精品解析：2024年江苏省南京市南师附中新城初中特长生选拔考试数学试题

2024年南师附中特长生选拔考试数学试题【综合部分】 一、填空题（每小题6分，共30分）． 1. 已知，则____________． 2 若，则____________． 3 已知正整数x，y满足，则____________． 4. 在中，，，，则的面积为____________． 5. 已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差绝对值不超过1，则这样的三位数个数为____________． 6. 已知二次函数，其图像与x轴有两个交点，横坐标为，，且，求k的值． 7 （1）求证：． （2）已知，证明2173是两个正整数的平方之和． 8. 如图，已知梯形，，，． （1）如图1，若过点O，且，则____________． （2）如图2，若，点G、H分别在、上，且，比较和的大小关系，并说明理由． （3）已知对应角相等，对应边成比例两个四边形称为相似四边形，则试说明梯形与梯形是否相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年南师附中特长生选拔考试数学试题【综合部分】 一、填空题（每小题6分，共30分）． 1. 已知，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】该题主要考查了三元一次方程组，解题的关键是加减消元． 根据算出，再根据算出，代入即可求解； 【详解】解：， 得：，即， 得：，即， ∴， 故答案为：1． 2. 若，则____________． 【答案】0 【解析】 【分析】该题主要考查了完全平方公式、绝对值的非负性，二次根式的性质等知识点，解题的关键是得出． 根据题意得出，再代入求解即可； 详解】解：∵， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：0． 3. 已知正整数x，y满足，则____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，等式的性质等知识，先利用等式的性质得出，根据x、y为正整数，可判定出为正整数，则得出或3，即可求解． 【详解】解∶∵，x为正整数， ∴， ∵y为正整数， ∴为正整数， ∴或3， 当时，，则； 当时，，则； 综上，为或． 4. 在中，，，，则的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交与H，连接，，利用垂径定理可得出，利用圆周角定理等可得出，，，利用余角的性质、等角对等边等得出，利用含的直角三角形的性质，求出，，在中，利用勾股定理得出，求出，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】解∶延长交与H，连接，， ∵，过圆心， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理圆周角定理，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线是解题的关键． 5. 已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为____________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了列举法，分百位数字、十位数字、个位数字为1，分别列举出所有可能即可． 【详解】解∶①当百位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，个位数字可能为0，1； 当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2； 当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123； ②当十位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0， ∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2， ∴三位数可能为110，111，112，210，211，212； ③当个位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字0时，百位数字可能为1； 当十位数字为1时，百位数字可能为1，2； 当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为101，111，211，121，221，321， ∴三位数可能100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个， 故答案为：13． 6. 已知二次函数，其图像与x轴有两个交点，横坐标为，，且，求k的值． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，解题的关键是利用根与系数的关系，整体代入求解．令，得方程，，即为方程的两根，利用根与系数的关系求得和，然后整体代入求解即可． 【详解】解∶∵二次函数，其图像与x轴有两个交点， ∴， ∴， 令，则，，即为方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得，（舍去） ∴k值为1． 7. （1）求证：． （2）已知，证明2173是两个正整数的平方之和． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是∶ （1）利用多项式乘以多项式计算左边，利用完全平方公式计算右边，然后验证即可； （2）把41，53分别写成两个正整数的平方和，然后利用（1）中求解即可． 【详解】证明：（1）∵左边， 右边 ， ∴左边=右边， ∴； （2）∵，， 由（1）知：， ∴， 或 又， ∴， 即2173是正整数43，18的平方之和或正整数27，38的平方之和． 8. 如图，已知梯形，，，． （1）如图1，若过点O，且，则____________． （2）如图2，若，点G、H分别在、上，且，比较和的大小关系，并说明理由． （3）已知对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形，则试说明梯形与梯形是否相似． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）梯形与梯形相似． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，进而得到， 设，，再证明，得到求解，即可解题； （2）由（1）同理可得，进而得到，利用作差法即可比较和的大小； （3）利用平行线性质可得梯形与梯形对应角相等，作交于点，交于点，得到四边形、是平行四边形，进而可得，，证明，得到，设，，得到，即可得到对应边成比例，证明梯形与梯形相似． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， 设，， ， ， ， ， 即， ． 故答案：． 【小问2详解】 解：由（1）同理可得， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ，， ， ， ，， 且， ，，， 作交于点，交于点， 四边形、是平行四边形， ， ，， ， ， ， 设，， ， ， ，， ， 梯形与梯形相似． 【点睛】本题考查平行线性质，相似三角形性质和判定，平行四边形性质和判定，分式的混合运算，相似梯形的判定，解题的关键在于作辅助线构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$