重庆市北碚区朝阳中学2023-2024学年下学期八年级期末数学试卷

重庆市北碚区朝阳中学2023-2024学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（4分）分式的最简公分母是　　 A． B． C． D． 3．（4分）如图，在 中，，则的度数是　　 A． B． C． D． 4．（4分）点关于轴的对称点的坐标是　　 A． B． C． D． 5．（4分）甲、乙、丙、丁四名运动员进行射击训练，四人的训练成绩的平均数及方差如表所示，根据表中数据，要从中选出一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的是　　 甲 乙 丙 丁 9.5 9.5 9.3 9.3 0.4 2.1 0.4 2.1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（4分）如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，，则矩形的周长为　　 A．22 B．28 C．44 D．56 7．（4分）下列说法正确的是　　 A．一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 8．（4分）观察下列图形，其中第①个图形由4根小棒搭成，第②个图形由7根小棒搭成，第③个图形由10根小棒搭成，第④个图形由13根小棒搭成，，按此规律排列下去，则第⑩个图形的小棒数量是　　 A．28 B．31 C．37 D．34 9．（4分）如图，点是正方形的对角线上的一点，交于点，若，，则的长是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（4分）对于一次函数，为常数）与反比例函数，若，则称函数与互为“同函数”，下列结论： ①若函数与互为“同函数”，则函数与函数一定相交； ②若函数与互为“同函数”，当时，两函数图象的交点是，； ③若函数与互为“同函数”，当两函数图象交点横坐标为2时，函数过定点，． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．（4分）计算：　　 ． 12．（4分）如图，在矩形中，点在边上，若，，则 　　 ． 13．（4分）点和点都在反比例函数上，则　　 ． 14．（4分）若一次函数的图象不经过第二象限，则　　 0．（用“、、、”填空） 15．（4分）如图，正方形和正方形，点为正方形对角线的中点，，则图中的阴影部分面积为 　　 ． 16．（4分）已知一次函数是常数），随的增大而减小，关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为　　 ． 17．（4分）如图，将矩形纸片沿、折叠，折叠后点和点恰好重合在点处，，则　　 ． 18．（4分）一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，如果千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，且都等于10，那么称为“合十数”，例如：，因为，则2738是“合十数”，则最大的“合十数”是　　 ；将“合十数” 的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换得到一个新的四位数，记，若是完全平方数，则满足条件的最小“合十数” 为　　 ． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19．（8分）计算： （1）； （2）． 20．（10分）在学习完平行四边形后，喜欢思考的小明想进一步探究行四边形对角的角平分线的位置关系，他的思路是：在中，先作出和的角平分线，通过角的等量关系得到同位角相等，从而发现它们的位置关系． 请根据小明的思路完成以下作图和填空： 已知：如图，在中，平分． （1）用直尺和圆规完成基本作图，作的角平分线，与交于点．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 证明：四边形是平行四边形， ， 平分， 　　 ， 平分， 　　 ， ， ， 　　 ， 　　 ， ． 通过探究，小明发现平行四边形均有此特征，请依照题意完成下面的命题： 平行四边形一组对角的角平分线　　 ． 21．（10分）某校在七、八年级学生中开展“心理健康”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出部分信息： 七年级抽取的10名学生的竞赛成绩： 82，83，85，87，90，92，92，93，96，97． 八年级抽取的10名学生的竞赛成绩在组中的数据是： 91，92，93，94． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89.7 91 八年级 89.7 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出，，的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八两个年级中，哪个年级学生知识竞赛成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若将平均数、中位数、众数依次按照的权重计算七、八两个年级的成绩，哪个年级成绩高？ 22．（10分）小明同学参加折纸兴趣小组，需要购买一批卡纸，现有型和型两种卡纸，已知一包型卡纸的价格比一包型卡纸的价格贵2元，花费60元购进型卡纸的数量是用同样金额购买型卡纸的数量的1.5倍． （1）求、两种型号的卡纸的单价； （2）若小明需要购买、两种型号的卡纸共30包，总费用不超过150元，那么小明至多购买多少包型卡纸？ 23．（10分）如图，在中，对角线的垂直平分线交、、于点、、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若四边形的面积为20，，求线段的长． 24．（10分）如图1，在△中，，，，为边中点，点从点出发，沿运动到点后停止，连接，构成△，设点的运动路程为，△的面积为． （1）求关于的函数关系式，并写出对应的取值范围； （2）在图2中画出（1）中的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当△面积大于2时的取值范围．（结果精确到 25．（10分）如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于和两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如图，点是轴上一动点，连接，，当△的面积为6时，求点的坐标； （3）将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数，点是新的一次函数与轴的交点，点是轴上一动点，请直接写出取最小值时点的坐标． 26．（10分）如图，四边形为正方形，为四边形所在平面内一点，绕点逆时针旋转至． （1）如图1，若、、三点在同一直线上，，求的度数； （2）如图2，若恰好经过点，，证明：； （3）如图3，若点在直线上运动，，请直接写出的最小值． 重庆市北碚区朝阳中学2023-2024学年下学期八年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A A D D B B C 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分母不为0可得：，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：， ， 故选：． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0是解题的关键． 2．（4分）分式的最简公分母是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可得出答案． 【解答】解：分式的最简公分母是：， 故选：． 【点评】此题考查了最简公分母，解题的关键要掌握确定最简公分母的方法． 3．（4分）如图，在 中，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】由平行四边形的性质可得． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 4．（4分）点关于轴的对称点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，掌握好对称点的坐标规律是关键． 5．（4分）甲、乙、丙、丁四名运动员进行射击训练，四人的训练成绩的平均数及方差如表所示，根据表中数据，要从中选出一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的是　　 甲 乙 丙 丁 9.5 9.5 9.3 9.3 0.4 2.1 0.4 2.1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】由平均数与方差的含义可得答案． 【解答】解：由表知甲、乙射击成绩的平均数相等，且大于丙、丁的平均数， 从甲、乙中选择一人参加竞赛， 甲的方差比乙小，成绩更稳定， 选择甲参加比赛， 故选：． 【点评】本题考查的是方差和算术平均数，根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键． 6．（4分）如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，，则矩形的周长为　　 A．22 B．28 C．44 D．56 【分析】根据矩形性质得，，则矩形的周长为，进而得，再由勾股定理求出，进而即可得出矩形的周长． 【解答】解：四边形是矩形，且，， ，，，， 矩形的周长为：， 在△中，， 由勾股定理得：． ， 矩形的周长为56． 故选：． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 7．（4分）下列说法正确的是　　 A．一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：、一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； 、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； 、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； 、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的判断，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 8．（4分）观察下列图形，其中第①个图形由4根小棒搭成，第②个图形由7根小棒搭成，第③个图形由10根小棒搭成，第④个图形由13根小棒搭成，，按此规律排列下去，则第⑩个图形的小棒数量是　　 A．28 B．31 C．37 D．34 【分析】根据所给图形，依次求出所需小棒的根数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图形的小棒根数为：； 第②个图形的小棒根数为：； 第③个图形的小棒根数为：； ， 所以第个图形的小棒根数为根． 当时， （根， 即第⑩个图形的小棒根数为31根． 故选：． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需小棒根数的变化规律是解题的关键． 9．（4分）如图，点是正方形的对角线上的一点，交于点，若，，则的长是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】过点作直线于点，交于点，证明四边形是矩形得，，证明△是等腰直角三角形得，进而得，由此可判定△和△全等，则，再由勾股定理求出，则，然后再由勾股定理求出，则，据此即可得出的长． 【解答】解：过点作直线于点，交于点，如图所示： ， 四边形是正方形， ，，， ， 四边形是矩形， ，，， ，， △是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 又 ， 在△和△中， ， △△， ， 在等腰△中，， 由勾股定理得：， ， ， ， 在△中，，， 由勾股定理得：， ， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． 10．（4分）对于一次函数，为常数）与反比例函数，若，则称函数与互为“同函数”，下列结论： ①若函数与互为“同函数”，则函数与函数一定相交； ②若函数与互为“同函数”，当时，两函数图象的交点是，； ③若函数与互为“同函数”，当两函数图象交点横坐标为2时，函数过定点，． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据“同函数”的定义，结合一次函数与反比例函数的性质，对三个结论逐一进行分析判断． 【解答】解：①若函数与互为“同函数”，则，， 令，整理得， △， 函数与函数一定相交， ①正确； ②若函数与互为“同函数”，当时，则，， 令，整理得， ， ， ， 两函数图象的交点是，， ②正确； ③若函数与互为“同函数”，当两函数图象交点横坐标为2时，则交点为， 把代入得，， ， ， ， 函数过定点，． ③错误． 故选：． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了是否有交点的判断以及交点的求法，一次函数图象上点的坐标特征，明确函数与方程的关系是解题的关键． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．（4分）计算：　　 ． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．（4分）如图，在矩形中，点在边上，若，，则 　．　 ． 【分析】根据矩形性质得，，进而得，再根据得，然后再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【解答】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 在△中，， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 13．（4分）点和点都在反比例函数上，则　　 ． 【分析】直接把点和点都在反比例函数解析式即可得出结论． 【解答】解：点和点都在反比例函数上， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 14．（4分）若一次函数的图象不经过第二象限，则　　 0．（用“、、、”填空） 【分析】依据题意，由所给一次函数图象经过的象限，得出，的正负，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，一次函数图象不经过第二象限， 一次函数必过第一、三象限．，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 15．（4分）如图，正方形和正方形，点为正方形对角线的中点，，则图中的阴影部分面积为 　1　 ． 【分析】过点作于点，根据正方形性质得，，进而得，，证明是△的中位线，，再由三角形的面积公式分别求出，，继而可得图中的阴影部分面积． 【解答】解：过点作于点，如图所示： ， ，， 四边形和四边形都是正方形， ，，， ，，， ， ， 点为的中点， 是△的中位线， ，， ，， ． 即图中的阴影部分面积为1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式是解决问题的关键． 16．（4分）已知一次函数是常数），随的增大而减小，关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为　5　 ． 【分析】根据一次函数是常数），随的增大而减小，可以求得的取值范围，再根据关于的分式方程的解为非负整数，可以求得的值，然后计算所有满足条件的整数的值之积即可． 【解答】解：一次函数是常数），随的增大而减小， ， 解得， 由方程可得， 分式方程的解为非负整数， 且，是整数， 解得或，1， 所有满足条件的整数的值之积为：， 故答案为：5． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、分式方程的解，解答本题的关键是明确一次函数的性质和解分式方程的方法． 17．（4分）如图，将矩形纸片沿、折叠，折叠后点和点恰好重合在点处，，则　　 ． 【分析】由矩形的性质得，，由折叠得，，，，，，则，所以，推导出，可证明△△，得，则，而，所以，，则，求得，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是矩形， ，， 由折叠得，，，，，， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ，， △是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出△△，进而证明△是等边三角形是解题的关键． 18．（4分）一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，如果千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，且都等于10，那么称为“合十数”，例如：，因为，则2738是“合十数”，则最大的“合十数”是　9911　 ；将“合十数” 的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换得到一个新的四位数，记，若是完全平方数，则满足条件的最小“合十数” 为　　 ． 【分析】求解最大的“合十数”，要使四位数最大，尽可能使千位数字最大，根据“合十数”的定义，确定其他位上的数字；求解满足条件的最小“合十数”，根据题意，将“合十数” 的千位与十位数字交换，百位数字与个位数字交换得到一个新的四位数，计算 ，并使其为完全平方数，通过代数式表示和，化简的表达式，分析的表达式，找到满足条件的最小“合十数” ． 【解答】解：是一个合十数， ，， 最大的合十数是9911； 设的， ， ， ，， ， 要使为完全平方数，则需为完全平方数， ，， ， 所以只能取0或1或4， 当时，则， 为使最小，应该使千位数字最小，即， 则，，， 得到， 当时，则， 为使最小，应该使千位数字最小，即， 则，，， 得到， 当时，则， 为使最小，应该使千位数字最小，即， 则，，， 得到， 满足题意最小为1919， 故答案为：9911；1919． 【点评】本题是一道新定义类型题，主要涉及考查因式分解的应用，准确理解“合十数”的定义是本题的关键． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用单项式乘多项式，完全平方公式进行计算，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．（10分）在学习完平行四边形后，喜欢思考的小明想进一步探究行四边形对角的角平分线的位置关系，他的思路是：在中，先作出和的角平分线，通过角的等量关系得到同位角相等，从而发现它们的位置关系． 请根据小明的思路完成以下作图和填空： 已知：如图，在中，平分． （1）用直尺和圆规完成基本作图，作的角平分线，与交于点．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 证明：四边形是平行四边形， ， 平分， 　①　 ， 平分， 　　 ， ， ， 　　 ， 　　 ， ． 通过探究，小明发现平行四边形均有此特征，请依照题意完成下面的命题： 平行四边形一组对角的角平分线　　 ． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据平行线的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 通过探究，小明发现平行四边形均有此特征，请依照题意完成下面的命题： 平行四边形一组对角的角平分线互相平行， 故答案为：，，，，互相平行． 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（10分）某校在七、八年级学生中开展“心理健康”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出部分信息： 七年级抽取的10名学生的竞赛成绩： 82，83，85，87，90，92，92，93，96，97． 八年级抽取的10名学生的竞赛成绩在组中的数据是： 91，92，93，94． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89.7 91 八年级 89.7 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出，，的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八两个年级中，哪个年级学生知识竞赛成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若将平均数、中位数、众数依次按照的权重计算七、八两个年级的成绩，哪个年级成绩高？ 【分析】（1）用整体1减去其它所占的百分比即可求出，根据中位数和众数的定义即可得到结论； （2）根据平均数、中位数和众数的意义解答即可； （3）利用加权平均数公式求解可得答案． 【解答】解：（1）由题意得：，即， 八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数， ， 在七年级10名学生的竞赛成绩中92出现的次数最多， ； （2）八年级学生竞赛成绩较好， 理由：虽然七、八年级的平均分均为89.7分，但八年级的中位数高于七年级，所以八年级学生竞赛成绩较好．（答案不唯一）； （3）若将平均数、中位数、众数依次按照的权重计算，则： 七年级的成绩为：（分； 八年级的成绩为：（分； ， 七年级成绩高． 【点评】本题考查频数分布表、扇形统计图、中位数、众数、平均数和方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22．（10分）小明同学参加折纸兴趣小组，需要购买一批卡纸，现有型和型两种卡纸，已知一包型卡纸的价格比一包型卡纸的价格贵2元，花费60元购进型卡纸的数量是用同样金额购买型卡纸的数量的1.5倍． （1）求、两种型号的卡纸的单价； （2）若小明需要购买、两种型号的卡纸共30包，总费用不超过150元，那么小明至多购买多少包型卡纸？ 【分析】（1）设型卡纸的单价是元，则型卡纸的单价是元，利用数量总价单价，结合花费60元购进型卡纸的数量是用同样金额购买型卡纸的数量的1.5倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即型卡纸的单价），再将其代入中，即可求出型卡纸的单价； （2）设购买包型卡纸，则购买包型卡纸，利用总价单价数量，结合总价不超过150元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设型卡纸的单价是元，则型卡纸的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元． 答：型卡纸的单价是6元，型卡纸的单价是4元； （2）设购买包型卡纸，则购买包型卡纸， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为15． 答：小明至多购买15包型卡纸． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 23．（10分）如图，在中，对角线的垂直平分线交、、于点、、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若四边形的面积为20，，求线段的长． 【分析】（1）证明△△，得，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，则，，再由勾股定理求出的长即可． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ，， 在△和△中， ， △△， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形为菱形，面积为20，， ，，， ， ， 在△中，由勾股定理得：， 即线段的长为． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 24．（10分）如图1，在△中，，，，为边中点，点从点出发，沿运动到点后停止，连接，构成△，设点的运动路程为，△的面积为． （1）求关于的函数关系式，并写出对应的取值范围； （2）在图2中画出（1）中的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当△面积大于2时的取值范围．（结果精确到 【分析】（1）当点在上运动时，则，即可求解；当点在上运动时，同理可得：，进而求解； （2）当时，；当时，；当时，，将上述3个点描点连线绘制函数图象，进而求解； （3）将代入得出，进一步分析即可． 【解答】解：（1）过点作于点，如图， 在△中，，，则， 则，． 当点在上运动时， 则； 当点在上运动时， 同理可得：， 即； （2）当时，； 当时，； 当时，， 将上述3个点描点连线绘制函数图象如下： 从图象看，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）将代入，得，． 所以△面积大于2时的取值范围为：． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质、三角形的面积等知识点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 25．（10分）如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于和两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如图，点是轴上一动点，连接，，当△的面积为6时，求点的坐标； （3）将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数，点是新的一次函数与轴的交点，点是轴上一动点，请直接写出取最小值时点的坐标． 【分析】（1）将点和代入反比例函数可得、的值，再将点、的坐标代入一次函数解析式可得答案； （2）根据求得，进一步求得的坐标； （3）先求出点，作点关于轴的对称的，则点，连接交轴于，此时为最小，最小值为线段的长，可根据待定系数法求得直线的解析式，进而求得的坐标． 【解答】解：（1）点和都在反比例函数的图象上， ， ， ，， 将点，和代入得， ， ， ， 反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2）令，则，解得， 令，则， ，，， ， ， ， 或； （3）将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数， 点是新的一次函数与轴的交点， ， 作点关于轴的对称的，则点，连接交轴于，此时为最小， 设直线的解析式为， 代入，得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ，． 【点评】此题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，轴对称最短路线问题等，解答（1）的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，解答（3）的关键利用轴对称求最短路线． 26．（10分）如图，四边形为正方形，为四边形所在平面内一点，绕点逆时针旋转至． （1）如图1，若、、三点在同一直线上，，求的度数； （2）如图2，若恰好经过点，，证明：； （3）如图3，若点在直线上运动，，请直接写出的最小值． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，可求，，即可求解； （2）由可证△△，可得，即可求解； （3）作直线于，在的延长线上截取，连接，，由题意可得当点，点，点三点共线，的最小值为的长，由勾股定理可求解． 【解答】（1）解：如图，延长，交于点， ， ， ， ， 绕点逆时针旋转至， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：绕点逆时针旋转至， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， △△， ， ； （3）解：连接， 由（2）可知：△△， ，， ， 作直线于，在的延长线上截取，连接，， ， ， 当点，点，点三点共线，的最小值为的长， ， ， 又，， △△， ， ，， ． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$