第16讲 导数与函数的单调性 讲义-2026届高三数学一轮复习

第16讲　导数与函数的单调性 一、知识梳理 函数的单调性与导数 导数到 单调性 单调 递增 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调上递增 单调 递减 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减 单调性 到导数 单调 递增 若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增,则在区间(a,b)内,f'(x)≥0 单调 递减 若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减,则在区间(a,b)内,f'(x)≤0 二、三大核心原则 ‌导数符号决定单调性‌：f'(x)>0 ⇒ f(x)单调递增 f'(x)<0 ⇒ f(x)单调递减 注意：导数为零的离散点不影响整体单调性 ‌分类讨论原则‌：含参问题必须按参数范围分类讨论；二次型导函数需考虑判别式、开口方向、根的大小关系 ‌等价转化原则‌：单调性问题可转化为导函数恒正/恒负问题；区间单调性可转化为不等式在区间内恒成立问题 三、八大常见题型分类与解题策略 1. 求不含参函数单调区间 ‌解题步骤‌：（1）确定定义域（2）求导函数f'(x)（3）解f'(x)>0得递增区间，解f'(x)<0得递减区间 易错点：忽略定义域限制，区间端点是否包含 【例1】函数的单调递增区间为 . 【详解】由题设，令，即的单调递增区间为. 故答案为： 2. 已知区间单调性求参数范围 ‌解题方法‌：（1）单调递增 ⇨ f'(x)≥0在区间恒成立 （2）单调递减 ⇨ f'(x)≤0在区间恒成立 关键点：带等号，需验证导数为零是否离散点 【例2】若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 【详解】，令，则当时，， 又因为， 当且仅当时等号成立，且当时，不恒为0， 故的取值范围是.故答案为：. 3. 存在单调区间问题 ‌解题策略‌：存在增区间 ⇨ f'(x)>0有解；存在减区间 ⇨ f'(x)<0有解 区别：与恒成立问题的不同 【例3】（多选）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【详解】，因为函数在区间内存在单调递增区间，所以在内有解，所以有解， 由于，所以，故， 则实数的取值范围是，结合选项可知，符合题意．故选：CD. 4. 函数不单调问题 ‌解题要点‌：（1）存在极值点 ⇨ f'(x)=0有变号解 （2）在区间(a,b)不单调 ⇨ f'(x)在(a,b)有零点 【例4】已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】函数在区间上不单调， 则在区间上有零点，所以 ，得（舍）， 故，使得函数在上递减，在上递增， 所以实数a的取值范围为.故选：B. 5. 导函数图象分析问题 ‌解题技巧‌：（1）原函数看增减，导函数看正负 （2）导函数图象在x轴上方 ⇨ 原函数递增 （3）导函数图象在x轴下方 ⇨ 原函数递减 【例5】（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【详解】由图知，在区间上，在区间上， 所以在、上不单调，在上单调递减，在上单调递增. 故选：BC 6. 一次型含参单调性讨论 【例6】已知函数. (1)讨论的单调性； 【详解】（1）由题意可知，则， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减. 7. 可分解二次型含参讨论 ‌解题流程‌：（1）对f'(x)因式分解（2）比较两根大小（3）按开口方向、根的位置分类讨论 【例7】（2025·河南·二模）已知函数. (1)讨论的单调性. 【详解】（1）的定义域为，且， ①当时，由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，恒成立，故函数在上单调递增； ③当时，由，得，由，得或， 所以函数在上单调递减，在，上单调递增； ④当时，由，得，由，得或， 所以函数在上单调递减，在，上单调递增； 综上：当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在，上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在，上单调递增. 8. 不可分解二次型含参讨论 ‌解题方法‌：（1）计算判别式Δ（2）Δ≤0时直接判断（3）Δ>0时结合开口方向讨论 难点：需要处理虚根情况下的单调性 【例7】设函数． (2)设，讨论的单调性． 【详解】（2）由， 所以的定义域为， 所以，令， 当时，，，所以在单调递减； 当时，令有，， 所以， 所以由有，，有，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； 综上有：当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调增区间为，单调减区间为 四、典例欣赏 【例8】已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)<ex,且f(2)=e2+2,则不等式f(ln x)>x+2的解集是　　　　.  【详解】 法1：（构造法）设g(x)=f(x)-ex+2,则g'(x)=f'(x)-ex.因为f'(x)<ex,所以g'(x)<0,所以g(x)在R上单调递减.不等式f(ln x)>x+2等价于f(ln x)-x+2>4,即g(ln x)>4,因为f(2)=e2+2,所以g(2)=f(2)-e2+2=4,所以g(ln x)>g(2),即ln x<2,解得0<x<e2. 法2：（特殊函数）由题意令f(x)=e2+2，则e2+2>x+2，所以,解得0<x<e2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲　导数与函数的单调性 一、知识梳理 函数的单调性与导数 导数到 单调性 单调 递增 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调上递增 单调 递减 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减 单调性 到导数 单调 递增 若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增,则在区间(a,b)内,f'(x)≥0 单调 递减 若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减,则在区间(a,b)内,f'(x)≤0 二、三大核心原则 ‌导数符号决定单调性‌：f'(x)>0 ⇒ f(x)单调递增 f'(x)<0 ⇒ f(x)单调递减 注意：导数为零的离散点不影响整体单调性 ‌分类讨论原则‌：含参问题必须按参数范围分类讨论；二次型导函数需考虑判别式、开口方向、根的大小关系 ‌等价转化原则‌：单调性问题可转化为导函数恒正/恒负问题；区间单调性可转化为不等式在区间内恒成立问题 三、八大常见题型分类与解题策略 1. 求不含参函数单调区间 ‌解题步骤‌：（1）确定定义域（2）求导函数f'(x)（3）解f'(x)>0得递增区间，解f'(x)<0得递减区间 易错点：忽略定义域限制，区间端点是否包含 【例1】函数的单调递增区间为 . 2. 已知区间单调性求参数范围 ‌解题方法‌：（1）单调递增 ⇨ f'(x)≥0在区间恒成立 （2）单调递减 ⇨ f'(x)≤0在区间恒成立 关键点：带等号，需验证导数为零是否离散点 【例2】若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 3. 存在单调区间问题 ‌解题策略‌：存在增区间 ⇨ f'(x)>0有解；存在减区间 ⇨ f'(x)<0有解 区别：与恒成立问题的不同 【例3】（多选）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 4. 函数不单调问题 ‌解题要点‌：（1）存在极值点 ⇨ f'(x)=0有变号解 （2）在区间(a,b)不单调 ⇨ f'(x)在(a,b)有零点 【例4】已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5. 导函数图象分析问题 ‌解题技巧‌：（1）原函数看增减，导函数看正负 （2）导函数图象在x轴上方 ⇨ 原函数递增 （3）导函数图象在x轴下方 ⇨ 原函数递减 【例5】（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 6. 一次型含参单调性讨论 【例6】已知函数. (1)讨论的单调性； 7. 可分解二次型含参讨论 ‌解题流程‌：（1）对f'(x)因式分解（2）比较两根大小（3）按开口方向、根的位置分类讨论 【例7】（2025·河南·二模）已知函数. (1)讨论的单调性. 8. 不可分解二次型含参讨论 ‌解题方法‌：（1）计算判别式Δ（2）Δ≤0时直接判断（3）Δ>0时结合开口方向讨论 难点：需要处理虚根情况下的单调性 【例7】设函数． (2)设，讨论的单调性． 四、典例欣赏 【例8】已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)<ex,且f(2)=e2+2,则不等式f(ln x)>x+2的解集是　　　　.  1 学科网（北京）股份有限公司 $$