十一、有理数加法在生活中的应用 二十、有理数加法运算律 二十二、有理数的减法运算 二十三、有理数减法的实际应用 二十四、有理数的加减混合运算 二十五、有理数加减中的简便运算 二十六、有理数加减混合运算的应用 二十七、两个有理数的乘法运算 二十八、多个有理数的乘法运算 二十九、有理数乘法的实际应用 三十、倒数 三十一、有理数乘法运算律 三十二、有理数的除法运算 三十三、有理数除法的应用 三十四、有理数乘除混合运算 三十五、有理数四则混合运算 三十六、有理数四则混合运算的实际应用 三十七、有理数幂的概念理解 三十八、有理数的乘方运算 三十九、乘方运算的符号规律 四十、乘方的应用 四十一、含乘方的有理数混合运算 四十二、程序流程图与有理数计算 四十三、算“24”点 知识梳理 知识点1.正数与负数 一.具有相反意义的量 1.定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 特别提醒：用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示. 二.正数、负数的定义 1.定义 正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 2. 数的符号  一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写 . 3. 符号“+”“－”的双重含义 (1) 作为运算符号是加减号； (2) 作为性质符号是正负号 . 三、有理数 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 四、有理数的分类 1.有理数的分类： 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 知识点2.数轴 一、数轴 1. 定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 . 2. 画数轴的步骤 (1) 画直线，取原点： 画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点 . (2) 标正方向： 通常规定直线上从原点向右的方向为正方向，画上箭头，则相反方向为负方向 . (3) 选取单位长度，标数： 选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 1、 2、3、… ；从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 －1、 －2、 －3、… . 二、数轴上的点与有理数的关系 对应关系 有理数数轴上的点表示的数 . 三、利用数轴比较数的大小 1. 利用数轴比较有理数大小的法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 . 2. 比较有理数大小法则 正数都大于 0，负数都小于 0，正数都大于负数 . 知识点3.相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点归纳： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点4.绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点归纳： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点5.有理数的大小比较 1.数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2.法则比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点6.有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|) 若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|) 若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a 3. 有理数加法运算的步骤 知识点7.有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 知识点8.有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 知识点9.有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 知识点10.数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.(如下图)： 知识点11.有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点12.有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点13.多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点14.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点15.有理数除法法则 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点16.有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点17．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点18．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点19．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 题型巩固 题型一、正负数的定义 1．（24-25六年级上·上海金山·期中）在有理数、、、、、、中，负数有（    ）个 A． B． C． D． 题型二、相反意义的量 2．（24-25六年级上·上海金山·期中）如果珠穆朗玛峰高出海平面记作，那么某海沟低于海平面，记作 ． 题型三、正负数的实际应用 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）小红在银行存入500元，记为元，那么支出350元，记为 元． 题型四、有理数的定义 4．（2023六年级·上海·专题练习）在数π，0，，，，25中，有理数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 题型五、0的意义 5．下列四个选项中，不正确的是（    ） A．0是自然数 B．0是偶数 C．0没有倒数 D．0是最小的整数 题型六、有理数的分类 6．有理数，，0，，，，，2003中，负分数有 个． 题型七、带“非”字的有理数 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）在中，非负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型八、数轴的三要素及其画法 8．在下列选项中数轴画法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九、用数轴上的点表示有理数 9．（24-25六年级上·上海浦东新·阶段练习）（）写出数轴上的点、点、点所对应的分数： 点__________，点__________，点__________； （）并在数轴上分别用、、表示出，，这三个分数所对应的点． 题型十、相反数的定义 10．（24-25六年级上·上海·阶段练习）的相反数是 ． 题型十一、化简多重符号 11．（23-24六年级·上海·期末）比较大小： (填“”、“”或“”)． 题型十二、绝对值的几何意义 12．（24-25六年级上·上海青浦·期中） 的绝对值不等于它本身． 题型十三、求一个数的绝对值 13．3的绝对值是   题型十四、有理数大小比较 14．（24-25六年级上·上海普陀·期中）分数介于哪两个整数之间（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型十五、利用数轴比较有理数的大小 15．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）下列说法正确的个数是（   ） ①是负数 ②一个数的绝对值一定是正数 ③若一个数的绝对值是它本身，那么它一定是正数 ④在数轴左半轴上离开原点越远的数就越小 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十六、有理数大小比较的实际应用 16．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下列水果中，单价最便宜的是（　　） A．元1斤的柚子 B．14元3斤的苹果 C．17元4斤的梨 D．22元5斤的水蜜桃 题型十七、数轴上两点之间的距离 17．（24-25六年级上·上海虹口·期中）在数轴上，到原点的距离等于个单位长度的点所表示的有理数是 ． 题型十八、绝对值非负性 18．若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 题型十九、有理数加法运算 19．（24-25六年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二十、有理数加法运算律 20．（24-25六年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 题型二十一、有理数加法在生活中的应用 21．飞机在高空飞行时，机舱外的温度为，机舱内的温度比机舱外高．问机舱内的温度为多少摄氏度？ 题型二十二、有理数的减法运算 22．（24-25六年级上·上海虹口·期中）计算： ． 题型二十三、有理数减法的实际应用 23．（24-25六年级上·上海长宁·期中）某一天的早上，测得北京的气温是，上海是，上海比北京高 ． 题型二十四、有理数的加减混合运算 24．（24-25六年级上·上海·期末）计算：． 题型二十五、有理数加减中的简便运算 25．（24-25六年级上·上海·期末）计算： 题型二十六、有理数加减混合运算的应用 26．某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前四天共生产 辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆； (3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 题型二十七、两个有理数的乘法运算 27．（24-25六年级上·上海闵行·期末） ． 题型二十八、多个有理数的乘法运算 28．（22-23六年级·上海闵行·阶段练习）计算：． 题型二十九、有理数乘法的实际应用 29．（24-25六年级上·上海虹口·期中）观察式子：，，，，， ， (1)请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； (2)请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：______． 题型三十、倒数 30．（24-25六年级上·上海·期中）的倒数是 ． 题型三十一、有理数乘法运算律 31．计算： (1)； (2)． 题型三十二、有理数的除法运算 32．（24-25六年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 题型三十三、有理数除法的应用 33．如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 题型三十四、有理数乘除混合运算 34．（24-25六年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 题型三十五、有理数四则混合运算 35．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 36．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 题型三十六、有理数四则混合运算的实际应用 37．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ (2)外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ (3)小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 题型三十七、有理数幂的概念理解 38．（24-25六年级·上海·假期作业）的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ． 题型三十八、有理数的乘方运算 39．（24-25六年级上·上海·阶段练习）我们常用的数是十进制数，如，十进制数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9．在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，二进制中等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的数是 ．（注：，）． 题型三十九、乘方运算的符号规律 40．七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（    ） A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 B．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 题型四十、乘方的应用 41．请认真阅读下面材料，并解答下列问题 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2． （1）填空：指数式62＝36对应的对数式是　 　；对数式log327＝3对应的指数式是　 　． （2）计算：log232+log5625． 题型四十一、含乘方的有理数混合运算 42．（24-25六年级上·上海·期末）计算：． 题型四十二、程序流程图与有理数计算 43．（24-25六年级上·上海·期中）如图，如果开始输入，那么最后输出的结果是 ． 题型四十三、算“24”点 44．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字的乘积最大．应该抽取到哪2张卡片？最大乘积是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字相除的商最小．应该抽取到哪2张卡片？最小的商是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出抽取到的卡片以及利用这4张卡片上的数字写出的两个符合题意的运算式子． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数 章节（19知识点回顾+43题型巩固） 目录 知识梳理 1.正数与负数 2.数轴 3.相反数 4.绝对值 5.有理数的大小比较 6.有理数的加法法则 7.有理数加法的运算律 8.有理数的减法 9.有理数的加减混合运算 10.数轴上两点之间的距离 11.有理数的乘法法则 12.有理数的乘法运算律 13.多个有理数相乘 14.倒数的概念 15.有理数除法法则 16.有理数的乘除混合运算 17．有理数的乘方 18．非负数的性质：偶次方 19．有理数的混合运算 题型巩固 一、正负数的定义 二、相反意义的量 三、正负数的实际应用 四、有理数的定义 五、0的意义 六、有理数的分类 七、带“非”字的有理数 八、数轴的三要素及其画法 九、用数轴上的点表示有理数 十、相反数的定义 十一、化简多重符号 十二、绝对值的几何意义 十三、求一个数的绝对值 十四、有理数大小比较 十五、利用数轴比较有理数的大小 十六、有理数大小比较的实际应用 十七、数轴上两点之间的距离 十八、绝对值非负性 十九、有理数加法运算 二十一、有理数加法在生活中的应用 二十、有理数加法运算律 二十二、有理数的减法运算 二十三、有理数减法的实际应用 二十四、有理数的加减混合运算 二十五、有理数加减中的简便运算 二十六、有理数加减混合运算的应用 二十七、两个有理数的乘法运算 二十八、多个有理数的乘法运算 二十九、有理数乘法的实际应用 三十、倒数 三十一、有理数乘法运算律 三十二、有理数的除法运算 三十三、有理数除法的应用 三十四、有理数乘除混合运算 三十五、有理数四则混合运算 三十六、有理数四则混合运算的实际应用 三十七、有理数幂的概念理解 三十八、有理数的乘方运算 三十九、乘方运算的符号规律 四十、乘方的应用 四十一、含乘方的有理数混合运算 四十二、程序流程图与有理数计算 四十三、算“24”点 知识梳理 知识点1.正数与负数 一.具有相反意义的量 1.定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 特别提醒：用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示. 二.正数、负数的定义 1.定义 正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 2. 数的符号  一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写 . 3. 符号“+”“－”的双重含义 (1) 作为运算符号是加减号； (2) 作为性质符号是正负号 . 三、有理数 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 四、有理数的分类 1.有理数的分类： 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 知识点2.数轴 一、数轴 1. 定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 . 2. 画数轴的步骤 (1) 画直线，取原点： 画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点 . (2) 标正方向： 通常规定直线上从原点向右的方向为正方向，画上箭头，则相反方向为负方向 . (3) 选取单位长度，标数： 选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 1、 2、3、… ；从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 －1、 －2、 －3、… . 二、数轴上的点与有理数的关系 对应关系 有理数数轴上的点表示的数 . 三、利用数轴比较数的大小 1. 利用数轴比较有理数大小的法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 . 2. 比较有理数大小法则 正数都大于 0，负数都小于 0，正数都大于负数 . 知识点3.相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点归纳： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点4.绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点归纳： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点5.有理数的大小比较 1.数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2.法则比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点6.有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|) 若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|) 若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a 3. 有理数加法运算的步骤 知识点7.有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 知识点8.有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 知识点9.有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 知识点10.数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.(如下图)： 知识点11.有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点12.有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点13.多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点14.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点15.有理数除法法则 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点16.有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点17．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点18．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点19．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 题型巩固 题型一、正负数的定义 1．（24-25六年级上·上海金山·期中）在有理数、、、、、、中，负数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负数，根据负数的定义即可求解，掌握负数的定义是解题的关键． 【详解】解：在有理数、、、、、、中，负数有个， 故选：． 题型二、相反意义的量 2．（24-25六年级上·上海金山·期中）如果珠穆朗玛峰高出海平面记作，那么某海沟低于海平面，记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】此题主要考查了用正负数来表示具有意义相反的两种量：把海平面作为标准，记为米，那么超出的就记为正，不足的就记为负，直接得出结论即可，正确理解正负数来表示具有意义相反的两种量是解题的关键． 【详解】解：如果珠穆朗玛峰高出海平面记作，那么某海沟低于海平面，记作， 故答案为：． 题型三、正负数的实际应用 3．（24-25六年级上·上海松江·期中）小红在银行存入500元，记为元，那么支出350元，记为 元． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：小红在银行存入500元，记为元，那么支出350元，记为元． 故答案为：． 题型四、有理数的定义 4．（2023六年级·上海·专题练习）在数π，0，，，，25中，有理数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】有理数的定义 【分析】根据有理数的概念进行解答． 【详解】解：π不是有理数； 0，25，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，，是有限小数，属于有理数； 故有理数有0，，，，25，共5个． 故选：D． 【点睛】本题考查的是认识有理数问题，关键是能判断一个数是否是有理数． 题型五、0的意义 5．下列四个选项中，不正确的是（    ） A．0是自然数 B．0是偶数 C．0没有倒数 D．0是最小的整数 【答案】D 【知识点】0的意义 【分析】根据0的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、0是自然数，选项正确，不符合题意； B、0是偶数，选项正确，不符合题意； C、0没有倒数，选项正确，不符合题意； D、0不是最小的整数，选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查0的性质．熟练掌握0是自然数，是整数，是偶数，没有倒数，是解题的关键． 题型六、有理数的分类 6．有理数，，0，，，，，2003中，负分数有 个． 【答案】4 【知识点】有理数的分类 【分析】根据“比0小的分数为负分数，小数可以化为分数”即可得出答案． 【详解】解：负分数有：，，，，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数的定义． 题型七、带“非”字的有理数 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）在中，非负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】本题考查非负数的定义，非负数是指大于或等于0的数，包括正数和0．根据题目中的数逐一判断即可． 【详解】∵，，，，，， ∴、、、是非负数， ∴非负数有个． 故选：C． 题型八、数轴的三要素及其画法 8．在下列选项中数轴画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目． 【详解】解：A.各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意； B.数轴为直线，可以无限延伸，故此选项错误，不符合题意； C.规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意； D.没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴是一条规定了正方向、原点、单位长度的直线是解题的关键． 题型九、用数轴上的点表示有理数 9．（24-25六年级上·上海浦东新·阶段练习）（）写出数轴上的点、点、点所对应的分数： 点__________，点__________，点__________； （）并在数轴上分别用、、表示出，，这三个分数所对应的点． 【答案】（），，；（）数轴表示见解析． 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】（）根据数轴即可求解； （）在数轴上找到，，对应的点表示即可； 本题考查了数轴和有理数，掌握数轴上点表示有理数是解题的关键． 【详解】解：（）由数轴可得，点对应的分数为，点对应的分数为，点对应的分数为， 故答案为：，，； （）画图如下： 题型十、相反数的定义 10．（24-25六年级上·上海·阶段练习）的相反数是 ． 【答案】/ 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 题型十一、化简多重符号 11．（23-24六年级·上海·期末）比较大小： (填“”、“”或“”)． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、化简多重符号 【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简多重符号，进而根据正数的大小比较即可判断大小． 【详解】解： ∴ 故答案为：． 题型十二、绝对值的几何意义 12．（24-25六年级上·上海青浦·期中） 的绝对值不等于它本身． 【答案】负数 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】此题主要考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质可知，负数的绝对值不等于它本身． 【详解】解：负数的绝对值等于它的相反数，不等于它本身，正数和0的绝对值等于它本身， 故答案为：负数． 题型十三、求一个数的绝对值 13．3的绝对值是   【答案】3 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】利用绝对值的定义解题即可． 【详解】解：|3|=3 故答案为：3． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，掌握绝对值的定义及性质是解题的关键． 题型十四、有理数大小比较 14．（24-25六年级上·上海普陀·期中）分数介于哪两个整数之间（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了分数的大小比较，熟练掌握分数的大小比较丰富是解题的关键． 因为，所以分数介于和之间，即可得到答案． 【详解】解：， 分数介于和之间， 故选：B． 题型十五、利用数轴比较有理数的大小 15．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）下列说法正确的个数是（   ） ①是负数 ②一个数的绝对值一定是正数 ③若一个数的绝对值是它本身，那么它一定是正数 ④在数轴左半轴上离开原点越远的数就越小 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、相反数的定义、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了有理数的性质，熟练掌握相反数、绝对值、数轴等知识点是解题的关键．根据有理数的性质，对题目中的说法逐个分析判断即可． 【详解】解：当时，是非负数，故①错误； 一个数的绝对值是正数或0，故②错误； 若一个数的绝对值是它本身，那么它是正数或0，故③错误； 在数轴左半轴上离开原点越远的数就越小，故④正确； 综上所述，说法正确的是④，个数是1个． 故选：A． 题型十六、有理数大小比较的实际应用 16．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下列水果中，单价最便宜的是（　　） A．元1斤的柚子 B．14元3斤的苹果 C．17元4斤的梨 D．22元5斤的水蜜桃 【答案】C 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数大小比较的实际应用，正确求出每种水果的单价是解答本题的关键．根据“单价总价数量”分别求出每种水果的单价，再比较大小即可． 【详解】解：柚子的单价为元/斤；苹果的单价为元/斤；梨的单价为元/斤；水蜜桃的单价为元/斤； ∵， ∴单价最便宜的是梨． 故选：C． 题型十七、数轴上两点之间的距离 17．（24-25六年级上·上海虹口·期中）在数轴上，到原点的距离等于个单位长度的点所表示的有理数是 ． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴和有理数，解题的关键是掌握数轴知识和有理数的概念．利用数轴知识和有理数的概念解答． 【详解】解：在数轴上，到原点的距离等于个单位长度的点所表示的有理数是或． 故答案为：或． 题型十八、绝对值非负性 18．若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 题型十九、有理数加法运算 19．（24-25六年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)0.8； (4)． 【知识点】有理数加法运算 【分析】此题主要考查有理数的加法运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）根据有理数的加运算法则即可求解，取负号，绝对值47减35； （2）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值3.75化为，减； （3）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值化为3.5，3.5减2.7； （4）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值减． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型二十、有理数加法运算律 20．（24-25六年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法法则和运算律的运用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． （2）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二十一、有理数加法在生活中的应用 21．飞机在高空飞行时，机舱外的温度为，机舱内的温度比机舱外高．问机舱内的温度为多少摄氏度？ 【答案】机舱内的温度为摄氏度． 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查理解题意后利用有理数加法计算解决实际问题的能力，正确理解“机舱内的温度比机舱外高”是解决此题的关键． 分析题意可知：机舱内的温度是机舱外的温度与相对于机舱外的温度增加的和，据此列出满足题意的式子，即，然后按有理数的相关法则计算结果． 【详解】解： 答：机舱内的温度为24摄氏度． 题型二十二、有理数的减法运算 22．（24-25六年级上·上海虹口·期中）计算： ． 【答案】5 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，根据减去一个数等于加上这个数的相反数转化为加法计算即可． 【详解】解：． 故答案为：5． 题型二十三、有理数减法的实际应用 23．（24-25六年级上·上海长宁·期中）某一天的早上，测得北京的气温是，上海是，上海比北京高 ． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数减法的实际运用，掌握有理数的减法法则是解题的关键．用上海的气温减去北京的气温即可求解． 【详解】解：， 上海比北京高， 故答案为：． 题型二十四、有理数的加减混合运算 24．（24-25六年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】先把减法转化为加法，再按照加法运算法则解答即可． 本题考查了有理数的加法，减法的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 题型二十五、有理数加减中的简便运算 25．（24-25六年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数加减的简便运算，熟练掌握有理数加减的简便运算是解题的关键；根据有理数的加减简便运算可进行求解 【详解】解：原式 ． 题型二十六、有理数加减混合运算的应用 26．某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前四天共生产 辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆； (3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)412 (2)26 (3)42675元 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正数和负数的应用，有理数的加减法的应用， （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的减法，可得答案； （3）根据有理数的乘法，可得工资与奖金，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】（1）解：（辆）； 故答案为：412； （2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）； 故答案为：26； （3）解：根据图表信息，本周生产的车辆共计： (辆)， （辆）， (元)． 答：该厂工人这一周的工资总额是42675元． 题型二十七、两个有理数的乘法运算 27．（24-25六年级上·上海闵行·期末） ． 【答案】/ 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，直接根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型二十八、多个有理数的乘法运算 28．（22-23六年级·上海闵行·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数的乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 题型二十九、有理数乘法的实际应用 29．（24-25六年级上·上海虹口·期中）观察式子：，，，，， ， (1)请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； (2)请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：______． 【答案】(1)①99，100；②99，101 (2)①；② 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查的是找规律，根据题目意思找出对应的规律是解决本题的关键． （1）①根据题目中的式子特点，即可得出答案；②根据题目中的式子特点，即可得出答案； （2）①根据（1）中的结论即可得出答案；②对所求式子进行变形即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意可知，； 故答案为：99，100； ②， 故答案为：99，101； （2）解：① ． ② ， 故答案为：． 题型三十、倒数 30．（24-25六年级上·上海·期中）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】根据倒数的定义解答即可． 本题考查了倒数，熟练掌握定义是解题的就． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 题型三十一、有理数乘法运算律 31．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】题目主要考查有理数的乘法运算律，根据题意直接计算即可． （1）利用乘法运算律求解即可； （2）利用乘法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型三十二、有理数的除法运算 32．（24-25六年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5； (2)10 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了多个有理数的除法，解题的关键是掌握有理数除法运算法则． （1）先确定符号，除法转乘法，再计算； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三十三、有理数除法的应用 33．如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】有理数除法的应用 【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，异号得负，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 题型三十四、有理数乘除混合运算 34．（24-25六年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是∶ （1）先确定符号，除法转乘法，再计算即可； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型三十五、有理数四则混合运算 35．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算乘法，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 36．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先算除法，再算加法即可． 【详解】解：原式 ． 题型三十六、有理数四则混合运算的实际应用 37．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ (2)外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ (3)小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 【答案】(1)310单； (2)1760元； (3)够买扫地机器人． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用有理数的混合运算解决实际问题，解题的关键是根据题意列出算式． （1）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （2）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （3）根据题意求出购买机器人优惠完后的价格，然后和工资进行对比即可． 【详解】（1）解：（单） 所以，外卖员小张这一周一共送餐310单； （2）解：（元） 所以，小张这一周工资收入是1760元； （3）解：（元） （元） ， 所以，小张这周的工资够买下这台扫地机器人． 题型三十七、有理数幂的概念理解 38．（24-25六年级·上海·假期作业）的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 2 4 5 3 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方的定义． 乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数． 【详解】解：的底数是3，指数是2；的底数是，指数是4；的底数是5，指数是3． 故答案为：3，2；，4；5，3． 题型三十八、有理数的乘方运算 39．（24-25六年级上·上海·阶段练习）我们常用的数是十进制数，如，十进制数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9．在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，二进制中等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的数是 ．（注：，）． 【答案】43 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】分析：利用新定义得到，然后根据乘方的定义进行计算． 本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 【详解】解：， ∴二进制中的数101011等于十进制中的43． 故答案为：43． 题型三十九、乘方运算的符号规律 40．七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（    ） A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 B．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 【答案】A 【知识点】乘方运算的符号规律、正负数的实际应用 【分析】假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”，每次改变其中的个数，当为偶数时，每次的改变其中个数，都不改变上一次的符号，则m次点名后，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；即可获解． 【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”． 每次改变其中的个数，经过m次点名， ①当为偶数时， 若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变； 若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变； 故当为偶数时，每次改变其中的个数，其积的符号不变，那么m次点名后，乘积仍然是“”， 故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； ②当为奇数时， 若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变； 若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变； 故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变， 那么m次点名后， 若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； 若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数； 综上所述，选项A正确，选项B、C、D均错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了正负数的意义、有理数乘法中积的符号的判断，熟练掌握有理数乘法中符号法则与分类讨论的思想方法是解答此题的关键． 题型四十、乘方的应用 41．请认真阅读下面材料，并解答下列问题 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2． （1）填空：指数式62＝36对应的对数式是　 　；对数式log327＝3对应的指数式是　 　． （2）计算：log232+log5625． 【答案】（1）；（2）9 【知识点】乘方的应用 【分析】（1）直接利用对数式的定义分析得出答案； （2）直接利用对数式的定义得出各数求出答案． 【详解】解：（1）指数式62=36对应的对数式是： 对数式log327＝3对应的指数式是：33＝27； （2）∵，， ∴log232=5，log5625=4， log232+log5625 ＝5+4 ＝9． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解对数式定义是解题关键． 题型四十一、含乘方的有理数混合运算 42．（24-25六年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算．先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减法即可． 【详解】解： 题型四十二、程序流程图与有理数计算 43．（24-25六年级上·上海·期中）如图，如果开始输入，那么最后输出的结果是 ． 【答案】2 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】根据题意，得，当时，，继续代入计算， 当时，，解答即可． 本题考查了程序式的计算，正确理解程序式的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 当时，，继续代入计算， 当时，， 符合题意，输出2． 故答案为：2． 题型四十三、算“24”点 44．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字的乘积最大．应该抽取到哪2张卡片？最大乘积是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片上的数字相除的商最小．应该抽取到哪2张卡片？最小的商是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，写出抽取到的卡片以及利用这4张卡片上的数字写出的两个符合题意的运算式子． 【答案】(1)抽取到2张卡片上的数字分别是6和4，24 (2)抽取到2张卡片上的数字分别是6和，最小的商是 (3)见解析 【知识点】有理数四则混合运算、算“24”点 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）从中抽2张卡片，要使这2张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）从中抽取2张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可． （3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为24即可． 【详解】（1）解：抽取到2张卡片上的数字分别是6和4， 最大乘积为：； （2）解：抽取到2张卡片上的数字分别是6和， 最小的商为：； （3）（答案不唯一）当抽取到4张卡片上的数字分别是、3、4和 运算式子为：； ． 学科网（北京）股份有限公司 $$