1.1.1一次函数的图象与直线的方程、1.1.2直线的倾斜角、斜率及其关系 同步课时训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

北师大版选择性必修第一册 1.1.1一次函数的图象与直线的方程 直线的倾斜角、斜率及其关系 知识点1 )对直线的倾斜角和斜率的理解 1.下列说法中正确的是 ( ) A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角 B. 任意一条直线都有唯一的斜率 C. 若直线的倾斜角为 0,则该直线与 x轴重合 D. 若直线的倾斜角为 α,则 sinα ∈ (0, 1) 解 选 A.任意一条直线都有唯一的倾斜角,但倾斜角为 90◦ 的直线斜率不存在,故 A正确, B 错误. 若直线的倾斜角为 0,则该直线与 x轴重合或平行,故 C错误. 直线的倾斜角 α的取值范 围为 [0, π),所以 sinα ∈ [0, 1],故 D错误. 2.(多选)若直线 l的斜率 k = −2,且过点 (3, 2),则直线 l经过点 ( ) A. (0, 4) B. (4, 0) C. (6,−4) D. (−2, 1) 解 选 BC. 3.过 A(3m− 1, 3m− 2) , B ( 2m2,m2 ) 两个不同点的直线的斜率为 1,则m = ( ) A. 1或 −1 B. 1 C. −1 D. 0 解 选 C.由题可得 m2 − 3m+ 2 2m2 − 3m+ 1 = 1,解得m = −1. 4.已知 a > 0,一次函数图象过三点 A (0,−a) , B ( 1, a2 ) , C ( 3, 2a3 ) ,则 a = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解 选 B. 方法 1 (利用一次函数图象与直线的关系求解)因为一次函数图象是一条直线,所以 A (0,−a) , B ( 1, a2 ) , C ( 3, 2a3 ) 三点共线,所以 kAB = kAC ,又 kAB = a2 + a, kAC = 2a3 + a 3 ,所以 a2 + a = 2a3 + a 3 ,整理得 2a3 − 3a2 − 2a = 0,即 a (2a+ 1) (a− 2) = 0,又 a > 0,解得 a = 2. 1 方法 2 (待定系数法)由 A (0,−a),可设一次函数的解析式为 y = kx− a,则  a > 0, a2 = k − a, 2a3 = 3k − a, 解得 a = 2 . 5.若直线 l与 x轴交于点 A,其倾斜角为 α,直线 l绕点 A顺时针旋转 π 4 后得到直线 l1,则直线 l1的倾斜角为 . 解 填 5α− π 4 或 α + 3π 4 . 因为直线的倾斜角的取值范围为 [0, π),所以当 π 4 ≤ α < π 时,直线 l1 的倾斜角为 α − π 4 , 当 0 ≤ α < π 4 时,直线 l1的倾斜角为 π + ( α− π 4 ) = α + 3π 4 . 6.若将直线 l沿 x轴正方向平移 2个单位长度,再沿 y 轴负方向平移 3个单位长度,又回到了 原来的位置,则 l的斜率是 . 解 填 −3 2 . 设 A (a, b) 是直线 l 上任意一点, 则平移后得点 A′ (a+ 2, b− 3), 所以直线 l 的斜率 k = b− 3− b a+ 2− a = −3 2 . 知识点2 )直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 7.直线 l1 经过两点 A (0, 0) , B ( 1, √ 3 ) ,直线 l1 的倾斜角是直线 l2 的倾斜角的 2倍,则 l2 的斜 率为 ( ) A. √ 3 2 B. √ 3 3 C. √ 3 D. − √ 3 解 选 B. 由题可得, kAB = √ 3 . 设直线 l1 的倾斜角为 α, 则 tanα = √ 3, 又 0◦ ≤ α < 180◦, 所 以 α = 60◦, 即直线 l1 的倾斜角为 60◦, 所以直线 l2 的倾斜角为 30◦, 所以直线 l2 的斜率为 tan 30◦ = √ 3 3 ,故选 B. 8.已知直线 l的倾斜角为 5π 6 ,则该直线的一个方向向量为 ( ) A. ( 1, √ 3 ) B. ( −1, √ 3 ) C. ( 3,− √ 3 ) D. ( 3, √ 3 ) 解 选 C. 直线 l的倾斜角为 5π 6 ,则斜率 k = tan 5π 6 = − √ 3 3 ,结合选项可知 C正确. 9.如图,直线 l1, l2, l3, l4的斜率分别为 k1, k2, k3, k4,则 ( ) A. k4 < k3 < k2 < k1 B. k3 < k4 < k2 < k1 C. k4 < k3 < k1 < k2 D. k3 < k4 < k1 < k2 2 解 选 D. 若倾斜角为锐角,则 k1 > k2 > 0；若为钝角,则 0 > k1 > k2,选项 D符合. 10.(多选)若直线 l的斜率为m2 − √ 3 (m ∈ R),则直线 l的倾斜角可能为 ( ) A. 4π 9 B. 5π 9 C. 2π 3 D. 7π 9 解 选 ACD. 斜率 k = m2 − √ 3 > − √ 3,即 tanα > − √ 3,得 α ∈ [ 0, π 2 ) ∪ [ 2π 3 , π ) ,选项 ACD在此范 围内. 11.若经过A (1− a, 1 + a)和B (3, a)的直线的倾斜角为钝角,则实数 a的取值范围为 . 解 填 (−2,+∞). kAB = 1 (1− a)− 3 = 1 −2− a < 0,即 −2− a < 0,解得 a > −2. 12.如图,在菱形 ABCD中, ∠ADC = 120◦,求对角线 AC 与 BD所在直线的斜率 kAC , kBD. 解 填 √ 3 3 和 − √ 3. ∠BAC = 30◦,kAC = tan 30◦ = √ 3 3 ；∠DBx = 120◦,kBD = tan 120◦ = − √ 3. 13.已知平面直角坐标系中的三点 A (1, 1), B (2, 3), C (4,−2),经过其中任意两点的直线中倾斜 角最大的直线的斜率为 ( ) A. 2 B. −1 C. 4 3 D. −5 2 解 选 B. 方法 1 由题意,得 kAB = 3− 1 2− 1 = 2, kAC = −2− 1 4− 1 =−1, kBC = 3− (−2) 2− 4 = −5 2 ,又 k = tanα 在 ( 0, π 2 ) 上单调递增,且 k > 0,在 (π 2 , π ) 上单调递增,且 k < 0,−1 > −5 2 ,所以经过其中任 意两点的直线中倾斜角最大的直线为 AC,其斜率为 −1. 方法 2 (数形结合)如图,在平面直角坐标系中标出点 A (1, 1), B (2, 3) , C (4,−2),由图及直线 倾斜角的定义知直线 AC 的倾斜角最大,其斜率为 kAC = −2− 1 4− 1 = −1. 14.若直线 l的一个方向向量是 n = (2, 2 cos θ),则直线 l的倾斜角 α的取值范围是 ( ) A. [ 0, π 4 ] B. [ π 4 , 3π 4 ] C. [ 0, π 4 ] ∪ [ 3π 4 , π ] D. [ 0, π 4 ] ∪ [ 3π 4 , π ] 解 选 C. 因为直线 l 的一个方向向量是 n = (2, 2 cos θ), 所以直线 l 的斜率 k = 2 cos θ 2 = cos θ . 因为 −1 ≤ cos θ ≤ 1, 所以 −1 ≤ k ≤ 1, 又直线 l 的倾斜角 α ∈ [0, π), 所以 0 ≤ α ≤ π 4 或 3π 4 ≤ α < π . 3 15.若直线 l过点 A (2, 1), B (m, 3),且倾斜角 α的取值范围是 ( π 4 , 3π 4 ) ,则实数m的取值范围 是 ( ) A. (0, 2) B. (0, 4) C. [2, 4) D. (0, 2) ∪ (2, 4) 解 选 B. 当直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k,则 k < −1或 k > 1 . 又 k = 3− 1 m− 2 = 2 m− 2 ,所以 2 m− 2 < −1或 2 m− 2 > 1,解得 0 < m < 2或 2 < m < 4 . 当直线 l的斜率不存在时, m = 2 符合题意. 综上,实数m的取值范围是 (0, 4). 16.已知点 A (0, 3), B (3, 2),直线 l 过点 P (1, 1)且与线段 AB 有公共点,则直线 l 的斜率的取 值范围是 ( ) A. [−2, 0) ∪ ( 0, 1 2 ] B. ( −∞,−1 2 ] ∪ [2,+∞) C. [ −2, 1 2 ] D. (−∞,−2] ∪ [ 1 2 ,+∞ ) 变式:已知点 A (3, 2), B ( −2, 1 2 ) ,若点 C (x, y)在线段 AB (包括端点)上移动,则 x− 1的取值 范围是 . 解 选 D. 如图,直线 PA的斜率为 kPA = 3− 1 0− 1 = −2,直线 PB 的斜率为 kPB = 2− 1 3− 1 = 1 2 ,由图可 知过点 P (1, 1)且与线段 AB 有公共点时,直线 l的斜率的取值范围是 (−∞, −2] ∪ [ 1 2 ,+∞ ) . 故选 D. 变式:填 ( −∞, 1 6 ] ∪ [ 1 2 ,+∞ ) . 设 P (1, 1),则 y − 1 x− 1 表示点 C (x, y) (x ̸= 1)与 P (1, 1)的连线所在直线的斜率 kPC , kPA = 2− 1 3− 1 = 1 2 , kPB = 1− 1 2 1− (−2) = 1 6 ,结合图形 (如图所示),知直线 PC 的斜率 kPC 的取值范围是( −∞, 1 6 ] ∪ [ 1 2 ,+∞ ) . 17.已知函数 f (x) = 2x,且 a < b < c < 0,则 f (a) a− 1 , f (b) b− 1 , f (c) c− 1 的大小关系为 ( ) A. f (a) a− 1 > f (b) b− 1 > f (c) c− 1 B. f (b) b− 1 > f (a) a− 1 > f (c) c− 1 C. f (c) c− 1 > f (a) a− 1 > f (b) b− 1 D. f (c) c− 1 > f (b) b− 1 > f (a) a− 1 解 选 A. f (x) x− 1 = 2x − 0 x− 1 的几何意义为点 (x, 2x)和点 (1, 0)连线所在直线的斜率. 如图所示,根据 图象知 f (a) a− 1 > f (b) b− 1 > f (c) c− 1 . 故选 A. 4 名师点评 对于函数 f (x)图象上的两点 (a, f (a)), (b, f (b)),比较 f (a) a− 1 , f (b) b− 1 的大小时,可将问题转化为比较这两点 与点 (1, 0)连线所在直线的斜率的大小. 18.已知直线 l1, l2, l3的斜率分别是 k1, k2, k3,倾斜角分别是 α, β, γ,且 α < β < γ,则下列关系 可能正确的是 ( ) A. k1 < k2 < k3 B. k3 < k1 < k2 C. k3 < k2 < k1 D. k2 < k3 < k1 解 选 ABD. 当 α, β, γ都为锐角或都是钝角时, k1 < k2 < k3 ;当 α, β为锐角, γ是钝角时, k3 < k1 < k2; 当 α为锐角, β, γ 是钝角时, k2 < k3 < k1. 故选 ABD. 19.福建省宁德市保留着五十多座存世几十年甚至数百年的木拱廊桥 (如图 1),堪称木拱廊桥 的宝库. 图 2 是某木拱廊桥的剖面图,AA1, BB1, CC1, DD1 是拱骨,OD1, DC1, CB1, BA1 是 相等的步, 相邻的拱步之比分别为 |DD1| |OD1| = 1, |CC1| |DC1| = k1, |BB1| |CB1| = k2, |AA1| |BA1| = k3, 若 k2 − k1 = k3 − k2,且直线 OA的斜率为 0.565,则 k2 = . 解 填 0.42. 由题可知 kOA = |AA1|+ |BB1|+ |CC1|+ |DD1| |OD1|+ |DC1|+ |CB1|+ |BA1| ,因为 |OD1| = |DC1| = |CB1| = |BA1|, 所以 kOA = 1 4 ( |DD1| |OD1| + |CC1| |DC1| + |BB1| |CB1| + |AA1| |BA1| ) = 1 4 (1 + k1 + k2 + k3) = 0.565, 又 k2 − k1 = k3 − k2,所以 k1 + k3 = 2k2,所以 1 4 (1 + 3k2) = 0.565,解得 k2 = 0.42. 20.已知正三角形 ABC 的三个顶点均在曲线 y = x2上,其中一条边所在直线的斜率为 √ 2,求 △ABC 的三个顶点的横坐标之和. 解 设点 A ( a, a2 ) , B ( b, b2 ) , C ( c, c2 ) , a, b, c 互不相等, 则 kAB = a2 − b2 a− b = a + b, kBC = b2 − c2 b− c = b+ c, kAC = a2 − c2 a− c = a+ c. 如图,不妨设 kAB = √ 2,且直线 AB 的倾斜角为 α . 因为△ABC 是等边三角形,所以 kBC = tan ( α + π 3 ) , kAC = tan ( α− π 3 ) , 所以 a + b + c = 1 2 (kAB + kBC + kAC) = 1 2 [√ 2 + tan ( α + π 3 ) + tan ( α− π 3 )] = √ 2 2 + 1 2 × tanα + tan π 3 1− tanα tan π 3 + 1 2 × tanα− tan π 3 1 + tanα tan π 3 = √ 2 2 + 1 2 × √ 2 + √ 3 1− √ 6 + 1 2 × √ 2− √ 3 1 + √ 6 = −3 √ 2 10 . 故△ABC 的三个顶点的横坐标之和为 −3 √ 2 10 . 5 北师大版选择性必修第一册第一章 圆与直线 第一课时 1.1.1一次函数的图象与直线的方程 直线的倾斜角、斜率及其关系 知识点 对直线的倾斜角和斜率的理解 1. 下列说法中正确的是 ( ) A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角 B. 任意一条直线都有唯一的斜率 C. 若直线的倾斜角为 0,则该直线与 轴重合 D. 若直线的倾斜角为 ,则 2.(多选) 若直线 的斜率 ,且过点(3,2),则直线 经过点 ( ) A.(0,4) B.(4,0) C.(6, - 4) D.(-2,1) 3. 过 两个不同点的直线的斜率为 1,则 ( ) A. 1 或 -1 B. 1 C. -1 D. 0 4. 已知 ,一次函数图象过三点 ,则 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若直线 与 轴交于点 ,其倾斜角为 ,直线 绕点 顺时针旋转 后得到直线 ,则直线 的倾斜角为_____. 6. 若将直线 沿 轴正方向平移 2 个单位长度,再沿 轴负方向平移 3 个单位长度,又回到了原来的位置,则 的斜率是_____. 知识点 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 7. 直线 经过两点 ,直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的 2 倍,则 的斜率为 ( ) A. B. C. D. 8. 已知直线 的倾斜角为 ,则该直线的一个方向向量为 ( ) A. B. C. D. 9. 如图,直线 的斜率分别为 ,则 ( ) A. B. C. D. 10. (多选) 若直线 的斜率为 ,则直线 的倾斜角可能为 ( ) A. B. C. D. 11. 若经过 和 的直线的倾斜角为钝角,则实数 的取值范围为_____. 12. 如图,在菱形 中, ,求对角线 与 所在直线的斜率 . 13. 已知平面直角坐标系中的三点 ,经过其中任意两点的直线中倾斜角最大的直线的斜率为 ( ) A. 2 B. -1 C. D. 14. 若直线 的一个方向向量是 ,则直线 的倾斜角 的取值范围是 A. B. C. D. 15. 若直线 过点 ,且倾斜角 的取值范围是 ,则实数 的取值范围是 ( ) A.(0,2) B.(0,4) C. D. 16. 已知点 ,直线 过点 且与线段 有公共点,则直线 的斜率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 变式: 已知点 ,若点 在线段 (包括端点) 上移动,则 的取值范围是_____. 17. 已知函数 ,且 ,则 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 18. 已知直线 的斜率分别是 ,倾斜角分别是 ,且 ,则下列关系可能正确的是 ( ) A. B. C. D. 19. 福建省宁德市保留着五十多座存世几十年甚至数百年的木拱廊桥 (如图 1), 堪称木拱廊桥的宝库. 图 2 是某木拱廊桥的剖面图, 是拱骨, 是相等的步,相邻的拱步之比分别为 ,若 ,且直线 的斜率为 0.565,则 _____. 20. 已知正三角形 的三个顶点均在曲线 上,其中一条边所在直线的斜率为 ,求 的三个顶点的横坐标之和. 学科网（北京）股份有限公司 $$北师大版选择性必修第一册 1.1.1一次函数的图象与直线的方程 直线的倾斜角、斜率及其关系 知识点1 )对直线的倾斜角和斜率的理解 1.下列说法中正确的是 ( ) A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角 B. 任意一条直线都有唯一的斜率 C. 若直线的倾斜角为 0,则该直线与 x轴重合 D. 若直线的倾斜角为 α,则 sinα ∈ (0, 1) 2.(多选)若直线 l的斜率 k = −2,且过点 (3, 2),则直线 l经过点 ( ) A. (0, 4) B. (4, 0) C. (6,−4) D. (−2, 1) 3.过 A(3m− 1, 3m− 2) , B ( 2m2,m2 ) 两个不同点的直线的斜率为 1,则m = ( ) A. 1或 −1 B. 1 C. −1 D. 0 4.已知 a > 0,一次函数图象过三点 A (0,−a) , B ( 1, a2 ) , C ( 3, 2a3 ) ,则 a = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.若直线 l与 x轴交于点 A,其倾斜角为 α,直线 l绕点 A顺时针旋转 π 4 后得到直线 l1,则直线 l1的倾斜角为 . 6.若将直线 l沿 x轴正方向平移 2个单位长度,再沿 y 轴负方向平移 3个单位长度,又回到了 原来的位置,则 l的斜率是 . 知识点2 )直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 7.直线 l1 经过两点 A (0, 0) , B ( 1, √ 3 ) ,直线 l1 的倾斜角是直线 l2 的倾斜角的 2倍,则 l2 的斜 率为 ( ) A. √ 3 2 B. √ 3 3 C. √ 3 D. − √ 3 8.已知直线 l的倾斜角为 5π 6 ,则该直线的一个方向向量为 ( ) A. ( 1, √ 3 ) B. ( −1, √ 3 ) C. ( 3,− √ 3 ) D. ( 3, √ 3 ) 9.如图,直线 l1, l2, l3, l4的斜率分别为 k1, k2, k3, k4,则 ( ) A. k4 < k3 < k2 < k1 B. k3 < k4 < k2 < k1 C. k4 < k3 < k1 < k2 D. k3 < k4 < k1 < k2 1 10.(多选)若直线 l的斜率为m2 − √ 3 (m ∈ R),则直线 l的倾斜角可能为 ( ) A. 4π 9 B. 5π 9 C. 2π 3 D. 7π 9 11.若经过A (1− a, 1 + a)和B (3, a)的直线的倾斜角为钝角,则实数 a的取值范围为 . 12.如图,在菱形 ABCD中, ∠ADC = 120◦,求对角线 AC 与 BD所在直线的斜率 kAC , kBD. 13.已知平面直角坐标系中的三点 A (1, 1), B (2, 3), C (4,−2),经过其中任意两点的直线中倾斜 角最大的直线的斜率为 ( ) A. 2 B. −1 C. 4 3 D. −5 2 14.若直线 l的一个方向向量是 n = (2, 2 cos θ),则直线 l的倾斜角 α的取值范围是 ( ) A. [ 0, π 4 ] B. [ π 4 , 3π 4 ] C. [ 0, π 4 ] ∪ [ 3π 4 , π ] D. [ 0, π 4 ] ∪ [ 3π 4 , π ] 15.若直线 l过点 A (2, 1), B (m, 3),且倾斜角 α的取值范围是 ( π 4 , 3π 4 ) ,则实数m的取值范围 是 ( ) A. (0, 2) B. (0, 4) C. [2, 4) D. (0, 2) ∪ (2, 4) 16.已知点 A (0, 3), B (3, 2),直线 l 过点 P (1, 1)且与线段 AB 有公共点,则直线 l 的斜率的取 值范围是 ( ) A. [−2, 0) ∪ ( 0, 1 2 ] B. ( −∞,−1 2 ] ∪ [2,+∞) C. [ −2, 1 2 ] D. (−∞,−2] ∪ [ 1 2 ,+∞ ) 变式:已知点 A (3, 2), B ( −2, 1 2 ) ,若点 C (x, y)在线段 AB (包括端点)上移动,则 x− 1的取值 范围是 . 17.已知函数 f (x) = 2x,且 a < b < c < 0,则 f (a) a− 1 , f (b) b− 1 , f (c) c− 1 的大小关系为 ( ) A. f (a) a− 1 > f (b) b− 1 > f (c) c− 1 B. f (b) b− 1 > f (a) a− 1 > f (c) c− 1 C. f (c) c− 1 > f (a) a− 1 > f (b) b− 1 D. f (c) c− 1 > f (b) b− 1 > f (a) a− 1 18.已知直线 l1, l2, l3的斜率分别是 k1, k2, k3,倾斜角分别是 α, β, γ,且 α < β < γ,则下列关系 可能正确的是 ( ) A. k1 < k2 < k3 B. k3 < k1 < k2 C. k3 < k2 < k1 D. k2 < k3 < k1 19.福建省宁德市保留着五十多座存世几十年甚至数百年的木拱廊桥 (如图 1),堪称木拱廊桥 的宝库. 图 2 是某木拱廊桥的剖面图,AA1, BB1, CC1, DD1 是拱骨,OD1, DC1, CB1, BA1 是 2 相等的步, 相邻的拱步之比分别为 |DD1| |OD1| = 1, |CC1| |DC1| = k1, |BB1| |CB1| = k2, |AA1| |BA1| = k3, 若 k2 − k1 = k3 − k2,且直线 OA的斜率为 0.565,则 k2 = . 20.已知正三角形 ABC 的三个顶点均在曲线 y = x2上,其中一条边所在直线的斜率为 √ 2,求 △ABC 的三个顶点的横坐标之和. 3