精品解析：江苏省南京市钟英中学2024-2025学年九年级下学期期末考试数学试卷

2024－2025学年江苏省南京市钟英中学九年级下学期 期末数学试卷 注意： 1．选择题、填空题、解答题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡相应位置上，在其他位置答题一律无效． 2．练习结束，在5分钟内拍照上传伯索，竖屏拍照、一页一页上传． 一．选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 2. 不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 4. 在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ） A. 平均数是8 B. 众数是6 C. 中位数是9 D. 方差是3.6 5. 如图，在中，P为AB边上一点，若M为CP的中点．，，，则BP的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 6. 如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，），则下列结论：①，②，③，④，⑤（）（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大，正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. 一组数据7，－2，－1，6的极差为____． 8. 若，则_______． 9. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________． 10. 圆锥的母线长为，侧面积为，则圆锥的底面圆半径_____． 11. 已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______． 12. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 13. 如图，分别切于点A，B，Q是优弧上一点，若，则的度数是________． 14. 如图，，若，，，，则的长为______． 15. 如图，在四边形ABCD中，AB=BD，∠BDA=45°，BC=2，若BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为___． 16. 如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为__________． 三．解答题（本大题共8小题，共68分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 某公司职工的月工资情况如下 职位 经理 副经理 职员 人数 1 1 18 月工资/元 12000 8000 2000 （1）求该公司职工月工资的平均数为 元、众数为 元、中位数为 元； （2）你认为用平均数表示该公司职工月工资的“集中趋势”合适吗？说说你的理由． 19. 北京冬奥会的主题口号是“一起向未来”，一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五个小球，除汉字不同之外，小球没有其他区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）若从中任意摸出一个球，摸出的球上的汉字是“向”的概率为______； （2）从中任意摸出一个球，不放回，再从剩下的小球中任意摸出一个球，请用画树状图或列表法，求摸出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的概率． 20. 二次函数的图象经过点，顶点坐标为 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 21. 如图，在中，，是中线，，垂足为． （1）求证； （2）若，则线段的长度为_____． 22. 如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． （1）若，求矩形菜园面积的最大值； （2）若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 24. 如图，已知点在二次函数的图像上，且． （1）若二次函数的图像经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②若，求顶点到的距离； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年江苏省南京市钟英中学九年级下学期 期末数学试卷 注意： 1．选择题、填空题、解答题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡相应位置上，在其他位置答题一律无效． 2．练习结束，在5分钟内拍照上传伯索，竖屏拍照、一页一页上传． 一．选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解的方法求解方程即可． 【详解】解：， ， ∴或， ，， 故选：B． 2. 不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接用黑球的个数除以球的总个数即可得到答案． 【详解】解：由题意得：从袋子中随机摸出一个球，则摸到黑球的概率是． 故选D． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握概率计算公式． 3. 要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0）， 则平移的方法可以是：将抛物线y=x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A． 【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法． 4. 在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ） A. 平均数是8 B. 众数是6 C. 中位数是9 D. 方差是3.6 【答案】C 【解析】 【分析】由方差的计算公式得出这组数据为8、6、9、6、11，再根据平均数、众数、中位数、方差的定义求解即可． 【详解】解：由方差的计算公式知，这组数据为6、6、8、9、11， 所以平均数=(6+6+8+9+11) ÷5=8； 众数是6； 中位数为8； 方差=3.6． 所以A、B、D正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是根据方差的计算公式得出样本的具体数据及中位数、众数和平均数的定义． 5. 如图，在中，P为AB边上一点，若M为CP的中点．，，，则BP的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】取AP的中点G，连接MG，可得MG为△PAC的中位线，从而GM∥AC，由平行线的性质可得出∠BGM=∠A，结合∠PBM=∠ACP，可判定△APC∽△GMB，从而得出比例式，解得x的值，再根据BP=AB-2x，计算即可． 【详解】解：取AP的中点G，连接MG，如图： 设AG=PG=x，则BG=AB-AG=4-x， ∵M为CP的中点，G为AP的中点， ∴MG为△PAC的中位线， ∴GM=AC=，GM∥AC， ∴∠BGM=∠A， 又∵∠PBM=∠ACP， ∴△APC∽△GMB， ∴， ∵AB=4，AC=， ∴， 解得x=1或x=3（AP=2x＞AB这个与图矛盾，所以舍去）， ∴BP=4-2×1=2． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，正确作出辅助线、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 6. 如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，），则下列结论：①，②，③，④，⑤（）（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而增大，正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， ，故②正确； ③当时，，故③正确； ④当时，， ，故④正确； ⑤当时，取到值最小，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，先随的增大而减小，后y随x的增大而增大，故⑥错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定． 二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. 一组数据7，－2，－1，6的极差为____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据极差的定义：一组数据中，最大值与最小值的差即为极差，进行解答即可． 【详解】解：一组数据，，，的极差为 故答案为：9． 【点睛】本题考查了极差的定义．解题的关键在于熟练掌握极差的定义． 8. 若，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，得到，代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 9. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，据此列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设的长为，则， 根据黄金分割的定义可知：，即， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的长为； 故答案为：． 10. 圆锥的母线长为，侧面积为，则圆锥的底面圆半径_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可． 【详解】解：∵圆锥的母线长是7cm，侧面积是21πcm2， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l==6πcm， ∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴r==3cm， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化． 11. 已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______． 【答案】-5 【解析】 【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，利用二次函数求最值方法求解即可． 【详解】解：由知， 当x=2时，y有最小值为-4-m， ∵该函数的最小值为1， ∴-4-m=1， 解得：m=-5， 故答案为：-5． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握求二次函数的最值方法是解答的关键． 12. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的解的定义及根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，分别切于点A，B，Q是优弧上一点，若，则的度数是________． 【答案】70°##70度 【解析】 【分析】连接，根据切线性质可得，再根据四边形的内角和为360°求得，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别切于点A，B， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：70°． 【点睛】本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键． 14. 如图，，若，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线等分线段定理可得，过D作DN//AC交BE于M，交CF于N，可得平行四边形ABMD、平行四边形BCNM，且有AB=DM，BC=MN,AD=BM=CN;△DME∽△DNF,则可求得ME,最后根据BE=BM+ME解答即可． 【详解】解：如图：过D作DN//AC交BE于M，交CF于N， ∴四边形ABMD是平行四边形、四边形BCNM是平行四边形 ∴DM=AB=2,MN=BC=3,AD=BM=CN=1 ∵ ∴ ∵BE//CF ∴△DME∽△DNF ∴ ∵NF=CF-CN=4=3 ∴ME= ∴BE=BM+ME=1+=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例、平行四边形的性质、三角形相似等知识点，作辅助线构造平行线，并灵活运用平行线分线段成比例以及从相似三角形中找出线段的关系成为解答本题的关键． 15. 如图，在四边形ABCD中，AB=BD，∠BDA=45°，BC=2，若BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为___． 【答案】 【解析】 【分析】以BC为直角边，B为直角顶点作等腰直角三角形CBE (点E在BC下方)，先证明，从而，求的最大值即可，以为直径作圆，当经过中点时，有最大值. 【详解】以BC为直角边，B为直角顶点作等腰直角三角形CBE (点E在BC下方)，即CB=BE，连接DE， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴() ， ∴， 若求AC的最大值，则求出的最大值即可， ∵是定值，BD⊥CD，即， ∴点D在以为直径的圆上运动，如上图所示， 当点D在上方，经过中点时，有最大值， ∴　 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∴对角线AC的最大值为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质、圆的知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题. 16. 如图，在矩形ABCD中，CD是⊙O直径，E是BC的中点，P是直线AE上任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OP，OM，根据切线长定理可知，因为，故当OP最小（即OP垂直AC时），最大，此时最大，由此得到P点，再求出OP长，在Rt△PMO中求出PM即可解答． 【详解】解：连接OP，OM， ∵PM、PN相切于点M、N， ∴，， ∴， 又∵在矩形ABCD中，CD=AB=4，CD是⊙O直径， ∴， ∴故当OP最小（即OP垂直AC时），最大， 延长DC交直线AE于点G， ∵E是BC的中点，BC=6， ∴BE=EC=3, ∵在矩形ABCD中，， ∴， ∵在矩形ABCD中，， ∴， ∴， ∴EG=5，CG=3， ∴OG=OC+CG=2+4=6， 又∵OP垂直AC时，最大， ∴， 在Rt△PMO中，， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了几何的最值问题，综合性强，涉及了圆的切线性质，矩形性质、解三角形、点到直线的距离垂线段最小等知识，解题关键是切线长定理可知，然后关键在Rt△PMO中最大，此时最大，得出OP垂直AC时，最大． 三．解答题（本大题共8小题，共68分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， 则， 或， 解得：． 18. 某公司职工的月工资情况如下 职位 经理 副经理 职员 人数 1 1 18 月工资/元 12000 8000 2000 （1）求该公司职工月工资的平均数为 元、众数为 元、中位数为 元； （2）你认为用平均数表示该公司职工月工资的“集中趋势”合适吗？说说你的理由． 【答案】（1）2800，2000，2000 （2）不合适，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的定义即可得出答案． （2）利用平均数，中位数和众数和数据的关系进行分析． 【小问1详解】 解：平均数是：（元） 2000出现次数最多，则众数是2000元； 中位数是：元； 故答案是：2800，2000，2000； 【小问2详解】 ∵公司职员月工资的中位数、众数都是2000；平均数受极端数据的影响较大， ∴用平均数表示该公司职工月工资的“集中趋势”不合适； 【点睛】本题是考查平均数的意义及求法、中位数的意义及求法．平均数受极端数据的影响较大，中位数不受极端数据的影响，往往更能代表一组数据的一般水平． 19. 北京冬奥会的主题口号是“一起向未来”，一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五个小球，除汉字不同之外，小球没有其他区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）若从中任意摸出一个球，摸出的球上的汉字是“向”的概率为______； （2）从中任意摸出一个球，不放回，再从剩下的小球中任意摸出一个球，请用画树状图或列表法，求摸出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求简单概率即可； （2）根据画树状图法求概率． 【小问1详解】 若从中任意摸出一个球，摸出的球上的汉字是“向”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中摸出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的结果有种， 摸出的两个球上的汉字恰能组成“一起”或“未来”的概率为． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，根画树状图法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 20. 二次函数的图象经过点，顶点坐标为 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 【答案】（1） （2） （3）3或4 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确地求得解析式． （1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可； （2）抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围； （3）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为． 【小问2详解】 ∵二次函数的表达式为． ∴当时，， 当时， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴y的最小值为， ∴当时，y的取值范围为； 【小问3详解】 解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得， ∴与x轴只有一个交点即， 当时，， ∴与y轴有一个交点即，符合题意； 当经过原点时，向上平移3个单位长度，得到函数解析式为：， 当时，， 解得：， 所得交点为，符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 21. 如图，在中，，是中线，，垂足为． （1）求证； （2）若，则线段的长度为_____． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． （1）先根据是中线证明，再由同角的余角相等证明，最后结合即可证明； （2）由可证得，设，则，根据勾股定理列出方程求出k的值即可解决问题． 【小问1详解】 证明：在中，， 是中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ∵中，是斜边的中线，， ， 又 ∵， ， 设，则， 在 中，， ， 即． ， ． 22. 如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）厘米 【解析】 【分析】本题主要考查切线的证明，相似三角形的判定和性质，掌握切线的证明方法，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，如图所示，可证，结合题意及切线的证明方法即可求解； （2）连接，如图所示，运用勾股定理可得的值，由题目可证，可得，由，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 是的直径， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ∴的半径为． 23. 如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． （1）若，求矩形菜园面积的最大值； （2）若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 【答案】（1）矩形菜园面积的最大值为1050平方米 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的性质求最大值； （2）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的最大值求解即可． 【小问1详解】 解：设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为1050平方米． 答：矩形菜园面积的最大值为1050平方米； 【小问2详解】 解：当木栏增加米时，木栏总长为米， 设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， ∵矩形菜园面积的最大值为2800米， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 24. 如图，已知点在二次函数的图像上，且． （1）若二次函数的图像经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②若，求顶点到的距离； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式； ②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数解析式中求出，再由求出直线为，最后根据二次函数顶点坐标即可求解； （2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，；若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，分别求解即可． 【小问1详解】 解：①将点代入中， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：； ②当时，此时为平行x轴的直线， 将代入二次函数中得到：， 将代入二次函数中得到：， ∵， ∴=， 整理得到：， 又∵，代入上式得到：，解出， ∴，即直线为：， 又二次函数的顶点坐标为(2，-1)， ∴顶点(2,-1)到的距离为； 【小问2详解】 解：若M，N在对称轴的异侧，， ∴x1+3>2， ∴x1>-1， ∵ ∴， ∴-1<， ∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1， ∴y-（-1）=1， ∴a=， ∴， ∴； 若M、N在对称轴的异侧，，x1<2， ∵， ∴， ∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1， ∴y-（-1）=1， ∴a=， ∴， ∴， 综上所述，a的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $