第6讲 函数的概念及其表示 讲义-2026届高三数学一轮复习

第二单元　函数 第6讲　函数的概念及其表示 一、知识梳理 1、函数的概念 一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.  2、函数的三要素：定义域、值域、对应关系 (1)在函数y=f(x)，x∈A中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域。 (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数为同一个函数.  3、函数的表示法：解析法、图象法和列表法.  4、求函数的定义域 基本的函数定义域限制 ①分式的分母不为零； ②偶次方根的被开方数大于或等于零： ③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； ④零次幂或负指数次幂的底数不为零； ⑤三角函数中的正切的定义域是且； 5、求函数的解析式 (1)配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换. (2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. (3)换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出． 6、分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。 (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数。分段函数的定义域等于各段函数的自变量的取值范围的并集，值域等于各段函数的函数值的取值范围的并集。 二、三大核心原则 ‌定义域优先原则‌：解决任何函数问题前必须先明确定义域，这是函数研究的基石 ‌对应关系唯一性原则‌：函数本质要求每个自变量有且仅有一个确定的函数值与之对应 ‌表示方法适配原则‌：根据问题特点选择最合适的表示方法（解析式、图象、列表） 三、六大常见题型分类与解题策略 1. 函数概念辨析题 ‌解题要点‌：验证"定义域→对应关系→值域"的完整性 特别注意多值对应、无定义点等陷阱 【例1】下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 2. 函数三要素判定题 ‌解题步骤‌：（1）比较定义域是否相同（2）化简后比较对应关系是否一致 【例3】下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3. 定义域求解题 【例4】函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【例5】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 4. 解析式求解题 五大方法‌：‌配凑法；‌换元法； ‌待定系数法；‌方程组法；赋值法 【例6】（1）已知函数，则（    ） A． B． C． D． （2）已知，求函数的解析式； （3）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． （4）已知函数f(x)的定义域为R,且满足2f(x)-f(1-x)=x,则f(x)= (　 ) A.x-2 B. C. D.-x+2 （5）已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y-2),且f(1)=0,则f(x)的解析式为　　　　　　.  5. 分段函数综合题 ‌解题关键‌：分段处理时注意定义域边界 复合函数需逐段分析（如需考虑内层函数值落入哪个区间） 【例6】（1）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 （2）已知函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 6. 函数图象识别题 ‌判断方法‌： （1）检验定义域限制 （2）验证对应关系（垂直检验法：任一竖直线与图象至多一个交点） （3）特殊值验证法（取边界值快速排除错误选项） 【例6】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B．C． D． 四、典例欣赏 【例7】已知函数，且函数的定义域为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二单元　函数 第6讲　函数的概念及其表示 一、知识梳理 1、函数的概念 一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.  2、函数的三要素：定义域、值域、对应关系 (1)在函数y=f(x)，x∈A中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域。 (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数为同一个函数.  3、函数的表示法：解析法、图象法和列表法.  4、求函数的定义域 基本的函数定义域限制 ①分式的分母不为零； ②偶次方根的被开方数大于或等于零： ③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； ④零次幂或负指数次幂的底数不为零； ⑤三角函数中的正切的定义域是且； 5、求函数的解析式 (1)配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换. (2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. (3)换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出． 6、分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。 (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数。分段函数的定义域等于各段函数的自变量的取值范围的并集，值域等于各段函数的函数值的取值范围的并集。 二、三大核心原则 ‌定义域优先原则‌：解决任何函数问题前必须先明确定义域，这是函数研究的基石 ‌对应关系唯一性原则‌：函数本质要求每个自变量有且仅有一个确定的函数值与之对应 ‌表示方法适配原则‌：根据问题特点选择最合适的表示方法（解析式、图象、列表） 三、六大常见题型分类与解题策略 1. 函数概念辨析题 ‌解题要点‌：验证"定义域→对应关系→值域"的完整性 特别注意多值对应、无定义点等陷阱 【例1】下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【详解】A选项：当x为负数时，B中没有元素与之对应，故A选项不正确； B选项：当x为零时，B中没有元素与之对应，故B选项不正确； C选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C选项不正确； D选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D选项正确． 故选：D. 【例2】下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【详解】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意， 对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义； 对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义.故选：D． 2. 函数三要素判定题 ‌解题步骤‌：（1）比较定义域是否相同（2）化简后比较对应关系是否一致 【例3】下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数； 对于B中，函数和的定义域都是，但对应法则不同，所以不是同一个函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数.故选：A． 3. 定义域求解题 【例4】函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【详解】由题知,解得且即函数的定义 域为故选：D. 【例5】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【详解】由函数的定义域为，则有， 令，解得.故答案为：. 4. 解析式求解题 五大方法‌：‌配凑法；‌换元法； ‌待定系数法；‌方程组法；赋值法 【例6】（1）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，且，则， 可得，所以.故选：B. （2）已知，求函数的解析式； 【详解】，令. 所以.所以函数的解析式为. （3）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以.故选：B. （4）已知函数f(x)的定义域为R,且满足2f(x)-f(1-x)=x,则f(x)= (　 ) A.x-2 B. C. D.-x+2 【详解】因为2f(x)-f(1-x)=x①,所以2f(1-x)-f(x)=1-x②,由①×2+②得3f(x)=x+1,则f(x)=.故选B. （5）已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y-2),且f(1)=0,则f(x)的解析式为　　　　　　.  【详解】令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=-1,则f(0)=1.令y=0,得f(x)-f(0)=x(x-2),则f(x)=x2-2x+1. 5. 分段函数综合题 ‌解题关键‌：分段处理时注意定义域边界 复合函数需逐段分析（如需考虑内层函数值落入哪个区间） 【例6】（1）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【详解】由函数可得，.故选：B. （2）已知函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 【详解】当x≥2时,f(x)=x+1≥3,要使函数f(x)=的值域为R,需满足解得a≥,则a的取值范围是.故选D. 6. 函数图象识别题 ‌判断方法‌： （1）检验定义域限制 （2）验证对应关系（垂直检验法：任一竖直线与图象至多一个交点） （3）特殊值验证法（取边界值快速排除错误选项） 【例6】若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B．C． D． 【详解】函数的定义域为 ，值域 ， 可知A图象定义域不满足条件；B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求；D图象，不是函数的图象；故选：C． 四、典例欣赏 【例7】已知函数，且函数的定义域为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【详解】由，则， 又函数的定义域为，即，， 所以函数的定义域为.故选：D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$