精品解析：2025年河南省南阳市第二十一学校中考数学三模试卷

2025年河南省南阳市第二十一学校中考数学三模试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。 1. 如图，数轴上点表示的数是2025，，则点表示的数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数轴上点表示数，根据可得点A、B表示的数是相反数解题即可． 【详解】解：∵，点表示的数是2025， ∴点表示的数是， 故选：A． 2. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭；十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄句，10句合，则5合为（　　） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数，根据题意先列式，再利用科学记数法表示即可． 【详解】解：由题意可得：5合为粟． 故选B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握平方差公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则判断选项A；根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断选项B；根据同底数幂的乘法运算法则判断选项C；根据平方差公式判断选项D即可． 【详解】解：A． ，故选项A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C正确； D．，故选项D错误． 故选：C． 4. 四川三星堆遗址被称为世纪人类最伟大的考古发现之一，让学术界开始重新审视人类文明的发展史．下图是年月首次亮相的青铜瓿，它有“圆口、深腹”等特征．有关其三视图（忽略表面凸起部分）说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据几何体的形状特点即可判断求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：由图形可得，几何体的主视图和左视图完全相同， 故选：． 5. 如图，一束平行光线与水平面成的角度照射地面，现在地面上支放一个平面镜，使这束光线经过平面镜反射后沿与平行的方向射出，则平面镜与地面的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．如图所示，延长反射光线，根据对顶角相等以及题意可得，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，延长反射光线， 则， ， ， 这束光线经过平面镜反射后沿与平行的方向射出，即， ，， ， ． 故选：C． 6. 若实数a在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是根据数轴上a的值，来确定判别式的大；根据一元二次方程的根的判别式，并且结合数轴上a的大小，确定出判别式的大小，即可判断出方程的根的情况 ． 【详解】解：∵一元二次方程， ， 由数轴可得， ， ， ， 方程没有实数根． 故选：． 7. 某酒店客房的智能家居触摸开关如图所示，每个开关分别对应一种电器设备（可以同时触摸多个开关），其中表示电视，表示床灯，表示廊灯，表示新风．现该酒店某客房的四种电器设备均处于关闭状态，若服务人员随机同时触摸两个开关，则恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求两次事件的概率，正确理解题意、掌握解答的方法是关键． 先画出树状图，得到所有可能的情况数，再从中找出符合题意的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画出树状图如下： 由图可得：所有出现的等可能结果共有种，其中符合题意的有种， ∴恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为； 故选：B． 8. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为40，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点． 由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转中的坐标规律探究，根据题意，每旋转6次回到原位置，利用判断第2025次旋转后，点所在的位置，进行求解即可． 【详解】解：∵，，点， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转次，回到原来的位置， ∵， ∴第2025次旋转后，与第三次旋转后的位置相同，如图： 作轴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故第2025次旋转后，点的坐标为； 故选D． 10. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化．如图是和两种物质在水中的溶解度与温度之间的溶解度曲线，关于溶液浓度计算的相关信息见表．下列说法不正确的是（　　） 信息窗 1．溶质质量+溶剂质量＝溶液质量． 2．溶液浓度． 3．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A. 和两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大 B. 时，溶解度较大的物质是 C. 时，将加入水中，充分溶解后，得到不饱和溶液 D. 将的饱和溶液降温至，溶液中溶质质量不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，函数增减性的含义．根据函数图象对各条信息逐一判断即可． 【详解】解：观察图象可知两种物质的溶解度随着温度的升高而增大，所以A正确； 时，由图象可得的溶解度大于的溶解度，可知的溶解度大，所以B正确； 在时，的溶解度大于，可知加入水中，得到不饱和溶液，所以C正确； 观察图象可知，时的溶解度超过，而时的溶解度是，可知溶质质量发生变化，所以D不正确． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个系数为2，次数是3，且只含有a，b两个字母的单项式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查单项式的系数和次数，根据单项式的系数为单项式的数字因数，次数为所有字母的指数和，进行作答即可． 【详解】解：由题意，单项式可以为； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 不等式组的解集是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤即可求解． 【详解】解： 解①得： 解②得： 故该不等式组的解集为： 故答案为： 【点睛】本题考查求解一元一次不等式组，掌握求解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．注意计算的准确性． 13. 如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的某省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，解题关键是根据多次实验得出小球落在不规则图案上的概率大约是0.65，据此求出不规则图案的面积即可． 【详解】解：根据若干次有效试验的结果绘制成的统计图，可知小球落在不规则图案上的概率大约是0.65，不规则图案的面积占整体面积的0.65， 所以不规则图案的面积为， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点O，交于点P．则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理、角平分线的定义等知识点，正确的做出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 由题意可知，平分，根据角平分线的定义得到，根据平行四边形的性质得到、，可以得到，进而得出是等边三角形，得到，再证明，由相似三角形的性质求得，过A点作交的延长线于G，根据勾股定理得到的长即可解答． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴、， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：过A点作交的延长线于G， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是___________ ，此时的长为_____ ． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】由题意可得是等腰直角三角形，得出，可得当时，最小，即最小，只要利用勾股定理和等面积法求出即可求出的最小值；作辅助线如图，可得四边形是矩形，推出，，等面积法求出，勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质得出，，进而可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，最小，即最小，如图， ∵正方形中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 此时， 过点G作，，垂足分别为H、I，过点F作于P，如图， ∵，， ∴，， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线、熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，零指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数，负整数指数幂，分式的加减等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）零指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数，负整数指数幂的运算法则逐步进行计算即可； （2）先进行通分，再对分子进行化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 17. 近年来，未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势，为了提升学生的安全意识，兴华中学组织七、八年级的学生参加了防范电信网络诈骗安全知识竞赛(成绩：x，单位：分，满分100分)，并将测试成绩分为五个等级：A．，B．，C．，D．，E．．现随机抽取了七、八年级各15名学生的测试成绩进行整理分析，过程如下： 【收集、整理数据】七年级15名学生的测试成绩为：76，81，84，97，98，85，100，92，87，92，94，92，98，95，100． 八年级15名学生的测试成绩整理如下： 测试成绩等级 八年级 1 2 3 5 4 其中 D 等级的有：93，91，90，94，94． 【分析数据】 年级 平均数 众数 中位数 七年级 a 92 八年级 87 b （1）根据以上信息，可以求出 ， ． （2）若规定测试成绩在92分及以上为优秀，请估计本次参加防范电信网络诈骗安全知识竞赛的510名七年级学生中，成绩为优秀的共有多少名； （3）根据以上数据，你认为七、八两个年级中，哪个年级的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好？请说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）92，91 （2）成绩为优秀的共有340名 （3） 七年级的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好，理由如下： 七、八年级测试成绩平均分相等，但七年级测试成绩的中位数和众数均大于八年级测试成绩的中位数和众数， ∴七年级的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，众数，中位数的定义，用样本估计总体，根据众数做决策． （1）根据众数和中位数的定义，即可求出a和b的值； （2）用七年级总人数乘以七年级优秀人数所占百分比，即可解答； （3）根据七八年级的平均分，众数，中位数，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 七年级15名学生的测试成绩中，92出现的次数最多， ∴， ∵八年级中一共抽取了15名学生的成绩， ∴中位数为第8名学生的成绩， ∵，， ∴中位数为第4组中从小到大排列的第2个数据， ∴， 故答案为：92，91； 【小问2详解】 解：（名） 答：成绩为优秀的共有340名； 【小问3详解】 略 18. 如图所示，为等腰直角三角形，，点是的中点，点是上一点． （1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 解：如图所示，的垂线即为所求． （2） 证明：由题意，得是等腰直角三角形，． 点是的中点， ．， ． ． ． ， ． ． ． 在和中， ． ． 【解析】 【分析】（1）根据尺规基本作图—作垂线作出的垂线即可； （2）证明即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规基本作图—作垂线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的性质，熟记线段垂线的基本作法是解题的关键． 19. 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点，以为对角线作正方形，以为直径画弧． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的长度； （3）请直接写出阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由反比例函数的图象经过点，得到，求得反比例函数的表达式为； （2）根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为，再求出弧长即可； （3）设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，为对角线，， 点是四边形的中心， 连接， ，， ，为所在圆的直径， 所对圆心角的度数为：， ， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接， ， ，，， ， ∴， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积 ， 图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积 ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，弧长计算，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． 20. 某校计划在期末对校级“三好学生”进行表彰，准备购买某款精装硬皮笔记本作为奖品．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价统一，花费300元购买这款笔记本的数量比花费100元购买这款笔记本的数量多20本． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设该校购买本笔记本，在甲商店购买所花费用为元，在乙商店购买所花费用为元．其函数图象如图所示． （1）求这款笔记本的单价． （2）求图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． （3）根据图象直接写出该校应选择哪家商店购买笔记本． 【答案】（1）10元 （2）；当学校购买70本笔记本时，在两家商店所花费用相同，均为660元 （3）当或时，在甲、乙两家商店购买均可；当时，应在甲商店购买；当时，应在乙商店购买 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握分式方程和二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）设这款笔记本的单价是x元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）根据优惠活动分别写出关于x的函数关系式，设，列关于x和y的二元一次方程组并求解，说明点M的实际意义即可； （3）根据图象和点M的坐标作答即可． 【小问1详解】 解：设这款笔记本的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：这款笔记本的单价为10元． 【小问2详解】 解：当时，， ∴当时，与x之间的函数关系式为． 当时，， ∴当时，与x之间的函数关系式为． 由图象可知，点M是函数和图象的交点， 故令，解得，此时， ∴点M的坐标为． 点M表示的实际意义：当学校购买70本笔记本时，在两家商店所花费用相同，均为660元． 【小问3详解】 解：由图象可知，当或时，， 当时，， 当时，， ∴当或时，在家商店购买所花费用相同，任选一家购买即可；当时，应选择甲商店购买；当时，应选择乙商店购买． 21. 如图（1）是水平地面上的弧形建筑，是弧形框架，是垂直于地面 的支架，且分别与相切于点A，B．已知． （1）求弧所在圆的直径． （2）若在点A处观察点N的俯角为，求的度数． （3）如图（2），小明站在弧形建筑左侧的点E处，测得该弧形建筑的最大仰角，已知小明的身高，请直接写出的长．（结果精确到． 参考数据：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】． 本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，垂径定理，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）设弧所在圆的圆心为，连接，过作于，证明四边形是直径，即可解答； （2）连接，证明，利用平行线的性质和等腰三角形的性质即可解答； （3）连接，连接，证明四点共线，再解直角三角形即可解答． 【小问1详解】 解：如图，设弧所在圆的圆心为，连接，过作于， 分别与相切于点，， ，， ， 四边形和四边形是矩形， ， 共线， , 弧所在圆的直径约为； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ，即； 【小问3详解】 解：连接，连接， ， 由题意可得四边形为矩形， ， 四点共线， 该弧形建筑的最大仰角， 是圆的切线， ， 在中，， ， ． 22. 已知抛物线的顶点为D． （1）若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标； （2）在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． ①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）； ②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将原点代入抛物线方程即可求出值，再利用抛物线性质即可求出顶点坐标； （2）①根据自变量的取值范围，结合图象性质及中心对称性质判断出图象上的特殊点即可求出解析式； ②再利用数形结合，分类讨论直线与曲线交点问题即可求出m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过原点， 当时，，代入抛物线得：， ， ∴抛物线的方程为：． ∴抛物线的对称轴方程为：， 把代入，得， ∴点坐标为． 【小问2详解】 解：在（1）中抛物线的方程为：， ①当时函数的图象记为， ∴对应的函数解析式为：，且图象经过和原点， 将图象绕原点旋转，得到新图象，新图象与原图象成中心对称， ∴新图象对应函数的自变量的范围为：，且新图象经过点和原点， ∴图象的解析式为：． ②直线与图象有3个交点，分两种情况， 当直线与有2个交点且与有1个交点时，， ， 令，得， 结合图象可得：， 同理，当直线与有1个交点且与有2个交点时，， ， 令，得， 结合图象可得：． ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，图形的旋转，直线与曲线相交等问题，解题过程还涉及数形结合，分类讨论等数学思想，难度较大． 23. 【概念呈现】： 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形：若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． （1）【概念理解】：如图1，若，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； （2）【性质应用】：如图1，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当时， ； （3）【深度理解】：如图2，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线．判断线段与线段的数量关系，并加以证明； （4）【拓展提高】：如图3，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线．若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，，则的面积为 ． 【答案】（1）不是 （2） （3）， 证明如下： ∵四边形与四边形都是等腰直角四边形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）9或3 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理以及真等腰直角四边形的定义判断，即可求解； （2）根据题意可得都是等腰三角形，然后分两种情况讨论，即可求解； （3）根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到，可证明，即可； （4）根据题意得：是等腰直角三角形，分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴都是等腰三角形， ∵， ∴， ∴不是等腰直角三角形， ∴四边形不是真等腰直角四边形； 故答案为：不是 【小问2详解】 解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线， ∴都是等腰三角形， 当时，，不能够成三角形，不符合题意，舍去； 当时， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：根据题意得：是等腰直角三角形， 当时，如图，过点D作，连接， 同理（3）， ∴， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点B作于点F，则是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点G， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴ ； 若，如图，过点B作，连接， 同理（3）， ∴， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 过点D作于点F，则是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点G， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴ 综上所述，的面积为9或3． 故答案为：9或3 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省南阳市第二十一学校中考数学三模试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。 1. 如图，数轴上点表示的数是2025，，则点表示的数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭；十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟圭，10圭撮，10撮抄，10抄句，10句合，则5合为（　　） A. 粟 B. 粟 C. 粟 D. 粟 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 四川三星堆遗址被称为世纪人类最伟大的考古发现之一，让学术界开始重新审视人类文明的发展史．下图是年月首次亮相的青铜瓿，它有“圆口、深腹”等特征．有关其三视图（忽略表面凸起部分）说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 5. 如图，一束平行光线与水平面成的角度照射地面，现在地面上支放一个平面镜，使这束光线经过平面镜反射后沿与平行的方向射出，则平面镜与地面的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若实数a在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 7. 某酒店客房的智能家居触摸开关如图所示，每个开关分别对应一种电器设备（可以同时触摸多个开关），其中表示电视，表示床灯，表示廊灯，表示新风．现该酒店某客房的四种电器设备均处于关闭状态，若服务人员随机同时触摸两个开关，则恰好使床灯和廊灯同时被打开的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为40，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化．如图是和两种物质在水中的溶解度与温度之间的溶解度曲线，关于溶液浓度计算的相关信息见表．下列说法不正确的是（　　） 信息窗 1．溶质质量+溶剂质量＝溶液质量． 2．溶液浓度． 3．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A. 和两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大 B. 时，溶解度较大的物质是 C. 时，将加入水中，充分溶解后，得到不饱和溶液 D. 将的饱和溶液降温至，溶液中溶质质量不变 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个系数为2，次数是3，且只含有a，b两个字母的单项式：______． 12. 不等式组的解集是_________________． 13. 如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的某省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为___________． 14. 如图，在平行四边形中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点O，交于点P．则__________． 15. 如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是___________ ，此时的长为_____ ． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 近年来，未成年人遭电信网络诈骗的案例呈现增长趋势，为了提升学生的安全意识，兴华中学组织七、八年级的学生参加了防范电信网络诈骗安全知识竞赛(成绩：x，单位：分，满分100分)，并将测试成绩分为五个等级：A．，B．，C．，D．，E．．现随机抽取了七、八年级各15名学生的测试成绩进行整理分析，过程如下： 【收集、整理数据】七年级15名学生的测试成绩为：76，81，84，97，98，85，100，92，87，92，94，92，98，95，100． 八年级15名学生的测试成绩整理如下： 测试成绩等级 八年级 1 2 3 5 4 其中 D 等级的有：93，91，90，94，94． 【分析数据】 年级 平均数 众数 中位数 七年级 a 92 八年级 87 b （1）根据以上信息，可以求出 ， ． （2）若规定测试成绩在92分及以上为优秀，请估计本次参加防范电信网络诈骗安全知识竞赛的510名七年级学生中，成绩为优秀的共有多少名； （3）根据以上数据，你认为七、八两个年级中，哪个年级的学生掌握防范电信网络诈骗安全知识的整体水平较好？请说明理由（写出一条即可）． 18. 如图所示，为等腰直角三角形，，点是的中点，点是上一点． （1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：． 19. 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点，以为对角线作正方形，以为直径画弧． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的长度； （3）请直接写出阴影部分的面积． 20. 某校计划在期末对校级“三好学生”进行表彰，准备购买某款精装硬皮笔记本作为奖品．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价统一，花费300元购买这款笔记本的数量比花费100元购买这款笔记本的数量多20本． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设该校购买本笔记本，在甲商店购买所花费用为元，在乙商店购买所花费用为元．其函数图象如图所示． （1）求这款笔记本的单价． （2）求图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． （3）根据图象直接写出该校应选择哪家商店购买笔记本． 21. 如图（1）是水平地面上的弧形建筑，是弧形框架，是垂直于地面 的支架，且分别与相切于点A，B．已知． （1）求弧所在圆的直径． （2）若在点A处观察点N的俯角为，求的度数． （3）如图（2），小明站在弧形建筑左侧的点E处，测得该弧形建筑的最大仰角，已知小明的身高，请直接写出的长．（结果精确到． 参考数据：） 22. 已知抛物线的顶点为D． （1）若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标； （2）在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． ①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）； ②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围． 23. 【概念呈现】： 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形：若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． （1）【概念理解】：如图1，若，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； （2）【性质应用】：如图1，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当时， ； （3）【深度理解】：如图2，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线．判断线段与线段的数量关系，并加以证明； （4）【拓展提高】：如图3，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线．若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，，则的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $