精品解析：四川省广安市广安区景山学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

初2023级2025年春学生知识能力测试（义务教育阶段）数学试卷 本试卷分为选择题和非选择题部分． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么这个根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、原式，故A符合题意． B、原式，故B不符合题意． C、原式，故C不符合题意． D、原式，故D不符合题意． 故选：A 3. 已知x是正整数，是整数，则x的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，对原式变形得解． 【详解】解： ∴． 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 4. 若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 【答案】D 【解析】 【分析】首先得出的取值范围，进而得出两个整数的值． 【详解】解：， ∴， ∴， 这两个整数是：4和5． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 5. 有下列各组数：①6，8，；②，，；③，，1；④，，；⑤，，．其中勾股数有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股数的概念即：能够构成直角三角形三边的正整数，满足． 【详解】解： ，故①是勾股数； ，故②不是勾股数； 、不是正整数，故③不是勾股数； ，故④是勾股数； ，，不是正整数，故⑤不是勾股数； 所以勾股数有①、④，共2组， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股数的定义；掌握勾股数是正整数且满足是解题的关键． 6. 下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可． 【详解】解：、，是直角三角形，故能判定是直角三角形； 、，，故能判定是直角三角形； 、，，故能判定是直角三角形； 、，不是直角三角形，故不能判定是直角三角形； 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 7. 在中，，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°， ∴BC=AB=6， 由勾股定理得，AC=， 故选：D． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 8. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出b＜0＜1＜a，进而化简求出即可． 【详解】解：由数轴可得： b＜0＜1＜a， 则原式=a-b． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的符号是解题关键． 9. 若，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件确定，y的值，代入求值即可． 【详解】由二次根式有意义的条件，得， 解得， 当时，， ∴， 故选：C． 10. 如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C之间的最短距离为线段AC的长． 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3， AD为底面半圆弧长，AD=π， ∴AC=， 故选C． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 12. 命题“如果，那么”的逆命题是________________________． 【答案】“如果，那么” 【解析】 【分析】本题考查逆命题知识点，解题的关键是准确判断出命题的条件和结论；对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 【详解】题干中原命题条件为：，结论是； 则对应的逆命题条件为：，结论是 “如果，那么|”的逆命题是如果，那么．． 故答案为：“如果，那么” 13. Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9,BC=12，则斜边上的高为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理算出斜边，然后利用三角形面积算出斜边上的高 【详解】Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=12， 所以斜边AC=15， ∴SRt△ABC =AB·BC=54 所以斜边上的高为 故填 【点睛】本题考查勾股定理以及三角形的面积公式，属于简单题型 14. 如图所示，一棵高的树被风刮断了，树顶落在离树根处，则折断处的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，由题意得，，，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图：∵，，， 在中，， 设，则， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 15. 如图，一根长16cm的牙刷置于底面直径为6cm、高8cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是_____． 【答案】6≤h≤8． 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝16﹣8＝8cm． 当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小， 如图所示：此时，AB＝cm， 故h＝16﹣10＝6cm． 故h的取值范围是6≤h≤8． 故答案是：6≤h≤8． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16. 如图，中，，，，在同侧分别以，为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，勾股定理，阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差是解题的关键；由勾股定理得，根据等于以为直径的半圆面积和加上直角三角形的面积再减去以为直径的半圆面积，即可求得结果． 【详解】解：由勾股定理得：； 即 以为直径的半圆面积以为直径的半圆面积以为直径的半圆面积 ； 故答案为：24． 三、计算题：本大题共3小题，共18分． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式就可以求出结论； （2）先化简各二次根式、将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减和二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 18. 计算： （1）；  （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，进行二次根式的乘除运算，合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）直接利用平方差公式计算； （2）利用完全平方公式计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式乘除运算法则，按照从左到右的顺序，进行计算即可得到结论； （2）根据平方差公式，再根据实数运算法则求解即可得出结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查二次根式的运算，涉及到二次根式的加减乘除相关运算法则及平方差公式，熟练掌握相关运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 四、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 若最简二次根式和是同类二次根式，求的值． 【答案】7 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴3x-10=2，2x+y-5=x-3y+11， 即 解得：． ∴． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同．这样的二次根式叫做同类二次根式． 21. （1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，分式混合运算法则． （1）先根据整式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可； （2）先根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式． （2）解： ， 当，时，原式． 22. 已知：，，分别求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1）12；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握运算法则及乘法公式． 23. 如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）求△ABC的周长； （2）求证：∠ABC=90°． 【答案】（1）△ABC的周长3+5； （2）证明：∵AC2=25，AB2=20，BC2=5， ∴AC2=AB2+BC2， ∴∠ABC=90°． 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长． （2）运用勾股定理的逆定理求得AC2=AB2+BC2，得出∠ABC=90°． 【详解】解：（1）AB==2，BC==，AC==5， △ABC的周长=2++5=3+5， （2）略 【点睛】考点：勾股定理． 24. 某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求长方形绿地的周长； （2）除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 【答案】（1）米 （2）3080元 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【小问1详解】 解：(米）， ∴长方形的周长为米． 【小问2详解】 解：(平方米)， 则(元)， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费3080元． 25. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能灵活运用是解题的关键； 在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理说明是直角三角形，最后求四边形的面积． 【详解】，，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 四边形的面积． 26. 如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港． （1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）； （2）确定C港在A港的什么方向． 【答案】（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上． 【解析】 【分析】（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1. （2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，所而确定C港在A港的什么方向. 【详解】（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°． ∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1． 答：A、C两地之间的距离为14.1km． （2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°， ∴C港在A港北偏东15°的方向上． 【点睛】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键. 27. 如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 【答案】25cm 【解析】 【分析】小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，得出BC=AC，由勾股定理可求得BC的长． 【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC=CA，设AC为x，则OC=45﹣x， 由勾股定理可知OB2+OC2=BC2， 又∵OA=45，OB=15， 把它代入关系式152+（45﹣x）2=x2， 解方程得出x=25（cm）． 答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用． 28. △ABC中，BC=5，以AC为边向外作等边△ACD． （1）如图①△ABE是等边三角形，若把AC=4，∠ACB=30°，求CE的长． （2）如图②若∠ABC=60°,AB=3，求BD的长． 【答案】（1）CE = （2）BD=7 【解析】 【分析】对于（1），在△AEC和△ABD中，由SAS即可证明△AEC≌△ABD，由全等三角形的性质可得CE=BD，接下来可由∠ACD=60°，∠ACB=30°，证得∠BCD=90°，故在Rt△BCD中利用勾股定理即可得到BD，即CE的长； 对于（2），先在图②中以AB为边在△ABC外作等边△ABE，作EF⊥BC于F，由（1）得CE=BD；接下来根据等边三角形的性质可得AB=BE，由含30度角的直角三角形的性质可得BF= BE=，EF=BF=，进而由BD=CE= =，经过计算即可得到答案. 【详解】（1）∵∠BAE=∠CDB， ∴∠BAE+∠BAC=∠CDB+∠BAC，即∠BAD=∠EAC. ∵在△AEC和△ABD中，AE=AB，∠BAD=∠EAC，AC=AD， ∴△AEC≌△ABD. ∴CE=BD. 又∵∠ACD=60°，∠ACB=30°， ∴∠BCD=90°. ∴CE=BD===. （2）如图，以AB为边在△ABC外作等边△ABE，作EF⊥BC于F， 由（1）得，△AEC≌△ABD， ∴CE=BD. ∵∠ABC=60°，AB=3，AB=BE, ∴∠EBF=60°. ∴∠EBF=30°. ∴BF=BE=，EF=BF=， ∴BD=CE= = = =7. 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质、勾股定理和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理和等边三角形的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2023级2025年春学生知识能力测试（义务教育阶段）数学试卷 本试卷分为选择题和非选择题部分． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x是正整数，是整数，则x的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 5. 有下列各组数：①6，8，；②，，；③，，1；④，，；⑤，，．其中勾股数有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 6. 下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 7. 在中，，，，则（　　） A. B. C. D. 8. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）． A. B. C. D. 9. 若，则的值为（    ） A. B. C. D. 10. 如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 命题“如果，那么”的逆命题是________________________． 13. Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9,BC=12，则斜边上的高为________． 14. 如图所示，一棵高的树被风刮断了，树顶落在离树根处，则折断处的高度为_____． 15. 如图，一根长16cm的牙刷置于底面直径为6cm、高8cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是_____． 16. 如图，中，，，，在同侧分别以，为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为______． 三、计算题：本大题共3小题，共18分． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）；  （2）． 19. 计算： （1）； （2）． 四、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 若最简二次根式和是同类二次根式，求的值． 21. （1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 22. 已知：，，分别求下列代数式的值： （1） （2） 23. 如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）求△ABC的周长； （2）求证：∠ABC=90°． 24. 某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求长方形绿地的周长； （2）除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 25. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 26. 如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港． （1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）； （2）确定C港在A港的什么方向． 27. 如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 28. △ABC中，BC=5，以AC为边向外作等边△ACD． （1）如图①△ABE是等边三角形，若把AC=4，∠ACB=30°，求CE的长． （2）如图②若∠ABC=60°,AB=3，求BD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $