精品解析：福建省三明市尤溪县第七中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

尤溪七中2024～2025学年（下）学期第一次月考 八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 若是非负数，则用不等式可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数及大于等于0的数，列出不等式即可求解． 【详解】解：是非负数，则用不等式可表示为， 故选：D． 【点睛】本题考查了列不等式，抓住不等关系的关键词语是解题的关键． 2. 已知直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理即可求出斜边长． 【详解】由勾股定理得：斜边长为：=5． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，理解勾股定理的内容是解题的关键． 3. 不等式的正整数解是（ ） A. 1，2 B. 0，1，2 C. 1，2，3 D. 0，1，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】直接写出小于3的正整数即可，0不是正数． 【详解】解：不等式的正整数解是1，2， 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的整数解，正确理解题意是解题的关键． 4. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等即可求得答案. 【详解】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，线段PA＝5 ∴PA=PB， 即PB=5. 故选B. 5. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：A：在不等式两边同时加上一个数，不改变不等号的方向．若，则，故A错误； B：在不等式两边同时乘上一个负数，不等号的方向改变．若，则，故B错误； C：在不等式两边同时减去一个数，不改变不等号的方向．若，则，故C错误； D：在不等式两边同时乘上一个正数，不改变不等号的方向．若，则，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质．熟记相关结论即可． 6. 如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解，求解的度数是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形的中线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”， 应先假设这个三角形中每一个内角都小于． 故选：B． 8. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对道题，则他答错或不答的题数为．根据题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 10x−5(20−x)>120， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 9. 如图，在中，，，于点，是的平分线，交于点．若，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意以及含30度角的直角三角形的性质，得出，进而证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边三角形的性质，得出是等边三角形是解题的关键． 10. 如图，直线与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不等式＋3≥0的解集是（　　） A. x≥0 B. x≤0 C. x≥2 D. x≤2 【答案】A 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出直线解析式y=kx+b，再根据函数与不等式即可确定不等式kx+b+3≥0的解集是x≥0． 【详解】解：直线y=kx+b与x轴的交点为A(2，0)， 即当y=0时，x=2，2k+b=0 直线y=kx+b与x轴的交点为B（0，－3）， 即当x=0时，y=-3，则b=-3 ∴ 解得 ∴直线解析式为 ∴＋3= ∴ 不等式kx+b+3≥0的解集是x≥0． 故选：A． 【点睛】考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，仔细观察图形、注重数形结合是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若一个关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴得出不等式的解集即可． 【详解】解：由数轴可知：不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，能根据数轴上点的位置得出不等式的解集是解此题的关键． 12. 使根式有意义的x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义， 必须， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为__________. 【答案】3． 【解析】 【详解】试题分析：如图，过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PC，已知PC=3，所以PD=3． 考点：角平分线的性质． 14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为______． 【答案】69°或21° 【解析】 【分析】分两种情况①若∠A<90°，利用直角三角形两锐角互余，求∠A，若∠A>90°，利用直角三角形两锐角互余求出∠A的补角即可． 【详解】分两种情况讨论： ①若∠A<90°，如图1所示： ∵BD⊥AC， ∴∠A+∠ABD=90°， ∵∠ABD=48°， ∴∠A=90°−48°=42°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C= (180°−42°)=69°； ②若∠A>90°，如图2所示： 同①可得：∠DAB=90°−48°=42°， ∴∠BAC=180°−42°=138°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C= (180°−138°)=21°； 综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°． 故答案为69°或21°． 【点睛】本题考查直角三角形的两锐角互余性质，等腰三角形性质，三角形内角和，掌握直角三角形的两锐角互余性质，等腰三角形性质，三角形内角和是解题关键． 15. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据不等式的性质得到，进而求解，即可解题． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得， 故答案为：． 16. 如图，在中，、的平分线、交于点，延长，，于点，于点，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①过点作于点，根据角平分线的性质即可进行判断；②证，即可进行判断；③根据“平分，平分” 即可进行判断；④由②中全等三角形的性质即可进行判断． 【详解】解：①如图，过点作于点， 平分，平分，，，， ，， ， ，， 平分，故①正确； ②，， ， ， 在和中， ， ， 同理：， ， ， ，故②正确； ③平分，平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确． 故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判断及性质等知识点．熟记相关结论是解题关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】； 在数轴表示解集如下： 【解析】 【分析】按照去分母、移项、合并同类项、化系数为1的步骤求解不等式，再将解集在数轴上表示出来． 【详解】解：去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为1： 【点睛】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握相关求解步骤是解题关键． 18. 求不等式的非负整数解． 【答案】不等式的非负整数解为：0，1，2，3 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后再确定非负整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴不等式的非负整数解为：0，1，2，3． 【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的非负整数解，正确求解不等式是解答本题的关键． 19. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 【答案】−1≤x＜3； 在坐标轴上表示： ． 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出这些不等式解集的公共部分，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①得：x≥−1； 由②得：x＜3； ∴原不等式组的解集为−1≤x＜3． 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 20. 一次函数与正比例函数交于点． （1）确定一次函数的表达式； （2）当x取何值时，? 【答案】（1）一次函的表达式数 （2）当时， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法把代入计算即可得到的值，即可得出答案； （2）利用函数表达式可得，再解即可． 【小问1详解】 由已知，将点代入得： ， 解得：， 故一次函数表达式为：； 【小问2详解】 ， ， 解得：， 当时，． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及一次函数与不等式的关系，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 21. 如图，在中，于点E． （1）尺规作图：过点作，垂足为点D．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若．求证：． 【答案】（1） 如图，线段BD即为所求； （2） 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， ∴在Rt△BEC和Rt△CDB中， ， ∴Rt△BECRt△CDB（HL） ∴∠ABC＝∠ACB ∴AB＝AC． 【解析】 【分析】（1）以B为圆心，适当长为半径作弧交AC边于点M、N，进而作MN的垂直平分线，交AC于点D，连接BD，则点D即为所求； （2）根据HL证明Rt△BECRt△CDB即可得证∠EBC=∠DCB，根据等角对等边即可得到AB=AC． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查了作垂线、等腰三角形的性质与判定，HL判定三角形全等以及全等的性质，掌握以上知识是解题的关键． 22. 某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？ 【答案】该商品至多可打7折． 【解析】 【分析】设该商品打x折销售，利用利润＝售价﹣进价，结合利润率不低于5%，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】设该商品打x折销售，根据题意得： ， 解得：， ∴x的最小值为7． 答：该商品至多可打7折． 【点睛】本题主要考查了列一元一次不等式解利润问题，解题的关键是熟练掌握进价、售价、利润、利润率之间的关系，正确的列出不等式． 23. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD． 【答案】（1）；（2）证明见试题解析． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由角平分线的性质可知CD=DE=4cm，由于∠C=90°，故∠B=∠BDE=45°，△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得可得BD，AC的值； （2）由（1）可知：△ACD≌△AED，AC=AE，BE=DE=CD，故AB=AE+BE=AC+CD． 试题解析：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=CD=4cm，又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，又∵∠C=90°，∴∠B=∠BDE=45°，∴BE=DE=4cm． 在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD=cm，∴AC=BC=CD+BD=（cm）． （2）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴∠ADE=∠ADC，∴AC=AE，又∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD． 考点：1．勾股定理；2．直角三角形全等的判定；3．角平分线的性质． 24. 为了全面推进素质教育．增强学生体质，丰富校园文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买A，B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少元； （2）运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？并求出最小总费用． 【答案】（1）A种奖品的单价为10元，种奖品的单价为15元 （2）共有8种购买方案，购买75件种奖品，25件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为1125元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程组和不等式组． （1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据所给数量关系列二元一次方程组，解方程即可； （2）设运动会组委会购进件种奖品，则购进件种奖品，根据所给数量关系列一元一次不等式组，种商品单价较低，因此取最大值时购买奖品总费用最少． 【小问1详解】 解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 依题意，得：， 解得， 答：A种奖品的单价为10元，种奖品的单价为15元． 【小问2详解】 解：设运动会组委会购进件种奖品，则购进件种奖品， 依题意，得：， 解得， 种)． ∵， ∴A种奖品的单价较低，要使总费用最少，需尽可能多的购买A种奖品， ∴当时，购买奖品总费用最少，最少费用为（元）， 综上可知，共有8种购买方案，购买75件种奖品，25件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为1125元． 25. 如图，C是线段上的一点，以为斜边在线段同侧作等腰直角三角形和，过D作于点D，且，连接交于点G，连接． （1）求证：； （2）请判断的形状，并说明理由； （3）请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠EDC=45°， ∵DF⊥DE于点D， ∴∠EDF=90°， ∴∠FDB=45°， 在和中， ， ∴≌（AAS） （2） 解：△AEF是等腰直角三角形， 理由：∵和都是等腰直角三角形， ∴AB=AC，EC=ED，∠ACB=∠ECD=45°，∠CED=90°， ∴∠ECA=90°， ∵AB=DF， ∴CA=DF， 在和中， ， ∴≌（SAS）， ∴EA=EF，∠AEC=∠FED， ∵∠CEF+∠FED=90°， ∴∠CEF+∠AEC=90°，即∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形. （3）∠CAG+∠DEF =45°，理由： 如图： 由（2）知：△AEF是等腰直角三角形， ∴∠1=45°， ∵≌， ∴∠2=∠DEF， ∵∠ECA=90°， ∴∠CAG+∠3=90°， ∵∠1+∠2=∠3， ∴∠CAG+∠1+∠2=90°， ∴∠CAG+∠45°+∠DEF =90°， ∴∠CAG+∠DEF =45°. 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠EDC=45°，由垂直的定义得∠EDF=90°，由此∠FDB=45°，再由AAS证和全等即可； （2）△AEF是等腰直角三角形，理由：由等腰直角三角形的性质得，AB=AC，EC=ED，∠ACB=∠ECD=45°，∠CED=90°，故∠ECA=90°，等量代换得CA=DF，由SAS证得和全等，可得EA=EF，∠AEC=∠FED，进而∠AEF=90°，由此可证△AEF是等腰直角三角形； （3）如图，由等边对等角可得，∠1=45°，由全等三角形对应角相等得∠2=∠DEF，由直角三角形两锐角互余得∠CAG+∠3=90°，由三角形外角的性质可得∠1+∠2=∠3，等量代换即可得到∠CAG+∠DEF =45°. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，掌握相应的性质和判定是解答此题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 尤溪七中2024～2025学年（下）学期第一次月考 八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 若是非负数，则用不等式可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 不等式的正整数解是（ ） A. 1，2 B. 0，1，2 C. 1，2，3 D. 0，1，2，3 4. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（） A. B. C. D. 7. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 8. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对道题，则他答错或不答的题数为．根据题意得（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，于点，是的平分线，交于点．若，则的长为( ) A. B. C. D. 10. 如图，直线与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不等式＋3≥0的解集是（　　） A. x≥0 B. x≤0 C. x≥2 D. x≤2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若一个关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集为_______． 12. 使根式有意义的x的取值范围是___． 13. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为__________. 14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为______． 15. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是________． 16. 如图，在中，、的平分线、交于点，延长，，于点，于点，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的序号是________． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 18. 求不等式的非负整数解． 19. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 20. 一次函数与正比例函数交于点． （1）确定一次函数的表达式； （2）当x取何值时，? 21. 如图，在中，于点E． （1）尺规作图：过点作，垂足为点D．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若．求证：． 22. 某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？ 23. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD． 24. 为了全面推进素质教育．增强学生体质，丰富校园文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买A，B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少元； （2）运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？并求出最小总费用． 25. 如图，C是线段上的一点，以为斜边在线段同侧作等腰直角三角形和，过D作于点D，且，连接交于点G，连接． （1）求证：； （2）请判断的形状，并说明理由； （3）请写出与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $