精品解析： 上海市铜川学校2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年上海市铜川学校七年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，的同位角是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（　　） A. 32° B. 58° C. 68° D. 60° 4. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知与是内错角，则下列表达正确的是（ ） A. 由直线、被所截而得到的； B. 由直线、被所截而得到的； C. 由直线、被所截而得到的； D. 由直线、被所截而得到的． 6. 下列三条线段能组成三角形的是（ ） A. 23，10，8； B. 15，23，8； C. 18，10，23； D. 18，10，8. 7. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 8. 下列语句中，真命题的个数是（ ） 画直线垂直于直线； 若，则； 两直线平行，同旁内角相等； 直线，相交于点； 等角的余角相等； 三角形的三条角平分线一定相交于三角形内一点， A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 9. 如图，直线和相交于点，若，那么两条直线夹角为______ 10. 如图，直线、相交于点，平分，且，那么______ 11. 如图，如果与___________互补，那么． 12. 如图，直线被直线所截，如果，，那么度数为______． 13. 如图，已知直线、被直线所截，，且，，那么______ 14. 如图，用直尺和三角尺作出直线AB、CD，得到AB∥CD的理由是_____． 15. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 16. 若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是______． 17. 在中，，，则是_______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 18. 如图，，，平分，则___________ 19. 如图，直线，点、、分别在直线、、上，若，，则______． 20. 如图，已知长方形纸带，，，，，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，则下列结论中，正确的序号是_______． ①；②；③；④． 三、解答题：本题共9小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 如图，点是的边上的一点， （1）过点作的垂线，交于点； （2）在（1）的基础上作的边上的高，垂足为； （3）线段______的长度是点到直线的距离； （4）线段、这两条线段大小关系是______用“”号连接． 22. 如图，已知，，求证：． 证明： ____________（______） ____________（______） （______） 23. 如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 证明：， ______ ， ____________． 即______． ______ 24. 古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 25. 如图，已知，垂足为点，，，求证：． 证明：， __________（ ）， ， ， （______）， （______）， ， ． ____________（______） （______） 26. 一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，求的度数； 解：过点作 ， _________________（______） （余下的说理过程请写在下方） 27. 如图，已知：，求证：． 28. 如图所示，，平分，并且交于，，则等于______． 29. 问题情境：如图1，，，，求的度数． （1）小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______． 问题迁移： 如图3，，点在射线上运动，，． （2）当点在A、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由． （3）如果点在A、两点外侧运动时（点与点A、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市铜川学校七年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 2. 如图，的同位角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同位角，位于截线的同侧，且都在被截线的同一方，这样的一对角是同位角；根据同位角的概念结合图形判断即可． 【详解】解：由图知，与位于截线的同侧，且都在被截线的同一方，这两个角是同位角； 故选：B． 3. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（　　） A. 32° B. 58° C. 68° D. 60° 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可知∠1+∠2=90°， 所以∠2=90°-∠1=58°． 故选B 4. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判断直线，故此选项符合题意； B、根据同位角相等，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意； C、根据同旁内角互补，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意； D、根据内错角相等，两直线平行，可判断直线，故此选项不合题意． 故选：A． 5. 如图，已知与是内错角，则下列表达正确的是（ ） A. 由直线、被所截而得到的； B. 由直线、被所截而得到的； C. 由直线、被所截而得到的； D. 由直线、被所截而得到的． 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线． 首先分别找出的两边为、，的两边为，，根据两角公共边所在直线为截线，另外两条是被截线判断即可． 【详解】解：∵的两边为、，的两边为，， ∴和是，被所截构成的内错角． 故选：C． 6. 下列三条线段能组成三角形的是（ ） A. 23，10，8； B. 15，23，8； C. 18，10，23； D. 18，10，8. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，针对每一个选项进行计算即可． 【详解】A选项：∵10+8＜23，∴以23，10，8为边长不能组成三角形，故本选项错误； B选项：∵15+8=23，∴以15，23，8为边长不能组成三角形，故本选项错误； C选项：∵18+10＞23，∴以18，10，23为边长能组成三角形，故本选项正确； D选项：∵10+8=18，∴以18，10，8为边长不能组成三角形，故本选项错误． 故选C． 【点睛】考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 7. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理应用、三角形分类等知识，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．根据三角形内角和定理，结合三角形分类解答即可得到答案． 【详解】解：， 是锐角， 则， 若，，，则是锐角三角形； 若，，，则是直角三角形； 若，，，则是钝角三角形； 综上所述，可以是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形， 故选：D． 8. 下列语句中，真命题的个数是（ ） 画直线垂直于直线； 若，则； 两直线平行，同旁内角相等； 直线，相交于点； 等角的余角相等； 三角形的三条角平分线一定相交于三角形内一点， A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，熟记命题的概念、绝对值、实数的平方、平行线的性质、三角形的角平分线的定义是解决问题的关键．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据命题的概念、绝对值、实数的平方、平行线的性质、三角形的角平分线的定义判断即可得到答案． 【详解】解：画直线垂直于直线，不是命题； 若，则是真命题； 两直线平行，同旁内角互补，故本小题命题是假命题； 直线，相交于点，不是命题； 等角的余角相等，是真命题； 三角形的三条角平分线一定相交于三角形内一点，是真命题； 则真命题的个数是个， 故选：B． 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 9. 如图，直线和相交于点，若，那么两条直线夹角为______ 【答案】或140 【解析】 【分析】本题考查了邻补角，根据图形即可解答． 【详解】解：如图，直线和相交于点，若，那么两条直线夹角为或， 故答案为：或140． 10. 如图，直线、相交于点，平分，且，那么______ 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 平分， ， 故答案为：． 11. 如图，如果与___________互补，那么． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 根据“两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”即可解答． 【详解】解：， ∴． 故答案为：． 12. 如图，直线被直线所截，如果，，那么度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，邻补角的性质，利用邻补角的性质求出，根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出即可，掌握平行线的判定和性质是题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知直线、被直线所截，，且，，那么______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，关键根据两直线平行，同旁内角互补解答． 根据两直线平行，同旁内角互补解答即可． 【详解】解：， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 14. 如图，用直尺和三角尺作出直线AB、CD，得到AB∥CD的理由是_____． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】由全等三角形的对应角相等判定同位角∠1=∠2，则AB∥CD． 【详解】解：根据题意,图中的两个三角尺全等, ∴∠1=∠2 , ∴AB∥CD (同位角相等,两直线平行). 15. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 16. 若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可求出应满足的条件． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ． 故答案为：． 17. 在中，，，则是_______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，根据“三角形的内角和为”求出的度数，再判断三角形的类型即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴是钝角三角形． 故答案为：钝角． 18. 如图，，，平分，则___________ 【答案】##151度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得，由角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，即可得出答案．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 19. 如图，直线，点、、分别在直线、、上，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等可得，内错角相等可得，然后根据计算即可得解． 【详解】解：如图， ， ， ，， ． 故答案为：． 20. 如图，已知长方形纸带，，，，，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，则下列结论中，正确的序号是_______． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等可判断①，根据平行线的性质，折叠性质，利用角的和差判断④，根据平角定义及折叠性质可判断②，根据平角定义可判断③． 【详解】解：四边形是长方形， ，， ， ，①正确； ， ， 由折叠得，，，，， ，④正确； ， ， ， ，②错误； ， ，③正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质． 三、解答题：本题共9小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 如图，点是的边上的一点， （1）过点作的垂线，交于点； （2）在（1）的基础上作的边上的高，垂足为； （3）线段______的长度是点到直线的距离； （4）线段、这两条线段大小关系是______用“”号连接． 【答案】（1） 如图，直线即为所求． （2）如图，直线即为所求． （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画图即可． （2）根据三角形的高的定义画图即可． （3）结合点到直线的距离的定义可得答案． （4）根据垂线段最短可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知，线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． 【小问4详解】 解：由题意得，线段、这两条线段大小关系是． 故答案为：． 22. 如图，已知，，求证：． 证明： ____________（______） ____________（______） （______） 【答案】    内错角相等，两直线平行      平行于同一直线的两条直线互相平行  两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明：， （内错角相等，两直线平行）， ， （平行于同一直线的两条直线互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等． 23. 如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 证明：， ______ ， ____________． 即______． ______ 【答案】两直线平行，内错角相等        内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明：， 两直线平行，内错角相等． ， ． 即． （内错角相等，两直线平行． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；；内错角相等，两直线平行． 24. 古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出． 【详解】证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 25. 如图，已知，垂足为点，，，求证：． 证明：， __________（ ）， ， ， （______）， （______）， ， ． ____________（______） （______） 【答案】 ， 垂直的定义，  同位角相等，两直线平行；  两直线平行，同旁内角互补；  ；  ，  内错角相等，两直线平行；  两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】证明：， （垂直的定义）， ， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 26. 一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，求的度数； 解：过点作 ， _________________（______） （余下的说理过程请写在下方） 【答案】， 解：过点作， ， （平行于同一直线的两直线互相平行）， ，， ， ， 又， ，， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，结合垂直的定义，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】略 27. 如图，已知：，求证：． 【答案】证明见解答过程． 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的判定与性质求证即可． 【详解】证明：， ， ， ， ． 28. 如图所示，，平分，并且交于，，则等于______． 【答案】31° 【解析】 【分析】要求的度数，根据平行线的性质，只需求得的度数．显然结合平行线的性质以及角平分线的定义就可解决． 【详解】解：，平分交于，， ， ， 故答案为：31°． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质及平行线的性质，比较简单，需同学们熟练掌握． 29. 问题情境：如图1，，，，求的度数． （1）小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______． 问题迁移： 如图3，，点在射线上运动，，． （2）当点在A、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由． （3）如果点在A、两点外侧运动时（点与点A、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系． 【答案】（1） （2），见解析 （3）当点P在B、O两点之间时，点P在射线上时 【解析】 【分析】（1）过作，先证明，再进一步证明即可； （2）过点作 ，可得，然后平行线的性质分别求出把和表示出来，再利用角的和差关系，即可求出结果； （3）分两种情况讨论：过点P作，则可得出，然后平行线的性质分别求出把 和 表示出来，则利用角的和差关系，即可得到结果． 【小问1详解】 解：过作，∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点P在B、O两点之间时，点P在射线上时；理由如下： 如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴； 如图，当点P在B、O两点之间时，如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴； 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $