精品解析：2025年广东省东莞市松山湖未来学校中考数学三模试卷　

2025年广东省东莞市松山湖未来学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 从长度分别为2、3、5、6的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 9. 如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，二次函数（，是常数）的图像的顶点在线段上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解： __． 12. 计算：_________________ 13. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是________． 14. 如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是______ 15. 如图，在正方形中，，点E在对角线上，且不与A，C重合，过点E作于点F，于点G，连接，，①．②若 ，则 ．③．④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是________________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：．其中． 17. 如图所示，为等腰直角三角形，，点是的中点，点是上一点． （1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：． 18. 人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 19. 为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）． 2月份测试成绩统计表 个数 人数 表1 本学期测试成绩统计表 1 平均数/个 众数/个 中位数/个 合格率 2月 3月 4月 5月 6月 表2 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值； （2）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果； （3）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数． 20. 如图，在中，是直径，是弦，点F在弧上，且弧与弧相等，与交于点C，点D为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 阅读材料，完成任务． 素材一 如图（1），一个书架上放着8个完全一样长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边1个档案盒向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在左边的档案盒上 素材二 其示意图如图（2），经测量知书架内侧长度，，档案盒． （参考数据：，，） 任务一 计算右边档案盒的顶点D到它所靠的档案盒的距离 （1）求的长（结果保留整数） 任务二 求出每个档案盒的厚度 （2）求的长（结果保留整数） 任务三 书架摆放档案盒的设计 （3）求出该书架上最多能放几个这样的档案盒 22. 把矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为，，． 【知识技能】（1）如图1，当点落在上时，连接．判断的形状并证明． 【数学理解】（2）如图2，当点落在延长线上时，连接，延长交于点，求证：． 【拓展探索】（3）如图3，当点落在上时，连接交于点．若，请求出的长． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省东莞市松山湖未来学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握负数的大小比较方法是解题的关键． 根据负数比较大小中，绝对值越大数字越小进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. “斗”是古代常用的粮食度量用具，如图是它的几何示意图，则下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如下图所示： 5. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，逐项判断即可． 【详解】解：A.，故该选项不符合题意； B.，故该选项不符合题意； C.， 故该选项符合题意； D.， 故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 从长度分别为2、3、5、6的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握方法是解题的关键． 利用画树状图法解答即可． 【详解】解：根据题意，画图如下： 一共有4种等可能性，构成三角形的有2，5，6和3，5，6共2种等可能性， 故能构成三角形的概率为， 故选：A． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．此题考查了在数轴上表示不等式组的解集，以及解一元一次不等式组，把每个不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 故选：C． 8. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 9. 如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：（长方形的长）（长方形的宽），即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，二次函数（，是常数）的图像的顶点在线段上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，熟知二次函数的图像和性质是解题的关键； 先用，表示出二次函数图像的顶点坐标，再结合该顶点在线段上即可解决问题； 【详解】解：∵二次函数解析式为（，是常数）， 顶点坐标为， 又，， 直线的函数解析式为， 二次函数图像的顶点在线段上， ，且， 则， 当时，有最大值为； 故选：B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解： __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，原式直接提取公因式即可得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 计算：_________________ 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，负整数指数幂．熟练掌握求一个数的立方根与负整数指数幂运算法则是解题的关键． 先根据立方根与负整数指数幂运算法则计算，再计算加减即可． 【详解】解： 故答案为：7． 13. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：． 14. 如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是______ 【答案】 ## 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°， ∴AD=AB=6,∠ADC=180°−60°=120°， ∵DF是菱形的高， ∴DF⊥AB， ∴DF=AD⋅sin60°=6×=， ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积−扇形DEFG的面积=6×−=， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，点E在对角线上，且不与A，C重合，过点E作于点F，于点G，连接，，①．②若 ，则 ．③．④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是________________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由正方形的性质得 ，，由勾股定理求解，即可判断①；连接交于，由正方形的性质得，由勾股定理得，即可判断②； 连接，由矩形的判定方法得四边形是矩形，由矩形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质即可判断③； 当时，的值最小，此时，即可判断④； 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ，故①正确； 如图，连接交于， 四边形是正方形， ， ， ， ，故②不正确； 如图，连接， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中 ， （）， ， ，故③正确； 当时，的值最小， 此时， 四边形是正方形， ， ， ， 的最小值为；故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，垂线段最短，化为最简二次根式等；掌握相关的判定方法及性质，找出取得最值的条件是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 17. 如图所示，为等腰直角三角形，，点是的中点，点是上一点． （1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规基本作图—作垂线作出的垂线即可； （2）证明即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，的垂线即为所求． 【小问2详解】 证明：由题意，得是等腰直角三角形，． 点是的中点， ．， ． ． ． ， ． ． ． 在和中， ． ． 【点睛】本题考查了尺规基本作图—作垂线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的性质，熟记线段垂线的基本作法是解题的关键． 18. 人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料，由题意型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解∶ 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料， 根据题意得∶， 解得∶， 经检验，为原方程的解，且符合题意， 则， ∴种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料． 19. 为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）． 2月份测试成绩统计表 个数 人数 表1 本学期测试成绩统计表 1 平均数/个 众数/个 中位数/个 合格率 2月 3月 4月 5月 6月 表2 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值； （2）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果； （3）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数． 【答案】（1）统计图补充如下图： （2）解：本次引体向上训练活动的效果明显， 从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加， 从中位数看，引体向上个数逐月增加， 从众数看，引体向上的个数越来越大，（答案不唯一，合理即可） （3） 【解析】 【分析】（1）根据总人数减去引体向上为其他个数的人数，进而补充条形统计图，根据题意求得合格率，补充折线统计图，根据平均数，众数的定义，即可得出的值； （2）根据平均数，众数，中位数，合格率，分析； （3）根据样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：月测试成绩中，引体向上个的人数为 根据表2可得， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数为人 【点睛】本题考查了条形统计图，折线统计图，统计表，样本估计总体，以及求平均数，众数 ，中位数的意义；掌握相关的统计量的意义是解题的关键． 20. 如图，在中，是直径，是弦，点F在弧上，且弧与弧相等，与交于点C，点D为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵弧与弧相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵为半径， ∴是的切线； （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，弧与弦之间的关系，解直角三角形和勾股定理等等，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）证明，，则由三角形内角和定理可证明，即，据此可证明结论； （2）连接，则有，证明，由勾股定理得，根据，可得，进一步可推出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ∵弧与弧相等，且， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在和中， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴． 21. 阅读材料，完成任务． 素材一 如图（1），一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边1个档案盒向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在左边的档案盒上 素材二 其示意图如图（2），经测量知书架内侧长度，，档案盒． （参考数据：，，） 任务一 计算右边档案盒的顶点D到它所靠的档案盒的距离 （1）求的长（结果保留整数） 任务二 求出每个档案盒的厚度 （2）求的长（结果保留整数） 任务三 书架摆放档案盒的设计 （3）求出该书架上最多能放几个这样的档案盒 【答案】（1）长度约为；（2）每一个档案盒的厚度；（3）该书架中最多能放个这样的档案盒． 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用． （1）根据，即可求解； （2），则，推出，设每一个档案盒的厚度为，则，根据“书架内侧长为”，列方程即可求解； （3）用书架的总长度除以每一个档案盒的厚度即可求解． 【详解】解：（1）在中，，， ， 长度约为； （2）如图，由题意得：， ， ， ， 设每一个档案盒的厚度为， 在中，， ， 由题意得：， ， 即每一个档案盒的厚度； （3）（个）， 该书架中最多能放个这样的档案盒． 22. 把矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为，，． 【知识技能】（1）如图1，当点落在上时，连接．判断的形状并证明． 【数学理解】（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，延长交于点，求证：． 【拓展探索】（3）如图3，当点落在上时，连接交于点．若，请求出的长． 【答案】（1）是等腰直角三角形， 证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴当点落在上时，旋转角为， 由旋转的性质，得， ∴是等腰直角三角形． （2）证明：如图所示，连接，交于点， 在矩形中，，，，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质，得， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）当点落在上时，旋转角为，由旋转的性质，得，由此即可求解； （2）如图所示，连接，交于点，由矩形的性质得到，由旋转的性质，得，则，所以有四边形为平行四边形，由平行四边形的性质即可求解； （3）由勾股定理得到，如图所示，过点作于点，，又，求得，，，，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 如图所示，过点作于点， 由旋转的性质，得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题主要考查矩形、旋转的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质是关键． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 【答案】（1）是矩形的“友好函数” （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可； 分四种情况讨论，当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，根据矩形面积公式，求出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； 【小问2详解】 解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，， ③当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，不符合题意， 当，且时， 解得，则， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $