精品解析：安徽省六安市皋城中学2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

六安皋城中学2024~2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（ ） A. 6，9 B. 9，15 C. 10，16 D. 15，18 6. 学校举行“强国有我，筑梦未来”演讲比赛，小明统计了7位评委对某参赛选手的评分并制成如下表格．如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下表中的数据一定不会发生变化的是（ ） 众数 中位数 平均数 方差 A. B. C. D. 7. “赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．连接，若，，则大正方形的边长为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款在电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量为30000个．若7月25日和7月26日较前一天的增长率为x．则可列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 函数y=ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（　　） A. B. C. D. 10. 如图，菱形中，，E和点F分别在边上，连接，，若M、N分别为线段的中点，则线段的长度等于（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 12. 抛物线的对称轴是直线______． 13. 体育老师要在甲和乙两人中选择人参加篮球投篮大赛，下表是两人次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选______参加比赛． 甲 乙 14. 利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是长方形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个小正方形，然后按图2重新摆放． （1）______； （2）若，，则长方形的面积是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 解方程： 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有实数根，求的取值范围； （2）若1是该方程的一个根，求的值． 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格的交点）为端点的线段． （1）将线段向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段，其中A的对应点为C，请画出线段； （2）以线段为一边，作一个菱形，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 20. 某校为了解八年级学生视力情况，在全校560名八年级学生中随机抽取了20名学生，并对他们进行右眼视力检查，结果如下： 整理上面的数据得到如下表格： 右眼视力 人数（人） 1 1 2 1 2 m 1 1 3 n 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为 ，n的值为 ； （2）这组数据的中位数是 ； （3）估计该校八年级学生右眼视力在及以上的学生人数． 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 如图，已知平行四边形，E是边的中点，点F在边上，连接并延长交的延长线于点G，连接、． （1）如果，求证：四边形是矩形； （2）如果F是边的中点，且，求证：四边形是菱形． 22. 已知抛物线的顶点为，点，是抛物线上的任意两点． （1）当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式； （2）当点位于轴下方时，求点到轴距离的最小值； （3）若对于，总有，请直接写出的取值范围． 七、（本题满分14分） 23. 如图1，在正方形中，，垂足为O． （1）求证：； （2）如图2，平移线段，使，连接． ①求证：； ②如图3，连接，当D、O、B三点共线时，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安皋城中学2024~2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此依次分析即可． 【详解】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式； B、被开方数含分母，不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：C． 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可得出答案，牢记一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：．当时，不满足题意，故本选项不符合题意； ．含有两个未知数，故本选项不符合题意； ．含有分式，故本选项不符合题意； ．满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意； 故选：． 3. 如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个多边形的边数是n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 故选：C． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握顶点式的顶点坐标为是解题的关键． 直接利用抛物线的顶点式特点确定顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 5. 下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（ ） A. 6，9 B. 9，15 C. 10，16 D. 15，18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可判断，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：B． 6. 学校举行“强国有我，筑梦未来”演讲比赛，小明统计了7位评委对某参赛选手的评分并制成如下表格．如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下表中的数据一定不会发生变化的是（ ） 众数 中位数 平均数 方差 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方差、算术平均数、中位数和众数等知识点，掌握中位数、平均数、众数及方差的定义是解题的关键． 根据中位数是位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数，据此即可解答． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，而方差，众数和平均数均可能发生变化． 故选：B． 7. “赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．连接，若，，则大正方形的边长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，先对运用勾股定理求出，再对运用勾股定理求出，则即可求得，最后对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款在电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量为30000个．若7月25日和7月26日较前一天的增长率为x．则可列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“7月25日和7月26日的总销量为30000个”，分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而得出等式求出答案． 【详解】解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则可列方程为： ． 故选：C． 9. 函数y=ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系：常数项决定抛物线与y轴交点位置，二次项系数与一次项系数决定对称轴位置，具体是左同右异. 【详解】当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误； 当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系, 二次函数图象上点的坐标特征, 抛物线与x轴的交点，解答关键是熟练掌握以上内容. 10. 如图，菱形中，，E和点F分别在边上，连接，，若M、N分别为线段的中点，则线段的长度等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，取的中点H，连接，过点N作于K，由菱形的性质可得，可证是等边三角形，可得，由三角形中位线定理可得，可得，可求，然后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接，过点N作于K， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵M、N分别为线段的中点，点H是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零”是解本题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．直接利用对称轴的计算方法求解即可． 【详解】解： 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 13. 体育老师要在甲和乙两人中选择人参加篮球投篮大赛，下表是两人次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选______参加比赛． 甲 乙 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，分别求出甲乙的方差即可判断求解，掌握方差计算公式是解题的关键． 【详解】解：甲的平均数为， ∴， 乙的平均数为， ∴， ∵， ∴甲成绩更稳定， ∴应选甲参加比赛， 故答案为：甲． 14. 利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是长方形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个小正方形，然后按图2重新摆放． （1）______； （2）若，，则长方形的面积是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查折叠问题，多项式乘以单项式的应用， （1）根据，即可求解． （2）设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】（1）依题意， 故答案为：． （2）解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、绝对值、二次根式的乘法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先运用零次幂、绝对值、二次根式的乘法知识化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 16. 解方程： 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解．化简后利用配方法解方程． 【详解】解：， 化简为：， 配方得：，即， 开方得． ∴，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有实数根，求的取值范围； （2）若1是该方程的一个根，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则，再解不等式即可得到答案； （2）把代入原方程求出m的值即可． 【小问1详解】 解：， 若方程有实数根，则，且， 即，且， 解得：且； 【小问2详解】 解：把，代入一元二次方程得： ， 解得：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根. 18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格的交点）为端点的线段． （1）将线段向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段，其中A的对应点为C，请画出线段； （2）以线段为一边，作一个菱形，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可） 【答案】（1）如图所示，线段即为所求； （2） 如图所示，菱形即为所求，（答案不唯一）． ， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了作图-平移变换和菱形的性质以及勾股定理． （1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据菱形的性质结合网格作出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②； （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2） 略 （3）原式 20. 某校为了解八年级学生视力情况，在全校560名八年级学生中随机抽取了20名学生，并对他们进行右眼视力检查，结果如下： 整理上面的数据得到如下表格： 右眼视力 人数（人） 1 1 2 1 2 m 1 1 3 n 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为 ，n的值为 ； （2）这组数据的中位数是 ； （3）估计该校八年级学生右眼视力在及以上的学生人数． 【答案】（1）2，4 （2） （3）252人 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表、中位数、样本估计总体等知识点，从统计表中获取所需信息是解题的关键． （1）根据数据进行统计即可解答； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用560乘以右眼视力在及以上的学生人数占比即可； 【小问1详解】 解：统计相关数据可得，，． 故答案为：2，4． 【小问2详解】 解：∵共有20个数据， ∴由小到大排列，中位数为第10和第11数的平均数， ∴中位数． 故答案为：． 【小问3详解】 解：人． 答：估计该校八年级学生右眼视力在及以上的学生人数为252人． 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21. 如图，已知平行四边形，E是边的中点，点F在边上，连接并延长交的延长线于点G，连接、． （1）如果，求证：四边形是矩形； （2）如果F是边的中点，且，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵E是边的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是矩形． （2） 证明：连接，如图， ∵E是边的中点，F是边的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，三角形的中位线，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键． （1）先证出，再根据，得到，即可证明； （2）连接，得到是的中位线，从而证得，得出，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知抛物线的顶点为，点，是抛物线上的任意两点． （1）当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式； （2）当点位于轴下方时，求点到轴距离的最小值； （3）若对于，总有，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）将代入抛物线解析式求出，即可求解； （2）先将抛物线化为顶点式，可得其顶点为，根据题意可得，则点到轴的距离为，结合二次函数的性质即可求解； （3）由抛物线解析式可知，该抛物线开口向上，对称轴为直线，进而得到二次函数的增减性，结合对于，总有，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入抛物线解析式可得：， 解得：， 当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式为； 【小问2详解】 抛物线， 其顶点为， 当点位于轴下方时，， 点到轴的距离为， ， 当时，取得最小值， 即点到轴距离的最小值为； 【小问3详解】 抛物线，开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 对于，总有， ， 解得：． 七、（本题满分14分） 23. 如图1，在正方形中，，垂足为O． （1）求证：； （2）如图2，平移线段，使，连接． ①求证：； ②如图3，连接，当D、O、B三点共线时，则 ． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②． 【解析】 【分析】（1）如图1，过点F作于点H，证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）①如图2，延长交于点P，证明点D是的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明结论；②如图3，连接，过O作于M，则于N，作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形，证明，是等腰直角三角形，则，设，则，，由勾股定理得，得出，最后代入化简即可解答． 【小问1详解】 证明：如图1，过点F作于点H，则四边形是矩形， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①证明：如图2，延长交于点P， ∵正方形，， ∴，，即， ∵，，， ∴， ∴，即D是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴，即； ②解：如图3，连接，过O作于M，则于N，作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∵D、O、B三点共线， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）①可知，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识点，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $