精品解析：2025年甘肃省兰州市志成中学中考数学二诊试卷

2024-2025学年兰州志成中学九年级第二学期第二次诊断考试数学试卷 试卷说明： 1.本试卷满分120分，考试时长120分钟． 2.答卷前，考生务必先将自己的姓名、考号填涂在答题卡上，试卷所有作答内容直接填写在答题卡的相应位置上（答案填写在试卷上视为无效）． 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年4月23日第30个世界读书日主题“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（ ） A. B. C. D. 3. 在下列各式中，从左到右计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 每年的3月14日为国际数学日（简称IDM），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．兰州志成中学在3月14日举办的第一届数学文化节中策划了“竞速华容道”“玩转魔方”和“巧解九连环”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ）． A. B. C. D. 1 6. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是2015﹣2023年我国主要可再生能源发电装机容量（亿千瓦）统计图． 根据上述信息，下列推断合理的是 （ ） （填写序号）． ①2015﹣2023年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大； ②2015﹣2023年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定； ③2015﹣2023年，我国水电发电装机容量一直高于风电发电装机容量． A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③ 9. 如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 11. 下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 若分式的值为0，则的值是________． 13. 如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是__________.（填一个即可） 14. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为_________. 15. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，且，连接，M，N分别是的中点，连接，若，则的长为__________ 三、解答题（本大题共11小题，共75分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 先化简，再求值：．其中． 18. 解不等式组： 19. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． （1）求和的值； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 20. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 21. 黄河楼位于兰州市七里河区南滨河中路，是弘扬黄河文化的标志性建筑．学完了三角函数知识后，某中学“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量黄河楼的高度，他们把“测量黄河楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量黄河楼的高 测量说明 测量示意图 说明：是高为米的测角仪，在点C处测得楼顶A的仰角，点E处测得此时楼顶A的仰角，（B、F、D三点在同一条直线上） 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 73米 请根据表中的测量数据，求黄河楼的高；（精确到米，参考数据，，，)；  22. 种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基．农科院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：），并对数据（每公顷产量）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．20块试验田每公顷产量的频数分布表如下： 每公顷产量 频数 3 2 6 5 b．试验田每公顷产量在这一组的是：7.55 7.55 7.57 7.58 7.59 7.59 c． 20 块试验田每公顷产量的统计图如下： （1）写出表中的值； （2）随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为______． （3）下列推断合理的是______（填序号）； ①20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量占试验田总数的； ②3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第5名． （4）号试验田使用的是甲种种子，11~20号试验田使用的是乙种种子，已知甲、乙两种种子的每公顷产量的平均数分别为及，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定．据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是______（填“甲”或“乙”）． 23. 如图，四边形是平行四边形，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交、、于点、、．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接，，猜想四边形的形状，并证明你的结论． 解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下： 是的垂直平分线， ，，①______， 又四边形是平行四边形， ②______， ． 在和中， ， ③______， ， 四边形是菱形． 结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与④______． 24. 如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 25. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“合成矩形”．如图为点P，Q的“合成矩形”的示意图． （1）若A点坐标为(2，0)， ①当B点坐标为(5，1)时，点A，B的“合成矩形”的面积是______； ②若点C在y轴上，且点A，C的“合成矩形”为正方形，则直线AC的表达式为______； ③若点P在直线y＝﹣2x＋2上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，求P点的坐标； （2）点O的坐标为(0，0)，点D为直线y＝x＋b(b≠0)上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围． 26. 【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①如图1，求证：； ②如图1，四边形的面积为______；线段，，之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，点O是矩形对角线的中点，点O又是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点O，现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在上，点F在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，请直接写出需要篱笆多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年兰州志成中学九年级第二学期第二次诊断考试数学试卷 试卷说明： 1.本试卷满分120分，考试时长120分钟． 2.答卷前，考生务必先将自己的姓名、考号填涂在答题卡上，试卷所有作答内容直接填写在答题卡的相应位置上（答案填写在试卷上视为无效）． 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年4月23日第30个世界读书日主题“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫作对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 如图，一块含角的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，掌握知识点是解题的关键． 过三角形的角顶点作直线的平行线是解决问题的关键，然后利用两直线平行，内错角相等即可求出． 【详解】解：如图，过三角形的角顶点A作直线n的平行线l， ∵， ∴ ∴,， ∴． 故选A． 3. 在下列各式中，从左到右计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算、完全平方公式、二次根式的性质、分式的加减运算，直接利用二次根式的加减运算法则、完全平方公式、二次根式的性质、分式的加减运算法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项符合题意； C．和，不是同类二次根式无法合并，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意． 故选：B． 4. 每年的3月14日为国际数学日（简称IDM），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．兰州志成中学在3月14日举办的第一届数学文化节中策划了“竞速华容道”“玩转魔方”和“巧解九连环”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转魔方”和“巧解九连环”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种， 小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为， 故选：C． 5. 化简的结果是（ ）． A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算法则．先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简形式． 【详解】解：， 故选：A． 6. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 8. 如图是2015﹣2023年我国主要可再生能源发电装机容量（亿千瓦）统计图． 根据上述信息，下列推断合理的是 （ ） （填写序号）． ①2015﹣2023年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大； ②2015﹣2023年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定； ③2015﹣2023年，我国水电发电装机容量一直高于风电发电装机容量． A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，依据条形统计图中的数据进行判断，即可得出结论． 【详解】解：由统计图可知： 2015-2023年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大， 故①说法正确； 2015-2023年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定， 故②说法正确； 2023年我国水电发电装机容量一直低于风电发电装机容量， 故③说法错误． 所以推断合理的是①②． 故选：C． 9. 如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，根据圆周角定理得到，圆内接四边形的性质，得到，结合，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是内接四边形，是的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 10. 如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连接，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 【详解】解：在正方形中，，， ，，， ， ， 故选：A． 11. 下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义． ①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润（售价进价）销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【详解】解：①，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意； ②，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； ③，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 若分式的值为0，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案． 【详解】∵分式的值为0， ∴x−1＝0，2x≠0 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键． 13. 如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是__________.（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由矩形的判定可得出答案，熟记矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加使得四边形是矩形． 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， 由旋转的性质得，， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴点的运动路径的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转变换，含直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形． 15. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，且，连接，M，N分别是的中点，连接，若，则的长为__________ 【答案】 【解析】 【分析】连接，并延长交于点H，连接，根据得，证明和全等得，进而得，由勾股定理得，再证明是的中位线，然后根据三角形的中位线定理即可得出结果． 此题主要考查了矩形的性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，并延长交于点H，连接，如图所示∶ ∵四边形是矩形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点N是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得∶ ∵点M是的中点，， ∴是的中位线， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共75分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先将每个二次根式化成最简二次根式后再根据二次根式的加减计算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，进行二次根式的加减，一定要将每个二次根式都化成最简二次根式后再合并同类二次根式，这是解决此类问题的关键． 17. 先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 19. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． （1）求和的值； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 【答案】（1）-1；（2）7.5；（3）x＞1或﹣4＜x＜0 【解析】 【分析】（1）把点坐标分别代入反比例函数，一次函数，求出、的值，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可得出答案； （2）求出直线与轴的交点的坐标，分别求出和的面积，然后相加即可； （3）根据、的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】解：（1）把点分别代入反比例函数，一次函数， 得，， 解得，， 点也在反比例函数的图象上， ； （2）如图，设直线与轴的交点为， 当时，， ， ； （3），， 根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，解题的关键是利用数形结合思想求解． 20. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【答案】（1） （2）解：隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶． 【解析】 【分析】本题主要考查了顶点式求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，将实际问题转化为数学问题以及数形结合思想成为解题的关键． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意即可解答． 【小问1详解】 解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴，解得：， ∴． 【小问2详解】 略 21. 黄河楼位于兰州市七里河区南滨河中路，是弘扬黄河文化的标志性建筑．学完了三角函数知识后，某中学“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量黄河楼的高度，他们把“测量黄河楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量黄河楼的高 测量说明 测量示意图 说明：是高为米的测角仪，在点C处测得楼顶A的仰角，点E处测得此时楼顶A的仰角，（B、F、D三点在同一条直线上） 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 73米 请根据表中的测量数据，求黄河楼的高；（精确到米，参考数据，，，)；  【答案】98.2 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，根据题意可得，设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得， 设米， 则米， 在中，， ∴， 在中，， ∴米， ∴， 解得， ∴， ∴ ， 答：黄河楼的高约为98.2米． 22. 种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基．农科院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：），并对数据（每公顷产量）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．20块试验田每公顷产量的频数分布表如下： 每公顷产量 频数 3 2 6 5 b．试验田每公顷产量在这一组的是：7.55 7.55 7.57 7.58 7.59 7.59 c． 20 块试验田每公顷产量的统计图如下： （1）写出表中的值； （2）随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为______． （3）下列推断合理的是______（填序号）； ①20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量占试验田总数的； ②3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第5名． （4）号试验田使用的是甲种种子，11~20号试验田使用的是乙种种子，已知甲、乙两种种子的每公顷产量的平均数分别为及，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小，则认为这种种子的产量越稳定．据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】（1）4 （2）7.55 （3）① （4）乙 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，求中位数，根据方差判断稳定性： （1）运用频数总数减去已知频数即可得出m； （2）根据中位数的定义可求解； （3）从统计图中可得每公顷产量低于的试验田数量有5块，可判断①；3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第4名可判断②． （4）根据图象判断稳定性即可得出结果． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数是这一组的第1个和第2个数据，即：7.55和7.55， 故中位数为：， 故答案为：7.55； 【小问3详解】 解：20块试验田的每公顷产量数据中，每公顷产量低于的试验田数量有5块， 所以，占试验田总数的百分数为，故①正确； 3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第4名，故②错误， 故答案为：① 【小问4详解】 解：从20 块试验田每公顷产量的统计图中可看出甲种种子每公顷产量波动大，乙种种子每公顷产量波动小，据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是乙； 故答案为：乙 23. 如图，四边形是平行四边形，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交、、于点、、．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接，，猜想四边形的形状，并证明你的结论． 解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下： 是的垂直平分线， ，，①______， 又四边形是平行四边形， ②______， ． 在和中， ， ③______， ， 四边形是菱形． 结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与④______． 【答案】（1） 如图, 为所求； （2）；；；对边交点形成的四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质. （1）利用基本作图作AC的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到 ，再证明 得到则 ，于是可判断四边形是菱形. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴直线是的切线． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是关键； （1）连接．证明，，可得，进而得到结论； （2） 先推出，再在中，由，列出比例式即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设的半径为r，则． ∵， ∴． ∵， 在中，． 即． ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得． 25. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“合成矩形”．如图为点P，Q的“合成矩形”的示意图． （1）若A点坐标为(2，0)， ①当B点坐标为(5，1)时，点A，B的“合成矩形”的面积是______； ②若点C在y轴上，且点A，C的“合成矩形”为正方形，则直线AC的表达式为______； ③若点P在直线y＝﹣2x＋2上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，求P点的坐标； （2）点O的坐标为(0，0)，点D为直线y＝x＋b(b≠0)上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围． 【答案】（1）①3；②直线的表达式为或；③点的坐标为， （2）的取值范围为或 【解析】 【分析】(1)①由“合成矩形”的定义求出矩形的边长，再求面积即可； ②根据“合成矩形”的定义先求出点C的坐标，再求直线所在的函数表达式； ③先设出点P的坐标，再分别讨论点P在x轴上方和下方时，根据正方形的性质和点A的坐标求出点P的坐标． (2)分别讨论点D位于x轴上下方时，根据正方形的面积求出正方形的边长，进而得出点D的坐标，再根据根据正方形的面积不小于2得出b的取值范围． 【小问1详解】 ①当B点坐标为(5，1)时， 点A，B的“合成矩形”的边长分别为3、1， 故面积为； ②由于点C在y轴上，且点A，C的“合成矩形”为正方形， 故点C的坐标为或， 设直线AC所在直线的表达式为， 将、或、代入，可得 直线的表达式为或； ③如图，当点在直线上， 设点． 当点在轴上方时， 点，的“合成矩形”为正方形， 则正方形的边长为和，可得方程， 解得， 点的坐标为． 同理可得，当点在轴下方时， 解得 则． 点在直线上，且点，的“合成矩形”为正方形时， 点的坐标为，． 【小问2详解】 点的坐标为， 如图，，的“合成矩形”为正方形时，且点在轴上，点在轴上． 当点在轴的上方， 且正方形面积等于2时， ． ，． 点代入直线得： ． 正方形面积不小于2， 的取值范围为． 同理可得， 当点在轴下方时， 的取值范围为． 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题考查矩形、正方形的性质及阅读理解能力、一次函数解析式的求法，解决本题的关键是正确理解题意、熟悉图形性质． 26. 【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①如图1，求证：； ②如图1，四边形的面积为______；线段，，之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，点O是矩形对角线的中点，点O又是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点O，现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在上，点F在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，请直接写出需要篱笆多少米？ 【答案】 （1）①证明：∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， ∵， ∴； ②；； （2）， 证明：连接，如图所示： ∵O为矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵在中， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①根据证明即可； ②根据，得出，根据，求出结果即可；根据， 得出， 根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论； （2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）取的中点H，连接，过点O作于点G，证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，设，则，，根据，得出，求出结果即可． 【详解】（1）①略 ②∵正方形的边长为1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）取的中点H，连接，过点O作于点G，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，H为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，为等边三角形， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ， ∴， ∴菱形菜园围一圈篱笆，需要篱笆． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $