湖南省长沙市雅礼教育集团2025-2026学年高一上学期入学考试数学试卷

雅礼教育集团2025级新高一年级入学考试试卷 数 学 时量：120分钟 满分：100分 一、填空题（共18题，每小题3分，共54分。请将答案直接填在答题卡的相应位置） 1.如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角即平行于的光线与的切线所成的锐角的大小为           2.某地区七年级共有名男生为了解这些男生的体重指数分布情况，从中随机抽取了名男生，测得他们的数据单位：，并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 根据以上信息，估计该地区七年级名男生中等级为正常的人数是          ． 3.现有六张分别标有数字，，，，，的卡片，其中标有数字，，的卡片在甲手中，标有数字，，的卡片在乙手中两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是 . 4.如图，矩形内接于，是上一点，连接，分别交于点，若，，则的直径为          ． （第1题图） （第4题图） （第5题图） 5.如图，在中，，，是的中点，是上的点，连接，的平分线交于点，连接若，，则的长为______． 6.若点和点在一次函数的图象上，则______用“”“”或“”连接 7.若式子有意义，则的取值范围是______． 8.如果，那么代数式的值为______． 9.关于的不等式的解集为，则的值是______． 10.计算的结果是______． 11.亿用科学记数法表示为______． 12.抛物线的图象与轴交于，，其中下列五个结论：；；；；关于的一元二次方程有两个不相等的实数根其中正确的有______． 13.在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点位置不可能在第______象限． 14.若，则的值为______． 15.如图，直线、相交于点，，，则的度数是______． 16.已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的值可以是______. （写一个符合条件的的值即可） 17.已知抛物线：下列结论：抛物线的对称轴为直线；抛物线必过点和点；当时，的值随值的增大而增大；当时，已知，是抛物线上的两点，则；当时，对于任意的实数，不等式恒成立其中结论正确的有______（填序号）． 18.如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为______． 二、解答题（共5小题，请将答案及必要的解题过程直接写在答题卡的相应位置） 19.（本小题6分）如图，中，，是的角平分线． 若，求的度数； 若是的中点，的面积为，，求的长． 20.（本小题8分）已知关于的一元二次方程． 若方程有实数根，求实数的取值范围； 若，满足求的值． 21.（本小题10分）如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景已知点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，相距千米参考数据： 求的距离结果保留根号； 小聪和小明同时从点出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为千米小时观光车的速度为千米小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点，说明理由结果精确到 22.（本小题10分）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． 若与相似，求的值； 连接，，若，求的值； 试证明：的中点在的一条中位线上． 23.（本小题12分） 【问题背景】如图，是正方形内一点，是直角三角形，，把绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点恰好在边上，连接． 【初步感知】若，，三点在同一条直线上时，求的度数； 【研究感悟】若正方形的边长为，求的最小值； 【深度探索】如图，延长交于点，若，求证：是线段的黄金分割点． 数学试卷·第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$雅礼教育集团2025级新高一年级入学考试试卷 数学 时量：120分钟 满分：100分 一、填空题（共18题，每小题3分，共54分。请将答案直接填在答题卡的相应位置） 1如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD,EF分别表示北回归线和南回归线， ∠DOB=∠FOB=23.5“.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O,此时点F处的太阳高度角∠IFH(即 平行于GD的光钱HF与⊙O的切线FI所成的锐角)的大小为“， 2.某地区七年级共有2000名男生.为了解这些男生的体重指数(BM四)分布情况，从中随机抽取了100名男生，测 得他们的BM1数据（单位：kg/m),并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 BMII 15.4 15.522.122.224.9>25.0 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2O00名男生中BM1等级为正常的人数是 3.现有六张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片，其中标有数字1,4,5的卡片在甲手中，标有数字2,3,6 的卡片在乙手中两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是， 4.如图，矩形ABCD内接于⊙O,E是An上一点，连接EB,EC分别交AD于点F,G,若AF=1, EG=FG=3,则⊙O的直径为 北回归线 D 赤道0 南回归线 (第1题图) (第4题图) (第5题图) 5如图，在△ABC中，∠ABC=90“,BC=8,D是AC的中点，E是AB上的点，连接DE,∠BED的平分线交 BC于点F,连换DF者∠DEB=乙ACB,AE-号则DF的长为 6若点A(1,y)和点B(4y2)在一次函数y=-4K+b的图象上，则y1y2.(用“>”“<”或“=”连接) 数学试卷·第1页，共4页 7,若式子三有意义，剥x的取值范围是一 x-1 8.如果a2+a-2=0,那么代数式3a2+3a+2的值为 9.关于x的不等式2x-a≤-1的解集为x≤-1，则a的值是 10计算人-2的结果是」 x-1x2-1 11.6382亿用科学记数法表示为」 12.抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴交于(-2,0)，(x1,0),共中-1<x1<0.下列五个结论：①abc>0: ②a-b+c<0:③2a-c<0:④a-b>0:⑤关于x的-元二次方程a(x+2)(x-x)+1=0有两个不相等的实数根 ,其中正确的有一 E B 13.在同-平面直角坐标系中，直线y=8x+5与直提y=一x+b的交点位置不可能在第 C Aδ -D 象限 14.若x2+ax+b=(x+1)x-3),则a+b的值为 15.如图，直线AB、CD相交于点O,OE⊥CD,∠BOE=60“,则∠AOC的度数是 16.已知反比例面数y=只当X>0时。随增大两残小，则如的值可以是 (写一个符合条件的m的值即可) 17.已知抛物线L:y=x2-2x+2(a≠0)下列结论：①抛物线L的对称轴为直线 x=1:②抛物线L必过点(0,2)和点(2,2：③当x>1时，y的值随x值的增大而增大： D ④当a<0时，已知A(-2y),B(3,y2)是抛物线上的两点，则y1<y2;⑤当a>0 时，对于任意的实数m,不等式-a+2≥am-2m十2恒成立.其中结论正确的有 -2-101 12 （填序号). 18.如图，面积为的正方形ABCD的项点A在数轴上，且表示的数为一1，若以A为原点，AB为半径画弧交数轴 于点E,点E在点A的右边，则数轴上点E所表示的数为一· 数学试卷·第2页，共4页 二、解答题（共5小题，请将答案及必要的解题过程直接写在答题卡的相应位置） 19.(本小题6分)如图，△ABE中，∠E=90",AC是∠BAE的角平分线. (1)若∠B=34°，求∠BAC的度数： (2)若D是BC的中点，△ABC的面积为27，CD=3,求AE的长. 20.(本小题8分)已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m=0. (1)若方程有实数根，求实数n的取值范国： (2)若X1,X2满足x1X2十X1十x2=4.求m的值. 21.(本小题10分)如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在A点登船，沿水路A→C→D游 览沿途风光；路线二：先坐观光车从A至B,沿途游览，再在B点登船，沿水路BD游览沿途美景，已知点C在点 A的东北方向，点C在点B的北偏东30“方向，点B在点D的南偏西75“方向，点D在点C的南偏东75“方向， BC相距20千米.（参考数据： V2≈l.41,3≈1.73，V62.45) (1)求AB的距离（结果保留根号）： (②)小聪和小明同时从点A出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度 为0千米/小时观光车的速度为15千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点 D,说明理由.（结果精确到0.1） 西+东 :75 D 75 数学试卷·第3页，共4页 22.(本小题10分)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90",AC=6Cn,BC=8cm,动点P从点B出发，在BA边 上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4Cm的速度向点B匀速运动， 运动时问为秒(0<t<2),连接PQ: (1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值； (2)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值； (3)试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上， 23.（本小题12分) 【间题背景】如图1，E是正方形ABCD内一点，△ABE是直角三角形，∠AEB=90“,把△ABE绕点A逆时针 旋转得到AAGF,使得点E的对应点F恰好在AD边上，连接EG. 【初步感知】(I)若B,E,G三点在同一条直线上时，求∠BAE的度数： 【研究感悟】(2)若正方形ABCD的边长为4，求AE+EG的最小值： 【深度探索】（③）如图2，延长GE交AB于点H,若GH⊥AB,求证：E是线段GH的黄金分割点. D 图1 图2 数学试卷·第4页，共4页 雅礼教育集团2025级新高一年级入学考试试卷 数 学 参考答案与详细解析 1.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 是的切线， ， ， ， 故答案为：． 根据平行线的性质求出，根据切线的性质得到，进而求出． 本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：由题意可得：该地区七年级名男生中等级为正常的人数是， 故答案为：． 用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解． 本题考查了由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 列表可得出所有等可能的结果数以及甲出的卡片数字比乙大的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法、概率公式，熟练掌握列表法以及概率公式是解答本题的关键． 【解答】 解：列表如下： 共有种等可能的结果， 其中甲出的卡片数字比乙大的结果有：，，，，共种， 甲出的卡片数字比乙大的概率为． 故答案为：． 4.【答案】  【解析】【分析】 由矩形的性质得，由，得，推导出，则，而，，，所以，则，可证明∽，得，则，求得，，则的直径． 此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、的圆周角所对的弦是直径、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【解答】 解：连接，且与交于点， 四边形是矩形，且矩形内接于， ， 是的直径， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∽， ， ， ，， ， 的直径为． 故答案为：． 5.【答案】  【解析】解：如图，延长交于点，过作，交于点， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ∽， ，即， 解得或舍去， ， ，， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 解得，， 平分， ，即， 解得， 过作于点，则，， ， 在中，； 故答案为：． 过作，由中位线定理可得，再根据易证，进而得到∽，易求得，再根据勾股求出，线段和差得到，，延长交于点，由平行线分线段成比例可得，求出，，再由角平分线性质定理可得，求得，最后过作于点，易得，，所以，再利用勾股定理求解即可． 本题主要考查了角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：由条件可知一次函数随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 根据，可得一次函数的函数值随的增大而减小解答即可． 本题考查了一次函数的增减性．熟练掌握该知识点是关键． 7.【答案】  【解析】解：由条件可知， 解得， 故答案为：． 根据二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于求解即可得． 本题考查了分式有意义的条件“分式的分母不等于”、二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于是解题关键． 8.【答案】  【解析】解：， ， ． 故答案为：． 把变形为，然后直接把整体代入所求式子中求解即可． 本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：， ， 则， 又， 则， 解得， 故答案为：． 解不等式得出，结合题意得出关于的方程，解之可得． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 10.【答案】  【解析】解：原式 ． 故答案为：． 将异分母分式通分后，即可进行计算． 本题考查异分母分式的减法运算．通分是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：亿． 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 12.【答案】  【解析】解：，， ， 图象与轴交于，， ， ， ， 又由对称性，原点的对称点在的左边， 当时，， ，故错误； ， 当时，， ，故错误； 当时，，即， ， 当时，，即， 把代入得，， ，故正确； 当时，， ，故正确； 抛物线的图象与轴交于，， ， 函数向上平移一个单位得到， 函数与轴有两个交点， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故正确． 故答案为：． 依据题意，由图象与轴交于，，其中，则，，由对称轴可知得出，故判断；由时，可以判断；由当时，和当时，可以判断；由当时，可以判断；向上平移个单位得到，可以判断． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 13.【答案】四  【解析】解：函数中，， 函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 中， 函数中随的增大而减小，图象一定经过第二、四象限． 直线与直线的交点不可能在第四象限， 故答案为：四． 依据题意，根据一次函数的性质即可判断． 本题主要考查了两直线相交或平行问题，一次函数的性质等知识点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键． 14.【答案】  【解析】解：， 故，， ， 故答案为：． 直接利用多项式乘法化简，再利用各项系数对应相等得出答案． 此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握运算法则是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：， ， ， 由对顶角相等可知：， 故答案为：． 由垂直的定义可知，可求得的度数，然后再根据对顶角相等即可求解． 本题主要考查的垂线的定义和对顶角、邻补角，掌握垂线的定义和对顶角的性质是解题的关键． 16.【答案】不唯一  【解析】解：由时，反比例函数位于一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 可知，当时，在第一象限内，函数中的随的增大而减小． 所以是一个大于的数即可． 故答案为：不唯一． 根据反比例函数的图象，当时，图象位于一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，便可解决问题． 本题考查了反比例函数的图象和性质． 17.【答案】  【解析】解：由题意，抛物线为， 对称轴是直线，故正确． ， 当时，，即当或时，． 抛物线必过点和点，故正确． 抛物线的对称轴是直线， 当时，当时，的值随值的增大而增大；当时，当时，的值随值的增大而减小，故错误． 由题意，当时， 抛物线开口向下． 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 抛物线的对称轴是直线，且，是抛物线上的两点， ． ，故正确． 当时，对称轴是直线， 当时，取最小值为． 对于任意的实数，，故错误． 综上，正确的是． 故答案为：． 依据题意，由抛物线为，可得对称轴是直线，然后结合二次函数的性质逐个判断即可得解． 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 18.【答案】  【解析】解：由添加可知：， 又点在点的右边， 点所表示的数为， 故答案为：． 根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可． 本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上两点间的距离的计算是关键． 19.【答案】解：， ， 是的角平分线． ； 是的中点， ， ， ， ．  【解析】先利用互余计算出，再利用角平分线的定义得到； 先利用是的中点得到，再根据三角形面积公式得到，然后解关于的方程即可． 本题主要考查了角平分线的定义以及线段中点，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义． 20.【答案】解：由题意得， ． 故实数的取值范围为； 依题意有，， ， ， 解得，舍去． 故的值是．  【解析】根据，解不等式即可； 由根与系数的关系得出和的值，再代入得到关于的方程计算可得． 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 21.【答案】的距离为千米；   小明先到达点，理由见解析．  【解析】解：过作于， 在中，，，千米， 千米，千米， 在中，， 千米， 千米， 答：的距离为千米； 小明先到达点， 理由：过作于， 由题意得，， 在中，，， 千米， 在中，，， 千米，千米， 千米， 路线一：千米， 路线二：千米， ， 小明先到达点． 过作于，解直角三角形即可得到结论； 过作于，由题意得，，解直角三角形即可得到结论． 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 22.【答案】解：，， ， 当∽时， ，，，，， ， ； 当∽时， ， ， ， 或时，与相似； 如图所示，过作于点，，交于点，则有，，，， ，， 且， ∽， ， ， 解得：； 如图，作于点，的中点设为点，再作于点，于点， ， 为梯形的中位线， ， ，， ， ，过的中点作直线平行于， 成立， 在过的中位线上， 的中点在的一条中位线上．  【解析】分两种情况讨论：当∽时，，当∽时，，再根据，，，，代入计算即可； 过作于点，，交于点，则有，，，根据∽，得出，代入计算即可； 作于点，于点，先得出，再把，代入求出，过的中点作直线平行于，得出，在过的中位线上，从而证出的中点在的一条中位线上． 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论． 23.【答案】；   ；   设正方形的边长为，， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ，， ∽， ，即， 可得， 解得， ，， ， ， ， ， 是线段的黄金分割点．  【解析】解：是直角三角形，，如图，若，，三点在同一条直线上时， ， 把绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点恰好在边上， ，， 是的角平分线， ， 四边形为正方形， ， ； 解：在三角形中，由三角形边长关系得：， 当，，三点共线时，取最等号为， 的最小值为； 证明：设正方形的边长为，， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ，， ∽， ，即， 可得， 解得， ，， ， ， ， ， 是线段的黄金分割点． 画出图形，利用等腰三角形的性质，旋转的性质，正方形的性质，得到，即可解答； 根据三角形边长关系可得，当，，三点共线时，取最等号，即可解答； 设正方形的边长为，，证明∽，则可得，即可解答． 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形边长关系，熟练运用相似三角形的判定和性质得到边长之间的关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$