精品解析：2025年河南省郑州外国语学校中考数学四模试卷

2025年河南省郑州外国语学校中考数学四模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O） 液化温度（℃） 其中液化温度最低的气体是（ ） A. 氦气 B. 氢气 C. 氮气 D. 氧气 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键． 先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可． 【详解】解：， 液化温度最低的气体是氦气． 故选A． 2. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：从上面看，得到的图形是 故选：B． 3. 课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（ ） 用平方差公式分解下列各式： （1） （2） （3） （4） A. 第（1）道题 B. 第（2）道题 C. 第（3）道题 D. 第（4）道题 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式的形式逐个判断即可． 【详解】（1）符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确； （2），符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确； （3）不符合平方差公式的形式，题目错误； （4），符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平方差公式，牢记平方差公式是解题的关键． 4. 下列调查中，调查方式最合理的是（ ） A. 为了解重庆市初中生每天使用手机的时间，选择全面调查 B. 为了解一批护眼灯的使用寿命，选择抽样调查 C. 为了解乘坐飞机的乘客是否携带管制刀具，选择抽样调查 D. 为了解长江水域被污染的情况，选择全面调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、为了解重庆市初中生每天使用手机的时间，选择抽样调查，故A不符合题意； B、为了解一批护眼灯的使用寿命，选择抽样调查，故B符合题意； C、为了解乘坐飞机的乘客是否携带管制刀具，选择全面调查，故C不符合题意； D、为了解长江水域被污染的情况，选择抽样调查，故D不符合题意； 故选：B． 5. 如图，下列条件中，不能使成为菱形的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、菱形的定义和判定定理等知识，正确理解菱形的定义与判定定理是解题的关键．由四边形是平行四边形，对角线相等，可证明为矩形，但不一定是菱形，即可解决该问题． 【详解】解：A．四边形是平行四边形，且， 为菱形，故A不符合题意； B．四边形是平行四边形，且， 为菱形，故B不符合题意； C．四边形是平行四边形，且， 为矩形，但不一定是菱形，故C符合题意； D．平分， ， ， ， ， ，为菱形，故D不符合题意， 故选：C． 6. 汾河水库位于山西省太原市西北娄烦县境内下静游村至下石家庄之间．如图，水库某段横截面迎水坡的坡度（坡度），若坡高，则坡面的长度约为（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用：坡度坡角问题，熟记坡度的概念是解题的关键． 根据坡度的概念求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵迎水坡的坡度， 由勾股定理得：， 故选：C． 7. 若关于的方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．根据一元二次方程中，当根的判别式时，一元二次方程没有实数根，据此即可列出不等式，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故的值可以是． 故选：D． 8. 如图，有张分别印有版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为，然后根据概率公式求解即可，熟练掌握概率公式为解题的关键． 【详解】解：画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为， ∴两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为， 故选：． 9. 如图，的一边在轴上，反比例函数的图象过的顶点和对角线的中点，已知点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的图象与性质，先利用点是的中点求出点的坐标和反比例函数解析式，再由得到点的横坐标，代入反比例函数解析式求得点的坐标，再根据点是的中点求出点的坐标． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，点是的中点， 点是的中点， 又 ， 将点代入得： 反比例函数的解析式是． 点的横坐标是， 当时，， 又点是的中点，， 故选：C． 10. 小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组a、b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a、b的值满足（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定的取值是解题的关键．由图象可知，当时，，可知；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道，结合图象可以知道函数的取不到的值大概是在1的位置，所以． 【详解】解：由图象可知，当时，， ； ，结合图象可以知道函数的取不到的值大概是在1的位置， ． 故选：C 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 长方形的一边长为x，面积为1，则它的周长等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得长方形另一边长为，然后根据长方形周长公式可求解． 【详解】解：∵长方形的一边长为x，面积为1， ∴长方形另一边长为， ∴它的周长为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是理解题意． 12. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，例如麒麟990，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故答案为： 13. 某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为6米的点、处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为_____米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握实际问题与二次函数（拱桥问题）是解题的关键． 令，则，解方程可得，，然后根据即可求出这两个救生圈间的水平距离． 【详解】解：令，则， 解得：，， ， 故答案为：． 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧且线段，分别与相切，，为切点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质及弧长公式，勾股定理，设圆弧所在圆的圆心为，连接，，由，分别与相切，则，可求，，再通过勾股定理得，最后由弧长公式即可得到结论，掌握知识点的应用，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设圆弧所在圆的圆心为，连接，， ∵，分别与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长， ∴的长为， 故答案为：． 15. 如图，正方形ABCD中，AD＝ ，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）将△ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当△APB是等腰三角形时，AE＝______ ．（温馨提示：∵ ，∴ ） 【答案】2或 ##或2 【解析】 【分析】当AP=AB时，结合正方形的性质可得AB=AD=AP，由折叠的性质可得AD=DP，推出△APD为等边三角形，得到∠ADE=30°，然后根据勾股定理进行计算；当AP=PB时，过P作PF⊥AB于点F，过P作PG⊥AD于点G，则四边形AFPG为矩形，得到PG=AF，由等腰三角形的性质可得AF=AB，结合正方形以及折叠的性质可得PG=AF=PD，则∠GDP=30°，进而求得∠PEF=30°，设PF=x，则PE=AE=2x，EF=x，然后根据AE+EF=AF=PD进行计算． 【详解】解：当AP=AB时， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD， ∴AP=AD． ∵ 将△ADE沿DE对折， 得到△PDE， ∴AD=DP， ∴AP=AD=DP， ∴△APD为等边三角形， ∴∠ADP=60°， ∴∠ADE=30°， ∴， ∴设，则， ∴在中，，即， ∴解得：； 当AP=PB时，过P作PF⊥AB于点F，过P作PG⊥AD于点G， ∵AD⊥AB， ∴四边形AFPG为矩形， ∴PG=AF． ∵AP=PB，PF⊥AB， ∴AF=AB=． ∵AB=AD=DP， ∴PG=AF=PD=， 如图，作DP的中点M，连接GM， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴∠GDP=30°． ∵∠DAE=∠DPE=90°，∠ADP=30°， ∴∠AEP=150°， ∴∠PEF=30°． 设PF=x，则PE=AE=2x，EF=x， ∴AE+EF=(2+)x= ， ∴x=2-3， ∴AE=4-6． 故答案为：2或4-6． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定方法． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 近年来，各地以“大阅读”行动为抓手，创新搭建丰富多彩的阅读平台，积极策应全民阅读、书香城市建设．开展“大阅读”行动之后，某学校随机调查了本校七（1）班6名学生的前一周课外阅读情况，具体调查结果如下图： （1）调查的这6名学生前一周课外阅读次数的中位数是 次，调查的这6名学生前一周平均每次课外阅读时长的众数是 小时； （2）开展“大阅读”活动之后，学校目标是所有学生人均每周课外阅读总时长能达到3小时．请计算这6名学生前一周人均课外阅读总时长．并估计七（1）班前一周人均课外阅读总时长能否达到学校目标？ 【答案】（1）4.5，0.5 （2）4小时，能达到学校目标 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、加权平均数，掌握频数统计的方法是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）根据中位数和众数的定义即可得出答案； （2）根据样本中这6名学生前一周课外阅读次数，每次课外阅读时长可求出答案． 【小问1详解】 解：调查的这6名学生前一周课外阅读次数排列为3，4，4，5，6，7， ∴中位数是（次， 调查的这6名学生前一周平均每次课外阅读时长的众数是0.5小时； 故答案为：4.5，0.5； 【小问2详解】 解：这6名学生前一周人均课外阅读总时长为（小时）， 校目标是所有学生人均每周课外阅读总时长能达到3小时， 估计七（1）班前一周人均课外阅读总时长能达到学校目标． 18. 科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？ 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）月利润不高于100万元时共经历4个月 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象的性质，以及函数的解析式的求法；正确理解图是解题的关键； （1）根据反比例函数图象经过点，利用待定系数法求解出反比例函数解析式，再求出一次函数图象经过点，利用待定系数求解即可； （2）分别求出当时，反比例函数中，一次函数中，即可解答． 【小问1详解】 解：∵反比例函数图象经过点 ∴， ∴反比例函数表达式为； 又当时，， ∴一次函数图象经过点，， 即， ∴， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，对于反比例函数，对于一次函数， ∴月利润不高于100万元的月份有2月份，3月份，4月份和5月份， ∴月利润不高于100万元时共经历4个月． 19. 如图，在中 ，，平分交于点D （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 即为所作： （2） ， 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法即可作图； （2）证明出，再根据平行线分线段成比例定理即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元 （2）购买吊兰的数量最多为17盆 【解析】 【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，然后可得方程为，进而求解即可； （2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，然后可列不等式进行求解． 【小问1详解】 解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：当时，则， ∴是原方程的解， ∴， 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得： ， 解得：， ∵m是整数， ∴m取最大值为17； 答：购买吊兰的数量最多为17盆． 【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的应用是解题的关键． 21. 某户外实践活动小组欲测量球罐外斜梯的长度，实施了如下方案：先测得球罐最低处离地面高度米．接着一人站在球罐最高点处，看到斜梯末端处恰好被斜梯顶端遮挡（此时与⊙相切），已知过切点恰有一水平横梁交于斜梯末端处． （1）连接，求证：； （2）若眼睛与点的距离为1.5米，，求斜梯的长． 【答案】（1） 证明：由题意得：，均与相切， ∴， 又∵四边形内角和为， ∴， 又∵， ∴； （2）18米 【解析】 【分析】本题考查了相切的性质，切线长的性质，解直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意得，均与相切，结合四边形内角和为，故，根据，则，即可作答． （2）先设半径为，结合，即，解得，，设，得，则，算出米，最后根据切线长定理可知米，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设半径为， 在中，， ∴， 即， 解得， 在中，（米）， ∵， 设 ∴ ∴， ∴（米） ∵，均与相切， ∴根据切线长定理可知（米）． 答：斜梯的长为18米． 22. 已知二次函数． （1）该二次函数图象的顶点坐标（用含a的式子表示）为______；抛物线与x轴的交点坐标为______； （2）若该二次函数的图象开口向上，当时，y的最大值是4，求抛物线的解析式； （3）已知，两点均在二次函数的图象上，若，，，求t的取值范围． 【答案】（1）；， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，函数的最值问题等知识： （1）将函数关系式化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标，令，解方程求出x的值，可得出抛物线与x轴的交点坐标； （2）构建方程求出a的值即可解决问题； （3）结合函数图象，列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 令，则， 解得，，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 故答案为：；，； 【小问2详解】 解：∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，且当时，y的最大值是4， ∴当时，y的最大值为4， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：如图， ∵对称轴为直线， ∴与时的y值相等， ∵时，均满足， ∴此时，的取值范围是：， ∴， 解得， 23. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”． （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； （2）①如图2，在四边形中，，，对角线平分，请问______？此时对角线是四边形的“亲子线”吗？请说明理由； ②若，求的值． （3）如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点E，使，过点E作交于点F，得到，连接，在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长______． 【答案】（1） 点，，，即为所求． （2） ①135，是四边形的“亲子线”，理由如下： ，平分， ， ， 又， ， ， ∴是四边形的“亲子线”． 故答案为：135； ②10； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，理解新定义以及判断两三角形相似的方法是解本题的关键． （1）先运用勾股定理求出，再分情况求出或，然后根据或的长作图即可； （2）①先判断出，再证明即可得出结论；②根据，根据相似三角形的性质列比例式求出的值即可； （3）先由得出、，再分两种情况，①如图，延长交于点H，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可；②如图，设与交于点G，先得出为等腰直角三角形，再得出，再得出，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【小问1详解】 解：如图：，，，， 四边形是以为“亲子线”的四边形， 当时，或， 或， 或， 或， 同理：当时，或； 故如图，点，，，即为所求． 【小问2详解】 解：①略 ②， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：①由（2）可知为等腰直角三角形，， ， ，且相似比为， ，， 如图，延长交于点H，由题意可得：于H， ， ， ， ， ，， ， ， 即， ． ②如图，设与交于点G， ， 为等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， 同理可证：， ，即， ； 综上，或． 故答案为：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省郑州外国语学校中考数学四模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O） 液化温度（℃） 其中液化温度最低的气体是（ ） A. 氦气 B. 氢气 C. 氮气 D. 氧气 2. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（ ） 用平方差公式分解下列各式： （1） （2） （3） （4） A. 第（1）道题 B. 第（2）道题 C. 第（3）道题 D. 第（4）道题 4. 下列调查中，调查方式最合理的是（ ） A. 为了解重庆市初中生每天使用手机的时间，选择全面调查 B. 为了解一批护眼灯的使用寿命，选择抽样调查 C. 为了解乘坐飞机的乘客是否携带管制刀具，选择抽样调查 D. 为了解长江水域被污染的情况，选择全面调查 5. 如图，下列条件中，不能使成为菱形的是（ ） A. B. C. D. 平分 6. 汾河水库位于山西省太原市西北娄烦县境内下静游村至下石家庄之间．如图，水库某段横截面迎水坡的坡度（坡度），若坡高，则坡面的长度约为（参考数据：） A. B. C. D. 7. 若关于的方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，有张分别印有版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的一边在轴上，反比例函数的图象过的顶点和对角线的中点，已知点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组a、b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a、b的值满足（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 长方形的一边长为x，面积为1，则它的周长等于______． 12. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，例如麒麟990，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将用科学记数法表示为______． 13. 某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为6米的点、处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为_____米． 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧且线段，分别与相切，，为切点，若，，则的长为______． 15. 如图，正方形ABCD中，AD＝ ，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）将△ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当△APB是等腰三角形时，AE＝______ ．（温馨提示：∵ ，∴ ） 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 近年来，各地以“大阅读”行动为抓手，创新搭建丰富多彩的阅读平台，积极策应全民阅读、书香城市建设．开展“大阅读”行动之后，某学校随机调查了本校七（1）班6名学生的前一周课外阅读情况，具体调查结果如下图： （1）调查的这6名学生前一周课外阅读次数的中位数是 次，调查的这6名学生前一周平均每次课外阅读时长的众数是 小时； （2）开展“大阅读”活动之后，学校目标是所有学生人均每周课外阅读总时长能达到3小时．请计算这6名学生前一周人均课外阅读总时长．并估计七（1）班前一周人均课外阅读总时长能否达到学校目标？ 18. 科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？ 19. 如图，在中 ，，平分交于点D （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明． 20. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 21. 某户外实践活动小组欲测量球罐外斜梯的长度，实施了如下方案：先测得球罐最低处离地面高度米．接着一人站在球罐最高点处，看到斜梯末端处恰好被斜梯顶端遮挡（此时与⊙相切），已知过切点恰有一水平横梁交于斜梯末端处． （1）连接，求证：； （2）若眼睛与点的距离为1.5米，，求斜梯的长． 22. 已知二次函数． （1）该二次函数图象的顶点坐标（用含a的式子表示）为______；抛物线与x轴的交点坐标为______； （2）若该二次函数的图象开口向上，当时，y的最大值是4，求抛物线的解析式； （3）已知，两点均在二次函数的图象上，若，，，求t的取值范围． 23. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”． （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； （2）①如图2，在四边形中，，，对角线平分，请问______？此时对角线是四边形的“亲子线”吗？请说明理由； ②若，求的值． （3）如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点E，使，过点E作交于点F，得到，连接，在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $