4.2指数函数16题型分类（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.2指数函数16题型分类 课程标准 学习目标 ①了解指数函数，掌握指数函数的形式 及条件，会根据底数区分两类函数。 ②掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域。 ③能解决与指数函数有关的综合性问题。 通过本节课的学习，要求认识、了解指数函数的形式及要求，掌握指数函数的图象与性质，并能利用指数函数的性质进行大小的比较、解指数方程与不等式、会求复合函数的定义域、值域、单调区间，能解决与指数函数有关的实际问题及综合问题. 一、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 注意：指数函数中规定a>0，且a≠1的原因： (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 二、指数增长模型 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 三、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 注意：（1）由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象． （2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴． 四、不同底指数函数图象的相对位置 (1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． (2)实质：指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的大小． 五、与指数函数复合的函数单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． （一） 指数函数的概念 1、(1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点： ①底数是大于0且不等于1的常数； ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上； ③ax的系数必须为1. (2)求指数函数的解析式常用待定系数法． 2、判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数． 题型1：指数函数的概念 1．下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 3．判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） （二） 指数函数的解析式及应用 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)． (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 注意：（1）求指数函数解析式，一般采用待定系数法.（2）求函数值先确定函数解析式. 题型2：求指数函数的解析式或求值 4．指数函数的图像经过，则 ． 5．若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 6．已知函数，则 . 7．已知函数，若，则实数 ． 题型3：根据函数是指数函数求参数 8．函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．若函数是指数函数，则 ． 10．若函数是指数函数，则实数a的取值范围为 . 11．若指数型函数，满足，，则 ． 12．已知指数函数，则的值为 . （三） 指数型函数的实际应用 1、常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 2、解决指数型函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．　　 题型4：指数型函数的实际应用 13．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时，则该食品在时的保鲜时间是 小时. 14．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 15．研究发现某国道路上的车辆平均速度与行驶地区的人口密度（人/）有如下关系：，其中k是一个常数．若已知该国人口密度为a人/的地区的车辆平均速度为，则该国人口密度为人/的地区的车辆平均速度是 ． （四） 指数函数的图象及应用 1、识别指数函数图象问题的注意点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1； (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小； (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 2、解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 题型5：指数函数的图象特征 16．已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 17．已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 18．若正实数满足，则函数与函数的图象可能是（   ） A．B． C．D． 19．【多选】已知，函数的图象可能是（   ） A．B． C．D． 20．函数的大致图象为（    ） A．B． C．D． 题型6：指数函数的图象变换 21．将函数的图象经过下列哪一种变换可以得到函数的图象（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度 22．若函数的图象向上平移1个单位向右平移1个单位，得函数 的图象. 23．函数的图像可看成将函数的图像 A．向左平移个单位得到 B．各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到 C．向右平移个单位得到 D．各点横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得到 24．要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 题型7：指数型函数过定点问题 25．已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 26．已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 27．当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 28．若函数（且）的图象恒过点，则 ， ；此时该图象所过的另外一个定点是 . 29．幂函数在上单调递增，则的图象过定点 ． 题型8：指数函数图象的应用 30．已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 31．【多选】设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 32．【多选】若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 33．函数的零点的个数为（     ） A． B． C． D．无法确定，与的取值有关 （五） 与指数函数有关的定义域和值域问题 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 题型9：与指数型函数有关的定义域问题 34．函数的定义域是 ． 35．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 36．函数的定义域为 ． 题型10：与指数型函数有关的值域（最值）问题 37．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 38．若关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 39．求函数的值域. 40．定义一种运算则函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 41．求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 42．已知函数的值域为，且，则 . 43．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． （六） 单调性及其应用 1.比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． (4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 2.解与指数有关的不等式时需注意的问题 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，借助函数y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； (2)形如af(x)>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解； (3)形如af(x)>bf(x)的形式，利用图象求解． 注意(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法： 当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等． 题型11：求指数型函数的单调区间 45．已知函数，则其单调递增区间为 ． 46．函数单调递减区间是 ． 47．函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 题型12：根据指数型函数的单调性求参数 48．设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 49．若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 50．已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型13：利用指数型函数单调性比较大小 51．若，则（   ） A． B． C． D． 52．若，则（ ） A． B． C． D． 53．已知，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 54．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型14：利用指数型函数的单调性解不等式 55．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 56．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 58．设，若满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．解关于的不等式 60．解不等式：． 61．设函数，则使的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．已知且，解关于的不等式：． （七） 指数函数性质的综合应用 1、指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化． 2、若函数 y= f(x)在区间D上是增(减)函数，则复合函数当a>1时，在区间D上是增(减)函数，当0<a<1时，在区间D上是减(增)函数.　 题型15：指数型函数的奇偶性 63．在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是 ． 64．设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 65．已知函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 66．已知函数，为奇函数，则 ． 67．若是定义在R上的奇函数，则实数a的值为 ． 68．已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 69．设函数. (1)证明函数是奇函数； (2)证明函数在内是增函数. 70．函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型16：指数函数的综合应用 71．【多选】已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且（其中e为常数，）．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（    ） A． B．在R上单调递减 C． D．或 72．【多选】已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．若是奇函数，则 C．是上的减函数 D．不等式的解集 73．【多选】已知函数（为常数）是定义域为的奇函数，则下列选项中正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 一、单选题 1．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 3．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域､值域分别是（    ） A． B． C．，且 D．，且 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若，，则函数的图像一定经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 9．已知，若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 11．函数（，且）的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   二、多选题 12．已知函数f(x)=，g(x)=，则f(x)，g(x)满足（    ） A．f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x) B．f(-2)<f(3) C．f(x)-g(x)=π-x D．f(2x)=2f(x)g(x) 13．下列说法正确的是（    ） A．函数在定义域上是减函数 B．函数有且只有两个零点 C．函数的最小值是1 D．在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称 14．设函数（，且），若，则（    ） A． B． C． D． 15．(多选)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有 A． B． C． D． 16．若，则下列选项中不正确的是（　　） A．在上单调递减 B．与的图象关于y轴对称 C．的图象过点 D．的值域为 17．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at．关于下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．浮萍每月增加的面积都相等 C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2 D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3 18．（多选）设指数函数（且），则下列等式中不正确的有 A． B． C． D． 19．下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 20．函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，函数的单调递增区间为 B．不论为何值，函数既没有最小值，也没有最大值 C．不论为何值，函数的图象与轴都有交点 D．存在实数，使得函数为R上的减函数 三、填空题 21．若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为 . 22．我国2010年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，到2020年底我国人口总数是( ) A．    B．    C．     D． 23．设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为 . 24．若，则a，b，c的大小关系是 . 25．已知函数为奇函数，则的值为 . 26．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为 27．已知f(x)＝2x＋，若f(a)＝5，则f(2a)＝ ． 28．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，问现在价格为8100元的计算机经过15年后，价格应降为＿＿＿＿＿＿＿ 29．已知函数则 . 30．已知函数，则的单调递增区间为 ，值域为 ． 31．定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为 ；最小值为 . 32．若方程有唯一实数解，则的取值范围是 ． 33．已知函数，且），其图象像经过点（-1，5），（0，4），则的值为 . 四、解答题 34．设. (1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象； (2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？ 35．已知函数，. (1)若函数为奇函数，求实数a的值； (2)在（1）的条件下，设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 36．已知函数的图象经过点，其中且． （1）求a的值 （2）求函数的值域． 37．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数． （1）求f(x)的表达式； （2）判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明． 38．重庆的锶矿资源非常丰富，其锶矿储量居全国第一．某科研单位在研发锶矿产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为：当0x2时，y是x的指数函数；当2< x5时，y是x的二次函数．测得数据如下表（部分）： x (单位：克) 1 3 4 5 ··· y 2 5 4 1 ··· (1)求y关于x的函数关系式； (2)求这种新材料的含量为何值时锶矿产品的性能达到最佳． 39．已知函数. （1）求的值； （2）若函数，且，满足下列条件：①为偶函数；②且使得；③且恒过点.写出一个符合题意的函数，并说明理由. 40．已知函数是单调递减的指数函数． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 41．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)． (1)若的图象如图①所示，求a，b的值； (2)若的图象如图②所示，求a，b的取值范围； (3)在(1)中，若＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围． 42．截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)． （1）求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域； （2）若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？ （3）哪一年年底的人口数将达到135万？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 4.2指数函数16题型分类 课程标准 学习目标 ①了解指数函数，掌握指数函数的形式 及条件，会根据底数区分两类函数。 ②掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域。 ③能解决与指数函数有关的综合性问题。 通过本节课的学习，要求认识、了解指数函数的形式及要求，掌握指数函数的图象与性质，并能利用指数函数的性质进行大小的比较、解指数方程与不等式、会求复合函数的定义域、值域、单调区间，能解决与指数函数有关的实际问题及综合问题. 一、指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 注意：指数函数中规定a>0，且a≠1的原因： (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 二、指数增长模型 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 三、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 注意：（1）由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象． （2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴． 四、不同底指数函数图象的相对位置 (1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增． (2)实质：指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的大小． 五、与指数函数复合的函数单调性 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点： u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 (3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性． （一） 指数函数的概念 1、(1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点： ①底数是大于0且不等于1的常数； ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上； ③ax的系数必须为1. (2)求指数函数的解析式常用待定系数法． 2、判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数． 题型1：指数函数的概念 1．下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 2．下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 故选：C 3．判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【分析】由指数函数定义可判断选项正误. 【详解】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D （二） 指数函数的解析式及应用 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)． (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 注意：（1）求指数函数解析式，一般采用待定系数法.（2）求函数值先确定函数解析式. 题型2：求指数函数的解析式或求值 4．指数函数的图像经过，则 ． 【答案】/ 【分析】首先设指数函数，再代入点求函数的解析式，最后求函数值. 【详解】设函数（且）， ，得，即 所以. 故答案为： 5．若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 【答案】/0.015625 【分析】先根据已知求出参数的值，然后将代入函数表达式即可求解. 【详解】由题意，注意到且，所以解得， 所以指数函数解析式为， 当时，. 故答案为：. 6．已知函数，则 . 【答案】 【分析】由分段函数解析式可得答案. 【详解】由题，，则. 故答案为： 7．已知函数，若，则实数 ． 【答案】1 【分析】利用分段函数解方程即可． 【详解】若，则，无解； 若，则，解得， 故答案为：1． 题型3：根据函数是指数函数求参数 8．函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 9．若函数是指数函数，则 ． 【答案】4 【分析】由指数函数定义可得答案. 【详解】因为指数函数，则， 由，可得或， 综上，. 故答案为：4 10．若函数是指数函数，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用指数函数定义可求解. 【详解】因为函数是指数函数，所以需满足， 解得且.故实数的取值范围为. 故答案为：. 11．若指数型函数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】由，，代入函数解析式，结合指数型函数的性质，解出的值即可得. 【详解】指数型函数，有且， 由，解得，所以. 故答案为：. 12．已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可. 【详解】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. （三） 指数型函数的实际应用 1、常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 2、解决指数型函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．　　 题型4：指数型函数的实际应用 13．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时，则该食品在时的保鲜时间是 小时. 【答案】1 【分析】利用待定系数法求出代入即可求得食品在时的保鲜时间. 【详解】某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数， 若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时， 则，解得，当时，， 所以该食品在时的保鲜时间是1小时. 故答案为：1. 14．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 【答案】 【分析】根据所给函数模型，代入后整体计算即可得解. 【详解】因为前5h消除了的污染物， 所以，解得， 当经过10h后，， 所以10h后剩余的污染物含量. 故答案为： 15．研究发现某国道路上的车辆平均速度与行驶地区的人口密度（人/）有如下关系：，其中k是一个常数．若已知该国人口密度为a人/的地区的车辆平均速度为，则该国人口密度为人/的地区的车辆平均速度是 ． 【答案】52 【分析】利用给定的指数模型结合指数的运算性质即可求解. 【详解】由，得， 当人口密度为人/时，车辆平均速度． 故答案为：52. （四） 指数函数的图象及应用 1、识别指数函数图象问题的注意点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1； (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小； (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 2、解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 题型5：指数函数的图象特征 16．已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质判断即可. 【详解】由， ，在上单调递减，所以排除AB选项； 令，，此时图象①在②的下方 因此C项正确． 故选：C. 17．已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 18．若正实数满足，则函数与函数的图象可能是（   ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】由解析式得的零点为或，讨论、判断的范围，数形结合判断满足要求的图象. 【详解】令，可得或， 对于，若，则的零点，A满足，B不满足； 对于，若，则的零点，C、D不满足. 故选：A 19．【多选】已知，函数的图象可能是（   ） A．B． C．D． 【答案】ABC 【详解】根据的范围分类讨论可得． 【点睛】时，是增函数，是减函数，是增函数，可能是A； 时，，可能是B； 时，不可能是D，因为当时，， 例如，，有，结合和的性质知，时，，或时，，因此图象可能为C， 故选：ABC． 20．函数的大致图象为（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】考虑当时的符号，即可排除B，C，D选项，从而确定答案. 【详解】当时，有，故在轴左侧的图象始终在轴下方，排除B，C，D选项. 故选：A 题型6：指数函数的图象变换 21．将函数的图象经过下列哪一种变换可以得到函数的图象（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度 【答案】B 【分析】将函数变形，结合函数图象的平移变换即可作答. 【详解】因，所以函数的图象可由函数的图象向右移1个单位长度得到， 即B正确，A，C，D不正确. 故选：B 22．若函数的图象向上平移1个单位向右平移1个单位，得函数 的图象. 【答案】 【分析】由图像平移的特点：“上加下减，左加右减”法则即可求得． 【详解】函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像；然后再向右平移1个单位，得到函数的图像． 故答案为 【点睛】本题考查复合函数图像平移的问题，解决时要运用图像平移的“上加下减，左加右减”法则． 23．函数的图像可看成将函数的图像 A．向左平移个单位得到 B．各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到 C．向右平移个单位得到 D．各点横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得到 【答案】A 【分析】根据指数、对数运算得到，将化成，再根据图像的平移法可得选项. 【详解】根据指数、对数运算得，所以， 再根据图像的平移法则得将函数的图像向左平移个单位得到的图像， 故选A. 【点睛】本题考查指数、对数运算法则以及指数对数相互之间的转化关系，和图像的平移法则，属于基础题. 24．要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】变换得到，根据函数图象的平移法则得到答案. 【详解】，故要得到函数的图像， 只需将函数的图像向右平移个单位长度. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数图象的平移，意在考查学生对于函数图像平移的掌握. 题型7：指数型函数过定点问题 25．已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据函数恒过定点求出n，再根据函数图象过求出m，从而得到答案． 【详解】由函数（，且）恒过定点，可得， ∵函数图象过点， ∴，解得， 故． 故选：C． 26．已知函数（且）的图象经过定点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由指数函数的性质确定定点坐标，即可得. 【详解】令，得，此时， 所以定点P的坐标为，即，，所以. 故选：C 27．当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求的值和对应的函数值，即得图象所过的定点． 【详解】对于函数，令，解得， 则， 所以的图象恒过点． 故选：C. 28．若函数（且）的图象恒过点，则 ， ；此时该图象所过的另外一个定点是 . 【答案】 4 【分析】根据指数函数过定点的性质，即恒成立，即可得到结论． 【详解】由函数的图象恒过点， 则当时，由得，即， 由得； 令，得另一根为，， 故另一个定点是. 故答案为：；4；. 29．幂函数在上单调递增，则的图象过定点 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得的值，再利用指数函数的图象过定点，得出结论． 【详解】幂函数在上单调递增， ，且，解得， 故， 令，得，且， 可得的图象过定点． 故答案为：. 题型8：指数函数图象的应用 30．已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 31．【多选】设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据分段函数和指数函数图象画出的图象，数形结合讨论的正负和大小关系，再结合且即可得出答案． 【详解】 则的图象如图所示：    ∵， ∴若，则，这与已知矛盾． 同理，也不成立，∴只有或这两种情况． ∴，故B一定不成立，A成立； 又，即， ∴，故D一定成立，C一定不成立． 故选：BC． 32．【多选】若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】画出，，的图象，移动直线，数形结合确定，，大小的所有可能情况，即可得. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中作出，，的图象，再作直线， 变换m的值发现，，，的大小关系可能为，，，，，，，故A，B，C正确，D错误． 故选：ABC 33．函数的零点的个数为（     ） A． B． C． D．无法确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】根据条件，利用指数函数的图象与性质，即可求解. 【详解】因为时，由指数函数的图象与性质知， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 又当时，，所以函数只有一个零点，    故选：A. （五） 与指数函数有关的定义域和值域问题 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 题型9：与指数型函数有关的定义域问题 34．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 35．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 36．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 题型10：与指数型函数有关的值域（最值）问题 37．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数性质求复合函数值域求解集合A，解绝对值不等式求解集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为，所以，则， 又，所以． 故选：D． 38．若关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 【答案】 【分析】令，利用换元法转化为一元二次方程在上有1个实根的问题进行求解. 【详解】令， 则原方程有两个不同的实根等价于在上有1个实根， 即在上有1个实根， 而，故.故的取值范围是. 39．求函数的值域. 【答案】 【分析】显然，令，则，当时，定义法得到函数单调性，得到，当时，由基本不等式得到，从而求出函数值域. 【详解】显然， 令，则， 则， 当时，取，， 则， 因为，，所以，， 故，， 故在上单调递减， 所以， 当时，， 当且仅当，时，等号成立， 故的值域为. 40．定义一种运算则函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】记，利用函数单调性的性质可知为定义域上的单调递增函数，进而化简函数的解析式，结合一次函数的单调性和指数函数的单调性可得出函数的最大值. 【详解】记， 由为定义域上的单调递增函数，为定义域上单调递减函数， 由单调性的性质可知为定义域上的单调递增函数， 又，故由可得，解得； 由可得，解得. 所以. 当时，； 当时，则，. 综上所述，当时函数取到最大值为. 故选：A 41．求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【答案】(1)定义域为，值域为. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. （2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【详解】（1）由，得， 函数的定义域为． ， ．的值域为． （2）函数的定义域为． ． 故的值域为． 42．已知函数的值域为，且，则 . 【答案】 【分析】根据条件，利用指数函数的性质，即可求解. 【详解】由指数函数的性质可知， 若，则，为常数，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则， 因为函数的值域为，则， 又，则，解得， 所以. 故答案为：. 43．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 44．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是 (2)1 (3)0 【分析】（1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （2）由（1）及题设知，即可求参数值； （3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可. 【详解】（1）当时，的定义域为R， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得，即有最大值3时，a为1． （3）由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． （六） 单调性及其应用 1.比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． (4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 2.解与指数有关的不等式时需注意的问题 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，借助函数y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； (2)形如af(x)>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝at(a>0，且a≠1)的单调性求解； (3)形如af(x)>bf(x)的形式，利用图象求解． 注意(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法： 当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等． 题型11：求指数型函数的单调区间 45．已知函数，则其单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】根据复合函数单调性求解即可. 【详解】由函数解析式可知，解得的定义域为， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以在定义域内单调递增， 所以在上单调递增， 故答案为： 46．函数单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间. 【详解】因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间. 故答案为：. 47．函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由对勾函数及复合函数的单调性进行求解. 【详解】令, 则，由对勾函数的单调性知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，由得， 所以由复合函数的单调性知，函数的单增区间为， 故选：A 题型12：根据指数型函数的单调性求参数 48．设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的性质及复合函数求同增异减求单调性的方法可解 【详解】∵函数在R上单调递减，且在区间上单调递减，∴函数在区间上单调递增，∴，即，∴a的取值范围是． 故答案为：． 49．若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性求解即可. 【详解】由题意知，函数（且）在上单调递增， 要使函数（且）在上单调递减， 则，解得. 故选：B. 50．已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数在定义域内单调递减，结合分段函数解析式，每一段应是减函数，且分界点处左段函数的函数值不小于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可. 【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减， 则一定有，解不等式组得. 故选：B. 题型13：利用指数型函数单调性比较大小 51．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由， 因为在上单调递减，且， 所以． 故选：C. 52．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质比较大小. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以． 故选：D． 53．已知，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】举出反例得到充分性不成立，再由指数函数单调性得到必要性成立，得到答案. 【详解】取，，满足，但得不出， 所以“”不是“”的充分条件； 由，可得，又因为在上单调递增， 所以，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：A． 54．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性可判断，利用幂函数的单调性可判断，得解. 【详解】因为是R上的减函数，又，所以，即， 因为函数在上单调递增，，所以，即， . 故选：D. 题型14：利用指数型函数的单调性解不等式 55．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的图象和性质求解即可． 【详解】由题知，令，解得． 作出函数和的大致图象，如图，    由图可知，若，则． 故选：A. 56．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【详解】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 57．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数单调性分类讨论即可求解不等式的解集. 【详解】作出的图象如图所示. 当时，，， 所以，， 所以，符合题意； 当时，，， 所以，， 所以，符合题意； 当时，，， ， 令得，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：C. 58．设，若满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数得到性质，再将转化为，由函数的单调性解得. 【详解】由题意可列，得. 即关于点对称． 因为，所以是增函数，为减函数，为增函数， 故单调递增． 所以，， 即需满足，解得或. 故选：D． 59．解关于的不等式 【答案】答案见解析 【分析】将原不等式化为，然后按照、、、分类讨论，根据指数函数单调性解不等式即可． 【详解】原不等式可化为，即．讨论如下： （1）当时，，此时无解． （2）当时，，所以． （3）当时，； 若，则； 若，则． 综上，当时，原不等式解集为空集；当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 60．解不等式：． 【答案】或 【分析】令，原不等式可化为：，求得或，然后再利用指数函数的单调性求解即可. 【详解】令，原不等式可化为：． 即，即， 解得或，所以或． 所以或， 由此得原不等式的解集为或． 61．设函数，则使的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，等价于，再分情况讨论解不等式即可. 【详解】，又函数为增函数， 所以， 当时，无解， 当时，，所以， 当时，恒成立，所以， 综上，的取值范围是. 故选：D. 62．已知且，解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】按照和分类讨论，根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】当时，函数单调递增， 由得，即，解得或； 当时，函数单调递减， 由得，即，解得； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （七） 指数函数性质的综合应用 1、指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化． 2、若函数 y= f(x)在区间D上是增(减)函数，则复合函数当a>1时，在区间D上是增(减)函数，当0<a<1时，在区间D上是减(增)函数.　 题型15：指数型函数的奇偶性 63．在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数性质，利用在上是奇函数，可得，计算可求得，利用单调性结合已知可求得a的取值范围. 【详解】由是上的奇函数，得，解得， 因为，所以，又在上是增函数， 所以是增函数，所以, 综上可得的取值范围是. 故答案为： 64．设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性知，代入相应解析式计算即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数，且当时，， . 故选：C. 65．已知函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由奇函数定义可得答案. 【详解】当时，，则，所以，. 故选：C． 66．已知函数，为奇函数，则 ． 【答案】-3 【分析】可根据奇函数的性质来求解与的值，进而得到的值． 【详解】因为函数为奇函数， 所以，当时，，， 所以，， 所以． 故答案为：. 67．若是定义在R上的奇函数，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】法一：由奇函数的性质得化简即可；法二：由，解得，再检验是奇函数即可. 【详解】法一：因为为奇函数， 所以 ， 所以，解得． 检验：当时，的定义域为，不合题意； 当时，的定义域为R，符合题意，故． 法二：由题意，，解得． 而当时，， 又， 所以． 故答案为: 68．已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义列式求解. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得， 即，则. 故选：B 69．设函数. (1)证明函数是奇函数； (2)证明函数在内是增函数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据奇函数定义化简的表达式可得结论； （2）利用函数单调性定义直接按照步骤即可判断得出证明. 【详解】（1）由题意，得，即函数的定义域关于原点对称， ， ∴函数为奇函数. （2）设是内任意两实数，且， 则， ∵，∴，∴， ∴函数在内是增函数. 70．函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由奇函数的性质求参数，注意验证是否满足题设即可. 【详解】由题设，整理得， 所以，此时， 由且定义域为R，满足题设， 所以. 故选：D 题型16：指数函数的综合应用 71．【多选】已知函数是定义域为R的偶函数，是定义域为R的奇函数，且（其中e为常数，）．函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（    ） A． B．在R上单调递减 C． D．或 【答案】AC 【分析】由奇偶性得、，联立求对应函数解析式判断A；根据指数函数的单调性确定函数单调性判断B；由上分析得，令有，结合二次函数性质及其最小值求参数判断C、D. 【详解】A：因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以， 因为①，所以，即②， 由①②得，，，对； B：因为函数，在R上均为增函数，故在R上单调递增，错； 因为，所以， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，设， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，解得或（舍去）； 当时，在上单调递增，，解得，不符合题意． 综上，，C对，D错. 故选：AC 72．【多选】已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．若是奇函数，则 C．是上的减函数 D．不等式的解集 【答案】BCD 【分析】利用函数单调性的定义可判断C选项；利用函数的对称性可判断AB选项；将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的定义域为， 则， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称，A错； 对于B选项，因为函数是奇函数，即函数的图象关于原点对称， 由A选项可知，函数的图象关于点对称，则，解得，B对； 对于C选项，任取、，且，则， 则 ，所以，， 所以，函数是上的减函数，C对； 对于D选项，由，可得， 因为函数是上的减函数，则，解得， 故不等式的解集为，D正确. 故选：BCD. 73．【多选】已知函数（为常数）是定义域为的奇函数，则下列选项中正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】A选项，根据函数为奇函数得到，得到；B选项，利用定义法判断函数的单调性；C选项，先得到当时，，结合函数的奇偶性得到函数值域；D选项，由，解不等式即可. 【详解】A选项，由题意得，即，解得， 经检验，当时，为奇函数，所以，故A不正确； B选项，， 因为在R上单调递增，所以在定义域R上单调递减，故B正确； C选项，当时，，∴， 故，， 由为奇函数，故时，， 又，故函数的值域为，故C正确； D选项，由，，解得，故D正确. 故选：BCD. 一、单选题 1．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数的运算性质判断 【详解】因为 所以 故选：B 2．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不等于，解出即可. 【详解】因为， 所以. 故选： 3．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义即可求解. 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C 4．函数的定义域､值域分别是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】直接求出函数定义域，再求复合函数值域. 【详解】要使有意义，只需有意义，即. 令，则. 又， 函数的定义域为，值域为，且. 故选：C 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元，可得出，然后将问题转化为二次函数在上的值域，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】，令，得， 由于二次函数在区间上单调递增，当时，. 因此，函数的值域为. 故选D. 【点睛】本题考查指数型函数值域的求解，利用换元法转化为二次函数的值域问题是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 6．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， 根据在上是增函数，所以，即. 故选：D. 7．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】解：因为在定义域上单调递减，所以等价于，解得，即原不等式的解集为 故选：A 8．若，，则函数的图像一定经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】A 【分析】首先根据，确定的图像经过的象限，然后由可知图像向下平移个单位即可得出选项． 【详解】由可得函数的图像单调递增，且过第一、二象限，由可得把的图像向下平移个单位可得的图像，结合可知，图像过第一、二、三象限． 故答案为A 【点睛】本题主要考查了指数函数的图像的应用及函数的平移，需掌握指数函数的图像以及平移法则． 9．已知，若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂运算即可得到答案. 【详解】由知，，即，从而. 故选：C. 10．如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 【答案】D 【分析】利用指数函数解析式的特点求解即可. 【详解】根据题意可得，，则. 故选：D 11．函数（，且）的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分别讨论或时，图象与y轴的交点的纵坐标，即可得出答案. 【详解】A，B选项中，，于是，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在之间， 显然A，B的图象均不正确； C，D选项中，，于是，图象与y轴的交点的纵坐标应在小于，所以D项符合. 故选：D 二、多选题 12．已知函数f(x)=，g(x)=，则f(x)，g(x)满足（    ） A．f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x) B．f(-2)<f(3) C．f(x)-g(x)=π-x D．f(2x)=2f(x)g(x) 【答案】ABD 【分析】计算f(-x)+g(-x)，可判断A选项；由指数函数的单调性得函数f(x)为增函数，可判断B选项；计算f(x)-g(x)，可判断C选项；计算f(2x)，可判断D选项； 【详解】对于A选项：f(-x)==-f(x)，g(-x)==g(x)，所以f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x) ，故A正确； 对于B选项：因为函数f(x)为增函数，所以f(-2)<f（3），故B正确； 对于C选项：f(x)-g(x)=-==-π-x，故C不正确； 对于D选项：f(2x)==2··=2f(x)g(x)，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查判断函数的奇偶性，判断函数的单调性，判断关于函数的等式是否成立，属于基础题. 13．下列说法正确的是（    ） A．函数在定义域上是减函数 B．函数有且只有两个零点 C．函数的最小值是1 D．在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称 【答案】CD 【分析】利用熟知函数的图象与性质逐一判断即可. 【详解】对于A，在定义域上不具有单调性，故命题错误； 对于B，函数有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；    对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确； 对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，命题正确. 故选CD 【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、最值、对称性、零点等知识点，考查数形结合能力，属于中档题. 14．设函数（，且），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用求得的解析式，从而得到的奇偶性与单调性，从而得解. 【详解】因为，， 所以，解得（负值舍去），则， 易得是偶函数，且在单调递减，在单调递增， 故，，，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 15．(多选)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据指数型函数的图象分布列式可解得. 【详解】因为函数 (,且)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:      由图像可知函数为增函数，所以.当时，， 故选AD. 【点睛】本题考查了指数函数的图象,属于基础题. 16．若，则下列选项中不正确的是（　　） A．在上单调递减 B．与的图象关于y轴对称 C．的图象过点 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】对于可直接根据指数函数的性质判断；对于,也可根据性质直接判断；对于,通过验证判断；对于,可以利用性质求出值域判定. 【详解】因为　在R上单调递增，则A错误； 与的图象关于y轴对称，则B正确； 由，得的图象过点，则C错误； 由，可得，则D错误， 故选： 17．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at．关于下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．浮萍每月增加的面积都相等 C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2 D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3 【答案】AD 【分析】先利用特殊点求出函数解析式为y＝3t，再利用指数函数的性质即可判断出正误． 【详解】对于A：因为函数图象过点， 所以a＝3，即函数解析式为y＝3t， 所以浮萍每月的增长率为：， 即选项A正确； 对于B：因为浮萍第1个月增加的面积为， 浮萍第2个月增加的面积为， 所以浮萍每月增加的面积不相等， 即选项B错误； 对于C：当t＝4时，y＝34＝81＞80， 即选项C错误； 对于D：因为，，， 所以， 即 所以2t2＝t1+t3， 即选项D正确. 故选：AD． 18．（多选）设指数函数（且），则下列等式中不正确的有 A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用指数幂的运算律对各选项中等式的正误进行验证，从而得出正确选项. 【详解】，A 正确； ，B正确； ，，C不正确； ，，D不正确. 故选CD. 【点睛】本题考查指数幂的运算，解题的关键就是熟练利用指数幂的运算律进行计算，考查计算能力，属于基础题. 19．下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据指数函数的概念依次判断即可得答案. 【详解】解：根据指数函数的定义，形如（且）的函数，其系数为， 故A选项不满足形式；B选项的指数为；C选项，满足；D选项满足. 故选：CD 20．函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，函数的单调递增区间为 B．不论为何值，函数既没有最小值，也没有最大值 C．不论为何值，函数的图象与轴都有交点 D．存在实数，使得函数为R上的减函数 【答案】ABD 【分析】对于A，根据指数函数和二次函数的单调性可知A正确；对于B，根据指数函数与二次函数的图象可知B正确；对于C，根据函数的图象与轴没有交点，当时，函数的图象与轴没有交点，可知C不正确；对于D，当时，可判断出函数为R上的减函数，可知D正确. 【详解】对于A，当时，函数，当时，为减函数，当时，的单调递增区间为，故A正确； 对于B，当时，为减函数，所以不论为何值，当趋近于负无穷时，趋近于正无穷，即没有最大值；当时，的图象是开口向下的抛物线的一部分，所以不论为何值，当趋近于正无穷时，趋近于负无穷，即没有最小值；故B正确； 对于C，当时，函数的图象与轴没有交点， 当时，由得或，所以当时，函数的图象与轴没有交点，故C不正确； 对于D，当时，函数在上为减函数，函数在上为减函数，且，，，所以此时函数为R上的减函数，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 21．若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为 . 【答案】 【分析】图象不经过第一象限,只需,代入解析式,解出不等式即可. 【详解】解:由题知, 若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上， 只需即可, 即, 解得: . 故答案为: 22．我国2010年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，到2020年底我国人口总数是( ) A．    B．    C．     D． 【答案】C 【详解】因为2010年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，则： 2011年底的人口总数为M； 2012年底的人口总数为M； 2013年底的人口总数为M； 2014年底的人口总数为M； …… 以此类推，2020年底的人口总数为M； 故选：C． 23．设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由，求得的范围及最大值，再分析的单调性，讨论时函数在的范围建立不等式所求范围． 【详解】因为， 当时函数单调递减且， 由是函数的最大值， 所以的最大值为， 当时， 可得在时函数单调递减，在单调递增， 若，，则，不符题意； 若，，则，即， 综上可得的范围是． 故答案为： 24．若，则a，b，c的大小关系是 . 【答案】c＞a＞b. 【分析】由幂函数y＝xa（a＜0）的图象可以判断a、b、c的大小，从而可以判断a、b、c的大小． 【详解】解：考察幂函数y＝xa（a＜0）的图象可知： 幂函数y＝xa（a＜0）在第一象限内是减函数， ∵0.22， ∴0.2x＞2﹣x＞2x， ∴c＞a＞b， 故答案为：c＞a＞b 【点睛】本题考查比较大小、考查幂函数的图象和性质，考查数形结合思想，属基础知识、基本题型的考查． 25．已知函数为奇函数，则的值为 . 【答案】2 【分析】根据求出的值，再验证即可. 【详解】由于函数定义域为，且为奇函数， 由，解得， 当时，， 是奇函数. 故答案为：2 26．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为 【答案】 【解析】根据定义域的定义分类讨论求函数的定义域后可得结论．． 【详解】要使函数且有意义，则，即， 当时，；当时，， 因为的定义域为，所以可得符合题意， 的取值范围为. 故答案为：． 【点睛】本题考查函数的定义域，掌握定义域的概念是解题关键．属于基础题． 27．已知f(x)＝2x＋，若f(a)＝5，则f(2a)＝ ． 【答案】23 【分析】易得f(a)＝2a＋＝5，再由f(2a)＝求解. 【详解】因为f(x)＝2x＋，若f(a)＝5，， 则f(a)＝2a＋＝5． 所以f(2a)＝22a＋＝(2a)2＋＝＝23． 故答案为：23 28．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，问现在价格为8100元的计算机经过15年后，价格应降为＿＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【详解】根据题意，计算机的价格降了3次，每次价格降低， 即降一次后价格变为价格不变前的． 所以15年后价格应降为：（元） 29．已知函数则 . 【答案】3 【分析】直接代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：3. 30．已知函数，则的单调递增区间为 ，值域为 ． 【答案】 【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域. 【详解】令，解得或， ∴的定义域为， 令，则其在上递减，在上递增， 又为减函数，故的增区间为． ∵，∴，故的值域为． 故答案为：，. 31．定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为 ；最小值为 . 【答案】 【分析】先根据值域端点值求解出对应的值,再根据函数的对称性得到函数定义域情况，由此计算出区间长度的最值. 【详解】由，得，由，得， 故满足题意的定义域可以为或， 故区间的最大长度为，最小长度为. 故答案为；. 【点睛】本题考查新定义背景下指数型函数的定义域和值域的关系，难度一般. 32．若方程有唯一实数解，则的取值范围是 ． 【答案】或． 【分析】作函数的图象，从而结合图象讨论方程的根的个数即可． 【详解】作函数的图象如下， ，结合图象可知， 当时，方程有唯一实数解， 当时，方程有两个实数解， 当时，方程有唯一实数解， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了函数的图象与方程的根的关系应用及数形结合方法的应用． 33．已知函数，且），其图象像经过点（-1，5），（0，4），则的值为 . 【答案】7 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再代入求值即可． 【详解】解：由已知得，解得， 所以，所以． 故答案为 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式及求函数值，属于基础题． 四、解答题 34．设. (1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象； (2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？ 【答案】（1）图象见解析；（2）答案见解析． 【分析】(1)作出函数的图像.(2) 计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中发现：两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称． 【详解】(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示： (2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3， f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π， f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m. 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称． 【点睛】本题主要考查指数函数的图像和性质，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 35．已知函数，. (1)若函数为奇函数，求实数a的值； (2)在（1）的条件下，设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，即可得解； （2）根据题意使得在的值域包含在上的值域即可. 【详解】（1）为奇函数，， ，此时，经验证符合题意； （2）， 令，，， 记，， 易知在[2，4]上单调递增， 故， 另外当时， 由题意：， 所以的取值范围为. 36．已知函数的图象经过点，其中且． （1）求a的值 （2）求函数的值域． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）根据题意，由待定系数法即可得答案； （2）结合（1）得，由指数函数性质即可得答案. 【详解】解：因为函数的图象经过点， 所以． 由得， 因为函数在上是减函数， 所以当时，函数取最大值2， 故， 所以函数 故函数的值域为． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，指数函数性质求值域，考查运算能力，是基础题. 37．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数． （1）求f(x)的表达式； （2）判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明． 【答案】（1）f(x)＝2x；（2）奇函数；证明见解析． 【分析】（1）利用指数函数的定义，求出，即可求的表达式， （2），即可利用定义判断的奇偶性. 【详解】（1）由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)， ∴f(x)＝2x． （2）， ∴，且定义域为R， ∴F(x)是奇函数． 38．重庆的锶矿资源非常丰富，其锶矿储量居全国第一．某科研单位在研发锶矿产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为：当0x2时，y是x的指数函数；当2< x5时，y是x的二次函数．测得数据如下表（部分）： x (单位：克) 1 3 4 5 ··· y 2 5 4 1 ··· (1)求y关于x的函数关系式； (2)求这种新材料的含量为何值时锶矿产品的性能达到最佳． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）根据给定的数表，利用待定系数法求出解析式作答. （2）分段求出函数的最值，再比较大小作答. 【详解】（1）当时，y是x的指数函数，设（a>0且）， 由数表知，满足指数函数解析式，于是得，即当时，； 当时，y是x的二次函数，设（）， 显然满足二次函数解析式，即，解得， 即当时，， 所以y关于x的函数关系式. （2）当时，，则当x=2时，y取得最大值4， 当时，，则当x=3时，y取得最大值5，而 因此当x=3时， y取得最大值5， 所以这种新材料的含量为3时锶矿产品的性能达到最佳. 39．已知函数. （1）求的值； （2）若函数，且，满足下列条件：①为偶函数；②且使得；③且恒过点.写出一个符合题意的函数，并说明理由. 【答案】（1）（2）；详见解析 【分析】(1)按照指数幂的运算法则直接计算即可 (2) ，证明其满足叙述的3个条件即可 【详解】（1）由题意知： （2）函数 证明如下：①，所以 所以为偶函数 ② 当且仅当，即时等号成立 ③，恒过点 【点睛】指数函数恒过点，对数函数恒过点. 40．已知函数是单调递减的指数函数． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数定义和指数函数单调性可构造方程求得的值； （2）将所求不等式化为，令，解关于的一元二次不等式可求得，进而根据指数函数单调性解得的范围. 【详解】（1）为指数函数，，解得：或， 或，又单调递减，，即. （2）由得：； 令，则，解得：，即，解得：， 的解集为. 41．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)． (1)若的图象如图①所示，求a，b的值； (2)若的图象如图②所示，求a，b的取值范围； (3)在(1)中，若＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围． 【答案】(1)a＝，b＝－3 (2)a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为． (3)或 【分析】（1）代入点的坐标列出方程求解即可； （2）根据图象可知函数为减函数确定的取值范围，再由可求的取值范围； （3）作出的图象，数形结合求解即可. 【详解】（1）因为的图象过点， 所以解得a＝，b＝－3. （2）由为减函数可知a的取值范围为(0，1)， 因为，即， 所以b的取值范围为． （3）由题中图①可知的图象如图， 由图可知使有且仅有一个实数解的的取值范围为或. 42．截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)． （1）求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域； （2）若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？ （3）哪一年年底的人口数将达到135万？ 【答案】（1）y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*)；（2）134；（3）2031年. 【分析】（1）由题可知经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，进而得答案； （2）结合（1）将代入求解即可； （3）结合（2）分别计算2030年,2031年的人口数，即可得答案. 【详解】解：（1）2018年年底的人口数为130万； 经过1年，2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)； 经过2年，2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)； 经过3年，2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万)． …… 所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同， 所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万)．即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*)． （2）2029年年底，经过了11年，过2029年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万)． （3）由（2）可知，2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135. 2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)， 2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万)． 所以2031年年底的人口数将达到135万． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$