第15讲 导数的概念及其意义、导数的运算 讲义-2026届高三数学一轮复习

第三单元　导数及其应用 第15讲　导数的概念及其意义、导数的运算 一、知识梳理 1.变化率与导数 (1)平均变化率: 一般地，函数在区间上的平均变化率为：. (2)函数y=f(x)在x=x0处的导数: 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 定义法求导数步骤： 1 求函数的增量：； 2 求平均变化率：； 3 求极限，得导数：. (3)导函数 当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=. 2.导数的运算 10. 基本初等函数的导数公式: 基本初等函数 导数 (为常数) () () (，) 20. 导数的运算法则: 若，存在，则有 （1） （2） （3）. 二、三大核心原则 ‌定义优先原则‌：理解导数作为瞬时变化率的本质，掌握定义法求导的基本步骤 ‌几何直观原则‌：将导数与切线斜率建立联系，通过数形结合解决问题 ‌运算规范原则‌：熟练运用导数公式和运算法则，确保计算准确无误 三、九大常见题型分类与解题策略 1. 导数概念理解题 ‌解题要点‌：利用定义法求导数： 【例1】已知函数在处可导，若，则（   ） A．4 B．6 C． D． 【详解】因为 ，所以. 故选：A. 2. 基本导数计算题 ‌解题方法‌：（1）熟记基本初等函数导数公式（2）掌握四则运算法则：（3）复合函数求导 【例2】下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 【详解】A：因为a为常数，所以，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D错误. 故选：B. 3. "在点处"切线问题 解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 关键点：区分"在点处"与"过点处"的区别 【例3】曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】令，则，即，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 故选：D. 4. "过点处"切线问题 解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 【例4】过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：，故选：． 5. 已知切线求参数问题 解题策略： (1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上，故满足切线方程； ③切点在曲线上，故满足曲线方程. (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法典型例题：求使切线与给定直线平行/垂直的参数 【例5】已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（    ） A．0 B． C． D． 【详解】由且x不为0，得 设切点为，则，即， 所以，可得.故选：C. 6. 公切线问题 解题思路： 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 难点：可能需要解高次方程 【例6】已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【详解】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，，则直线与 曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即，则， 解得，故，故选：A. 7. 切线存在性问题 ‌解题策略‌： （1）转化为方程根的个数问题 （2）利用函数图像分析交点情况 【例7】若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是，故选：D. 8. 距离最值转化问题 ‌解题技巧‌： （1）将距离问题转化为平行切线问题 （2）求与给定直线平行且与曲线相切的直线 （3）计算两平行线间距离 关键点：理解几何意义 【例8】若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】的定义域为， 由函数，可得， 令，可得，负值舍去，又， 所以平行于直线且与曲线相切的直线与曲线的切点坐标为．点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为.故选：C． 9. 奇偶函数切线问题 ‌解题方法‌： （1）利用奇偶函数性质简化计算 （2）奇函数在原点切线必过原点，偶函数在对称点切线斜率相反 【例9】已知是定义在上的奇函数，若时，，则曲线在点处的切线斜率为 . 【详解】因为当时,故.根据奇函数的图像知, 在点处的切线斜率等于在点处的切线斜率为.故答案为： 四、典例欣赏 【例10】若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=(a>0)存在公切线,则实数a的取值范围为　　　　.  【详解】 法1：由y=x2得y'=2x，则曲线y=x2在点(m,m2)处的切线斜率为2m。由y=(a>0)得y'=，则曲线y=在点处的切线斜率为en。因为两条曲线存在公切线，所以2m=en(m≠0)，又2m=，所以m=2n-2，则4n-4=en有解，所以直线y=4x-4与函数y=ex的图象有交点。如图,当直线y=4x-4与函数y=ex的图象相切时，设切点坐标为(s,t)，则es=4，且t=4s-4=es， 解得s=2，t=4，即切点为(2,4)，此时a=，结合图形 可知实数a的取值范围是. 法2：由y=(a>0)得y'=,则曲线y=在点处的切线斜率为en，切线方程为，联立得 ，化简，利用双函数法，结合图像知 法3：在化为，令，利用导数，画出图像，结合图像知 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三单元　导数及其应用 第15讲　导数的概念及其意义、导数的运算 一、知识梳理 1.变化率与导数 (1)平均变化率: 一般地，函数在区间上的平均变化率为：. (2)函数y=f(x)在x=x0处的导数: 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 定义法求导数步骤： 1 求函数的增量：； 2 求平均变化率：； 3 求极限，得导数：. (3)导函数 当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=. 2.导数的运算 10. 基本初等函数的导数公式: 基本初等函数 导数 (为常数) () () (，) 20. 导数的运算法则: 若，存在，则有 （1） （2） （3）. 二、三大核心原则 ‌定义优先原则‌：理解导数作为瞬时变化率的本质，掌握定义法求导的基本步骤 ‌几何直观原则‌：将导数与切线斜率建立联系，通过数形结合解决问题 ‌运算规范原则‌：熟练运用导数公式和运算法则，确保计算准确无误 三、九大常见题型分类与解题策略 1. 导数概念理解题 ‌解题要点‌：利用定义法求导数： 【例1】已知函数在处可导，若，则（   ） A．4 B．6 C． D． 2. 基本导数计算题 ‌解题方法‌：（1）熟记基本初等函数导数公式（2）掌握四则运算法则：（3）复合函数求导 【例2】下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 3. "在点处"切线问题 解题策略： (1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 关键点：区分"在点处"与"过点处"的区别 【例3】曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4. "过点处"切线问题 解题通法： (1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； (2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； (3)将已知条件代入②中的切线方程求解. 【例4】过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 5. 已知切线求参数问题 解题策略： (1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上，故满足切线方程； ③切点在曲线上，故满足曲线方程. (2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法典型例题：求使切线与给定直线平行/垂直的参数 【例5】已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（    ） A．0 B． C． D． 6. 公切线问题 解题思路： 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 难点：可能需要解高次方程 【例6】已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 7. 切线存在性问题 ‌解题策略‌： （1）转化为方程根的个数问题 （2）利用函数图像分析交点情况 【例7】若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. 距离最值转化问题 ‌解题技巧‌： （1）将距离问题转化为平行切线问题 （2）求与给定直线平行且与曲线相切的直线 （3）计算两平行线间距离 关键点：理解几何意义 【例8】若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 9. 奇偶函数切线问题 ‌解题方法‌： （1）利用奇偶函数性质简化计算 （2）奇函数在原点切线必过原点，偶函数在对称点切线斜率相反 【例9】已知是定义在上的奇函数，若时，，则曲线在点处的切线斜率为 . 四、典例欣赏 【例10】若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=(a>0)存在公切线,则实数a的取值范围为　　　　.  1 学科网（北京）股份有限公司 $$