第二十四章圆 章末练习 2025—2026学年人教版数学九年级上册

第二十四章圆 一、单选题 1．如图，是的直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（    ） A． B． C．10 D．8 4．如图，⊙中，点为弦中点，连接，，，点是上任意一点，则度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 6．如图，正六边形内接于，交于点，连接，则下列三角形中，与关于点成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 7．如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 8．如图，四边形内接于，，．若的半径为6，则的长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，弦的长为4，，则的度数为 ． 10．如图，是的外接圆，，如果，则圆的半径为 ，点P是外一点，，则线段的最大值为 ．                                                                            11．如图，在中，，以点O为圆心，长为半径作，将绕点B按逆时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C，若，则的度数为 ． 12．如图，与相切于点，与相交于点，点在上，且与点，不重合．若，则的度数为 ． 13．如图，在中，过，，三点的与相交于点．若，则 ． 三、解答题 14．如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：． 15．如图，是的直径，是的弦，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． (1)求证：平分． (2)若的半径为4，，直接写出的长． 16．如图，为的直径，点在⊙上，，点在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 17．如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 18．如图，是的直径，点C、D是圆上的两点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点E，垂足为点E，若为圆的切线． (1)求证：点C为弧的中点． (2)若，求圆的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧的关系，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 由，，得出，进而得出的度数，由得出，即可得出的度数． 【详解】解：如图，在中， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴， ∵， ∴ 故选A． 2．C 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，三角形的内角和定理等知识，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，根据圆周角定理得出，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解∶∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶C． 3．D 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 由圆周角定理可得，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．在优弧上取点E，连接，可得，结合圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：在优弧上取点E，连接， ∵，点C为弦的中点， ∴， ∴， ， ∵四边形是内接四边形， ∴． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了正多边形与圆，成中心对称的定义，利用正多边形与圆的关系，成中心对称的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形内接于，交于点， ∴点与点关于点成中心对称，点与点关于点成中心对称，点与点关于点成中心对称， ∴与关于点成中心对称的是， 故选：． 7．A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点成为解题的关键． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐项判断即可． 【详解】解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 8．C 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理、弧长计算、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键． 先根据圆的内接四边形的性质可得：，再根据三角形内角和定理可得，然后运用圆周角定理可得，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为6， ∴的长为． 故选：C． 9．/45度 【分析】本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键． 利用垂径定理可得，由可得为等腰直角三角形，即可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，过点O作于F，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，则可求出，解直角三角形可得；将绕点O顺时针旋转120度得到，连接，过点O作于E，则，由三线合一定理得到，，则，进而得到；根据，得到当B、P、H三点共线时，有最大值，最大值为9，则的最大值为． 【详解】解：如图所示，过点O作于F， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴圆的半径为； 如图所示，将绕点O顺时针旋转120度得到，连接，过点O作于E， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴当B、P、H三点共线时，有最大值，最大值为9， ∴的最大值为； 故答案为：；． 11． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，三角形外角的性质，由旋转的性质得到，，证明是等边三角形，得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵点落在上， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，圆周角定理的运用，熟练掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．根据切线的性质得出，即，根据直角三角形两个锐角互余可得，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，由四边形是平行四边形，则，又四边形是圆内接四边形，所以，得出，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．见解析 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，由直径所对的圆周角是直角得到，再证明，则可证明． 【详解】证明：∵对角线是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质和垂直得到，推出，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形性质得到，最后利用等量代换，即可解题． （2）过点O作于点E，证明四边形是矩形，然后根据的直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：过点O作于点E， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定、等腰三角形性质、矩形的性质和判定，熟练掌握相关知识并灵活运用，即可解题． 16．(1)证明见解析 (2)的半径为12 【分析】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，圆周角定理，以及方程思想，掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，可得，由，可得，由同角的余角相等可得．再由，则可得，即可证明结论； （2）设则，在中，由勾股定理可得方程求解即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， 设 则 ∴ 又∵， ∴ 在中，由勾股定理可得： ， 解得：或（舍去）． ∴， ∴的半径为12． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角可得：，再根据已知易得：，然后证明，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，再根据垂径定理可得：，从而可得，然后利用等弧所对的圆周角相等可得：，即可解答． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质结合已知易证，推出，进而得到，即可得出结论； （2）连接交于点G，证明四边形为矩形，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：证明：连接， ∵是圆的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点C是弧的中点； （2）解：连接交于点G， ∵为半径，点C是弧的中点， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴圆的半径为， 【点睛】本题考查了垂径定理，直角所对的圆周角是直角，矩形的判定和性质，圆的切线判定定理，勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$