《1.1勾股定理（二）》导学案 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026学年北师大版八年级数学《1.1探索勾股定理（二）》导学案 ( 一． 学习 目标 1.了解勾股定理的多种证明方法，体会数学中的数形结合思想 ，感受数学文化的魅力，比如了解赵爽弦图、总统证法等证明背后的历史故事和文化意义。 2.熟练掌握用 “ 等面积，两算法 ” 来验证勾股定理，能够自己动手通过拼图（如用四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形等方式）进行勾股定理的证明推导 。 3.能够将勾股定理灵活应用到简单的实际生活问题中，如计算物体长度、距离等，发展数学应用意识。 4.经历勾股定理的验证过程，提升逻辑推理能力和从特殊到一般的归纳总结能力，培养自主探究与合作交流的精神 。 ) ( 二 ．重点难点 1.重点：掌握勾股定理的证明方法；利用勾股定理解决简单实际问题，如在实际场景中构建直角三角形模型，运用勾股定理计算边长。 2.难点：理解勾股定理证明过程中所运用的数学思想，尤其是 “ 算两次 ” （等面积法）的思想；将实际问题准确转化为数学问题并运用勾股定理求解。 ) 三、学习内容 （一）勾股定理回顾 1.回忆勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。 2.思考勾股定理适用的条件，明确只适用于直角三角形，且揭示了直角三角形三边的数量关系。 3.勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。 （二）勾股定理的证明 勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。 方法一：赵爽弦图 1.历史背景：赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在三国时期为证明勾股定理而构造的几何图形。赵爽弦图是对勾股定理最早、最简洁的证明之一，展示了中国古代数学家的卓越智慧和深厚的数学功底，在中国古代数学发展史上具有重要地位，对后世数学研究产生了深远影响。 2.探究赵爽弦图的思路与方法 3.原理：运用图形割补后面积不变的原理，即大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形面积之和。 4.证明：设直角三角形的两条直角边分别为a、b（a>b），斜边为c。每个直角三角形的面积为ab，四个直角三角形面积之和为2ab，中间小正方形的边长为a - b，面积为(a - b)2，大正方形面积为c2，可得2ab+(a - b)2=c2，化简后得到2a+b2=c2，从而证明了勾股定理。 c2＝ab×4＋(b－a)2＝2ab＋a2－2ab＋b2＝a2＋b2. 方法二：毕达哥拉斯的证明 毕达哥拉斯（古希腊数学家）对勾股定理的证明是基于图形面积的等量关系，核心思路是通过构造全等图形，利用面积守恒推导直角三角形三边关系。 证明步骤： （1）.构造图形：以直角三角形的三条边为边长，分别向外作三个正方形，设直角边为a、b，斜边为c，三个正方形的面积分别为a²、b²、c²。 （2）.分割与全等：将以斜边c为边的正方形分割成若干部分，通过几何变换（如平移、旋转）证明：分割后图形的总面积等于以a、b为边的两个正方形面积之和。 （3）.结论推导：由于图形面积不变，因此得出a² + b² = c²，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 c2＝(a＋b)2－ab×4＝a2＋2ab＋b2－2ab＝a2＋b2. 这一证明是西方数学史上对勾股定理的经典论证，奠定了毕达哥拉斯学派在几何学中的重要地位，也使勾股定理在西方常被称为“毕达哥拉斯定理”。 方法三：总统法（总统巧证勾股定理） 美国第20任总统伽菲尔德（James A. Garfield）提出，利用梯形面积公式简洁地证明了勾股定理。 证明步骤： （1）构造图形：取两个全等的直角三角形，设直角边分别为a、b（a < b），斜边为c。再取一个直角边为c的等腰直角三角形，将三个三角形拼成一个直角梯形（上底为a，下底为b，高为a + b）。 （2）计算梯形面积：梯形面积公式为：S梯形= (a + b)(a + b)。  计算三个三角形的总面积：2 ×ab+c2 = ab+c2。 （3）等式推导：梯形面积等于三个三角形面积之和， (a + b)(a + b)=ab+c2 a² + b² = c² 方法四：青朱出入图（无字的证明） 1.历史背景 “青朱出入法”是我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出的证明勾股定理的方法，其核心思想是通过图形的“出入相补”（即分割、移补后面积不变）来验证直角三角形三边关系。 【小结】：勾股定理的证明分两种 第一种类型：等面积 两算法 以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，一图两算来证明代数式之间的恒等关系； 第二种类型：无字证明 以刘徽的“青朱出入图”为代表，“无字证明”。 （三）拓展内容：不同三角形三边平方关系 1.直角三角形：三边满足a2 + b2= c2（c为斜边）。 2.钝角三角形：三边满足a2 + b2＜ c2（c为最长边 ）。 3.锐角三角形：三边满足a2 + b2 ＞ c2（c为最长边 ）。 （四）勾股定理的应用 1.解决几何问题：在已知直角三角形两边的情况下求第三边；判断一个三角形是否为直角三角形（通过三边平方关系判断）。 2.解决实际生活问题：例如计算旗杆高度、梯子靠墙问题、河宽测量（构建直角三角形模型）等 。 例1.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连接CF,此时∠FAC=90°,AB=a,BC=b, AC=c.请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理:a2+b2=c2. 例2.将两个全等的直角△ABC与直角△DAE按如图方式摆放,∠ACB=∠DEA=90°, BC=AE=a,AC=DE=b,AB=AD=c.连接BD,过点D作BC延长线的垂线,垂足为F,容易得出S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD,请用含a,b,c的式子表示出上面四个三角形的面积,完成勾股定理的证明. 例3.小明从家出发向正东方向走了60 m,接着向正北方向走了80 m,这时小明离出发点多远? 例4.如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米. (1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂; (2)求点B到AC的距离. 四、易错点分析 1.勾股定理使用条件混淆：在非直角三角形中错误使用勾股定理。一定要牢记勾股定理只适用于直角三角形，在使用前需先判断三角形是否为直角三角形。 2.边的对应关系错误：在a2 + b2 = c2中，c一定是斜边，a、b是直角边。当题目中未明确指出哪条边是斜边时，需要根据条件判断，不能随意代入公式。比如已知直角三角形两边长为3和4，求第三边，要分4是斜边和4是直角边两种情况讨论 。 3.实际问题转化错误：在将实际问题转化为数学模型时出错，比如不能正确构建直角三角形，或者找错直角边和斜边对应的实际长度。在解决实际问题时，要仔细分析题意，画出准确的几何图形，明确各边的实际意义。 五．课堂检测 1.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（　　） A．169 B．196 C．392 D．588 2.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 3.如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积和为______． 4.如图直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和1 ，则的面积为______ 5.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形说明a2+b2=c2. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.勾股定理的内容是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么__________。 2.利用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形（中间有一个小正方形）来验证勾股定理，大正方形的面积可以表示为c2（c为斜边），也可以表示为__________。 3.用赵爽弦图验证勾股定理时，若大正方形面积为S大，小正方形面积为S小，四个直角三角形面积为S△，则S大=_____+_______。 4.利用梯形面积来验证勾股定理，梯形的面积等于__________的面积之和。 5.勾股定理的总统证法是利用了________的面积等于三个直角三角形的面积之和来证明的。 （二）强化训练 一．选择题 1.1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC 2.如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值是（　　） A．13 B．25 C．33 D．144 3.在Rt△中，，，则（ ） A．9 B．18 C．20 D．24 4.如图，在中，，正方形的面积分别为25和144，则的长度为（ ） A．13 B．169 C．12 D．5 5.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．51 B．49 C．76 D．无法确定 6.如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形边长为7cm，设正方形A、B、C、D、E、F面积分别为SA、SB、SC、SD、SE、SF，则下列各式正确有（   ）个. ①SA+SB+SC+SD=49； ②SE+SF=49； ③SA+SB+SF=49； ④SC+SD+SE=49 A．1 B．2 C．3 D．4 7．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（　　） A． B． C． D． 8．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　） A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2+b2＝c2 D．a2﹣b2＝c2 9.在勾股定理的学习过程中,我们已经学会了运用如图所示的图形,验证著名的勾股定理,这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数,图形与几何等领域中的许多数学公式和规律,它体现的数学思想是(　　) A.统计思想　 B.分类思想 C.数形结合思想 　D.函数思想 10.四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图),大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则组成弦图的每个小直角三角形的两条直角边边长的和为(　　) A.5　　　　B.7　　　　C.25　　　　D.3 二．填空题 11.如图,在△ABC中,∠C=90°,M是AB的中点,点N在AC上,MN⊥AB,若AC=8,BC=4,则NC的长为__________. 12.如图所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于_________. 13．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为__________. 13．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝18，则S2的值是_______. 14．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值为　　． 15.勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为4,则S1+S2+S3=　　　　.( )  图① 图② 16．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 　 ． 三．解答题 17．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明：a2+b2＝c2； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值． 18．在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab．由此推出勾股定理a2+b2＝c2这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式．（1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；（2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2． 19.(1)我国著名的数学家赵爽早在公元3世纪就把一个长方形分成四个全等的直角三角形,用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图①),这个正方形称为赵爽弦图,验证了一个非常重要的结论:在直角三角形中,两直角边a、b与斜边c满足关系式:a2+b2=c2,称为勾股定理. 证明:∵大正方形的面积表示为S=c2,又可表示为S=　　　　　　　　　,  ∴　　　　　　　　　　=c2, ∴　　　　　　　,  即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; (2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图②),也能验证这个结论,请你帮助小明完成验证的过程; (3)如图③所示,∠ABC=∠ACE=90°,请你添加适当的辅助线证明结论a2+b2=c2. 20.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今. (1)①请叙述勾股定理; ②勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理;(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件) (2)①如图4、图5、图6,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三角形,则这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有　　　　个.  ②如图7所示,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1,S2,直角三角形面积为S3,请判断S1,S2,S3的关系并证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师大版八年级数学《1.1探索勾股定理（二）》导学案 ( 一． 学习 目标 1.了解勾股定理的多种证明方法，体会数学中的数形结合思想 ，感受数学文化的魅力，比如了解赵爽弦图、总统证法等证明背后的历史故事和文化意义。 2.熟练掌握用 “ 等面积，两算法 ” 来验证勾股定理，能够自己动手通过拼图（如用四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形等方式）进行勾股定理的证明推导 。 3.能够将勾股定理灵活应用到简单的实际生活问题中，如计算物体长度、距离等，发展数学应用意识。 4.经历勾股定理的验证过程，提升逻辑推理能力和从特殊到一般的归纳总结能力，培养自主探究与合作交流的精神 。 ) ( 二 ．重点难点 1.重点：掌握勾股定理的证明方法；利用勾股定理解决简单实际问题，如在实际场景中构建直角三角形模型，运用勾股定理计算边长。 2.难点：理解勾股定理证明过程中所运用的数学思想，尤其是 “ 算两次 ” （等面积法）的思想；将实际问题准确转化为数学问题并运用勾股定理求解。 ) 三、学习内容 （一）勾股定理回顾 1.回忆勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。 2.思考勾股定理适用的条件，明确只适用于直角三角形，且揭示了直角三角形三边的数量关系。 3.勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。 （二）勾股定理的证明 勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。 方法一：赵爽弦图 1.历史背景：赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在三国时期为证明勾股定理而构造的几何图形。赵爽弦图是对勾股定理最早、最简洁的证明之一，展示了中国古代数学家的卓越智慧和深厚的数学功底，在中国古代数学发展史上具有重要地位，对后世数学研究产生了深远影响。 2.探究赵爽弦图的思路与方法 3.原理：运用图形割补后面积不变的原理，即大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形面积之和。 4.证明：设直角三角形的两条直角边分别为a、b（a>b），斜边为c。每个直角三角形的面积为ab，四个直角三角形面积之和为2ab，中间小正方形的边长为a - b，面积为(a - b)2，大正方形面积为c2，可得2ab+(a - b)2=c2，化简后得到2a+b2=c2，从而证明了勾股定理。 c2＝ab×4＋(b－a)2＝2ab＋a2－2ab＋b2＝a2＋b2. 方法二：毕达哥拉斯的证明 毕达哥拉斯（古希腊数学家）对勾股定理的证明是基于图形面积的等量关系，核心思路是通过构造全等图形，利用面积守恒推导直角三角形三边关系。 证明步骤： （1）.构造图形：以直角三角形的三条边为边长，分别向外作三个正方形，设直角边为a、b，斜边为c，三个正方形的面积分别为a²、b²、c²。 （2）.分割与全等：将以斜边c为边的正方形分割成若干部分，通过几何变换（如平移、旋转）证明：分割后图形的总面积等于以a、b为边的两个正方形面积之和。 （3）.结论推导：由于图形面积不变，因此得出a² + b² = c²，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 c2＝(a＋b)2－ab×4＝a2＋2ab＋b2－2ab＝a2＋b2. 这一证明是西方数学史上对勾股定理的经典论证，奠定了毕达哥拉斯学派在几何学中的重要地位，也使勾股定理在西方常被称为“毕达哥拉斯定理”。 方法三：总统法（总统巧证勾股定理） 美国第20任总统伽菲尔德（James A. Garfield）提出，利用梯形面积公式简洁地证明了勾股定理。 证明步骤： （1）构造图形：取两个全等的直角三角形，设直角边分别为a、b（a < b），斜边为c。再取一个直角边为c的等腰直角三角形，将三个三角形拼成一个直角梯形（上底为a，下底为b，高为a + b）。 （2）计算梯形面积：梯形面积公式为：S梯形= (a + b)(a + b)。  计算三个三角形的总面积：2 ×ab+c2 = ab+c2。 （3）等式推导：梯形面积等于三个三角形面积之和， (a + b)(a + b)=ab+c2 a² + b² = c² 方法四：青朱出入图（无字的证明） 1.历史背景 “青朱出入法”是我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出的证明勾股定理的方法，其核心思想是通过图形的“出入相补”（即分割、移补后面积不变）来验证直角三角形三边关系。 【小结】：勾股定理的证明分两种 第一种类型：等面积 两算法 以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，一图两算来证明代数式之间的恒等关系； 第二种类型：无字证明 以刘徽的“青朱出入图”为代表，“无字证明”。 （三）拓展内容：不同三角形三边平方关系 1.直角三角形：三边满足a2 + b2= c2（c为斜边）。 2.钝角三角形：三边满足a2 + b2＜ c2（c为最长边 ）。 3.锐角三角形：三边满足a2 + b2 ＞ c2（c为最长边 ）。 （四）勾股定理的应用 1.解决几何问题：在已知直角三角形两边的情况下求第三边；判断一个三角形是否为直角三角形（通过三边平方关系判断）。 2.解决实际生活问题：例如计算旗杆高度、梯子靠墙问题、河宽测量（构建直角三角形模型）等 。 例1.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连接CF,此时∠FAC=90°,AB=a,BC=b, AC=c.请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理:a2+b2=c2. 解：因为S梯形BCFG=S△AFG+S△AFC+S△ACB=ab+c2+ab=ab+c2, S梯形BCFG=·(FG+BC)·BG=(a+b)(a+b)=a2+ab+b2, 所以ab+c2=a2+ab+b2, 整理得a2+b2=c2. 例2.将两个全等的直角△ABC与直角△DAE按如图方式摆放,∠ACB=∠DEA=90°, BC=AE=a,AC=DE=b,AB=AD=c.连接BD,过点D作BC延长线的垂线,垂足为F,容易得出S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD,请用含a,b,c的式子表示出上面四个三角形的面积,完成勾股定理的证明. 解：S△ABC=BC·AC=ab,S△ACD=AC·DE=b2,S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=ab+b2,因为∠ACB=90°,所以∠BAC+∠ABC=90°,在△ABC和△DAE中,所以△ABC≌△DAE,所以∠ABC=∠DAE,所以∠BAC+∠DAE=90°,即∠BAD=90°,因为∠ACB=∠DEA=90°,所以DE⊥AC,AC⊥BC,因为DF⊥BF,所以四边形CEDF是矩形,所以DF=CE=AC-AE=b-a,所以S△ABD=AB·AD=c2,S△BCD=BC·DF=×a×(b-a)=ab-a2,S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=c2+ab-a2, 所以ab+b2=c2+ab-a2,所以a2+b2=c2. 例3.小明从家出发向正东方向走了60 m,接着向正北方向走了80 m,这时小明离出发点多远? 解：如图,由题意得:AO=60 m,AB=80 m,OA⊥AB,所以∠OAB=90°, 在Rt△OAB中,由勾股定理得,OB2=OA2+AB2=602+802=10 000,所以OB=100 m, 所以这时小明离出发点100 m. 例4.如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米. (1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂; (2)求点B到AC的距离. 解：(1)设AB=x米,因为AB+AC=16米,所以AC=(16-x)米,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=8米,由勾股定理得:AC2=AB2+BC2,即(16-x)2=x2+82,解得x=6. 答:旗杆在离底部6米的位置断裂. (2)如图,过点B作BD⊥AC于点D,则=AC·BD=AB·BC,所以AC·BD=AB·BC,由(1)可知,AC=16-6=10(米),所以BD===4.8(米). 答:点B到AC的距离为4.8米. 四、易错点分析 1.勾股定理使用条件混淆：在非直角三角形中错误使用勾股定理。一定要牢记勾股定理只适用于直角三角形，在使用前需先判断三角形是否为直角三角形。 2.边的对应关系错误：在a2 + b2 = c2中，c一定是斜边，a、b是直角边。当题目中未明确指出哪条边是斜边时，需要根据条件判断，不能随意代入公式。比如已知直角三角形两边长为3和4，求第三边，要分4是斜边和4是直角边两种情况讨论 。 3.实际问题转化错误：在将实际问题转化为数学模型时出错，比如不能正确构建直角三角形，或者找错直角边和斜边对应的实际长度。在解决实际问题时，要仔细分析题意，画出准确的几何图形，明确各边的实际意义。 五．课堂检测 1.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（　　） A．169 B．196 C．392 D．588 【答案】C 【解析】∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，∴小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF2＝142+142＝392，故选：C． 2.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、∵abc2ab（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；、∵4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D． 3.如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积和为______． 【答案】81 【解析】两个阴影正方形的面积和为152-122=81，故答案为81. 4.如图直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和1 ，则的面积为______ 【答案】16 【解析】由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+ ∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE，∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△CDE，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc=11+5=16． 5.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形说明a2+b2=c2. 解：∵大正方形的面积为c2,一个直角三角形的面积为ab,小正方形的面积为(b-a)2, ∴c2=4×ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2, 即a2+b2=c2. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.勾股定理的内容是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么__________。 【答案】：a2+b2=c2 2.利用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形（中间有一个小正方形）来验证勾股定理，大正方形的面积可以表示为c2（c为斜边），也可以表示为__________。 【答案】：a2+b2+4×ab，其中a、b为直角边 3.用赵爽弦图验证勾股定理时，若大正方形面积为S大，小正方形面积为S小，四个直角三角形面积为S△，则S大=_____+_______。 【答案】：S小；4S△ 4.利用梯形面积来验证勾股定理，梯形的面积等于__________的面积之和。 【答案】：三个直角三角形 5.勾股定理的总统证法是利用了________的面积等于三个直角三角形的面积之和来证明的。 【答案】：梯形 （二）强化训练 一．选择题 1.1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC 【答案】B 【解析】根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．故选：B． 2.如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值是（　　） A．13 B．25 C．33 D．144 【答案】C 【解析】根据题意，结合勾股定理a2+b2＝17，四个三角形的面积＝4×ab＝17﹣1，∴2ab＝16，联立解得：（a+b）2＝17+16＝33．故选：C． 3.在Rt△中，，，则（ ） A．9 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【解析】∵Rt△中，，，∴2=18故选B. 4.如图，在中，，正方形的面积分别为25和144，则的长度为（ ） A．13 B．169 C．12 D．5 【答案】A 【解析】∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，又∵AC2=144，BC2=25， ∴AB2=25+144=169，∴AB==13．故选：A． 5.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．51 B．49 C．76 D．无法确定 【答案】C 【解析】依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x2=122+52=169，解得x=13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选C． 6.如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形边长为7cm，设正方形A、B、C、D、E、F面积分别为SA、SB、SC、SD、SE、SF，则下列各式正确有（   ）个. ①SA+SB+SC+SD=49； ②SE+SF=49； ③SA+SB+SF=49； ④SC+SD+SE=49 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】如图，由勾股定理可知，正方形A与B的面积和等于正方形E的面积．正方形C与D的面积和等于正方形F的面积．并且正方形E与F的面积和等于最大的正方形的面积．因此A、B、C、D的面积之和是为最大正方形的面积=72=49．所以4个选项都正确故选：D 7．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；D、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故选：C． 8．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　） A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2+b2＝c2 D．a2﹣b2＝c2 【答案】C 【解答】根据题意得：S＝（a+b）（a+b），S＝ab+ab+c2，∴（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得：a2+b2＝c2．故选：C． 9.在勾股定理的学习过程中,我们已经学会了运用如图所示的图形,验证著名的勾股定理,这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数,图形与几何等领域中的许多数学公式和规律,它体现的数学思想是(　　) A.统计思想　 B.分类思想 C.数形结合思想 　D.函数思想 【答案】C　 【解析】由图形关系转化为数量关系,体现数形结合思想,故选C. 10.四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图),大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则组成弦图的每个小直角三角形的两条直角边边长的和为(　　) A.5　　　　B.7　　　　C.25　　　　D.3 【答案】A　 【解析】设小直角三角形的两条直角边的边长分别为a、b,由题意可得ab×4=13-1,a2+b2=13,∴ab=6,∴(a+b)2=a2+2ab+b2=(a2+b2)+2ab=13+2×6=13+12=25, ∴a+b=5或a+b=-5(舍去),故选A. 二．填空题 11.如图,在△ABC中,∠C=90°,M是AB的中点,点N在AC上,MN⊥AB,若AC=8,BC=4,则NC的长为__________. 【答案】3 【解析】如图所示,连接BN,∵M为AB的中点,MN⊥AB,∴AN=BN,设NC=x,则AN=BN=AC-NC =8-x,∵∠C=90°,∴CN2+BC2=BN2,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴NC=3, 12.如图所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于_________. 【答案】2π　 【解析】在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=42=16,S1=π=·AC2,S2=π=·BC2, ∴S1+S2=(AC2+BC2)=×16=2π. 13．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为__________. 【答案】b2+（b﹣a）2 【解答】∵DE=b﹣a，AE=b，∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）•b=b2+（b﹣a）2． 13．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝18，则S2的值是_______. 【答案】6 【解析】：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG•DG=GF2+2CG•DG，S2=GF2，S3=（NG-NF）2=NG2+NF2-2NG•NF，∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2-2NG•NF=3GF2=18，∴GF2=6，∴S2=6， 14．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值为　　． 【答案】25 【解析】根据勾股定理可得a2+b2=13，四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12 则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．故答案是：25． 15.勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为4,则S1+S2+S3=　　　　.( )  图① 图② 【答案】　48 【解析】　设八个全等的直角三角形较长的直角边的长为a,较短的直角边的长为b, 则S1=(a+b)2,S3=(a-b)2,a2+b2=EF2=16,∵S2=42=16,∴S1+S2+S3=(a+b)2+16+(a-b)2=2(a2+b2) +16=2×16+16=48. 16．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 　 ． 【答案】10 【解析】根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，即S3＝2+5+1+2＝10．故答案是：10． 三．解答题 17．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明：a2+b2＝c2； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值． 解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2， ∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2； （2）由图可知：（b﹣a）2＝3，4×ab＝13﹣3＝10，∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23． 18．在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab．由此推出勾股定理a2+b2＝c2这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式．（1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；（2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2． 解：（1）大正方形的面积为：c2，中间小正方形面积为：（b﹣a）2； 四个直角三角形面积和为：4×ab；由图形关系可知：大正方形面积＝小正方形面积+四直角三角形面积，即有：c2＝（b﹣a）2+4×ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2；（2）如图示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立； 19.(1)我国著名的数学家赵爽早在公元3世纪就把一个长方形分成四个全等的直角三角形,用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图①),这个正方形称为赵爽弦图,验证了一个非常重要的结论:在直角三角形中,两直角边a、b与斜边c满足关系式:a2+b2=c2,称为勾股定理. 证明:∵大正方形的面积表示为S=c2,又可表示为S=　　　　　　　　　,  ∴　　　　　　　　　　=c2, ∴　　　　　　　,  即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; (2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图②),也能验证这个结论,请你帮助小明完成验证的过程; (3)如图③所示,∠ABC=∠ACE=90°,请你添加适当的辅助线证明结论a2+b2=c2. 解(1)∵大正方形的面积表示为S=c2,又可表示为S=4×ab+(b-a)2,∴4×ab+(b-a)2=c2,∴a2+b2=c2, 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.故4×ab+(b-a)2;4×ab+(b-a)2; a2+b2=c2. (2)证明:大正方形的面积=ab×4+c2=(a+b)(a+b),整理,得2ab+c2=a2+b2+2ab,即a2+b2=c2 (3)证明:如图,过A作AF⊥AB,过E作EF⊥AF于F,延长FE交BC的延长线于D,则四边形ABDF是长方形.∵∠ACE=90°,∴∠ACB+∠ECD=90°.∵∠ABC=90°,∴∠ACB+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠ECD,∵∠B=∠D=90°,∴△ABC≌△CDE(AAS),∴CD=AB=b,DE=BC=a, ∴S长方形ABDF=b(a+b)=2×ab+c2+(b-a)(a+b),∴a2+b2=c2. 20.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今. (1)①请叙述勾股定理; ②勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理;(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件) (2)①如图4、图5、图6,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三角形,则这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有　　　　个.  ②如图7所示,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1,S2,直角三角形面积为S3,请判断S1,S2,S3的关系并证明. 解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. (或者:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方) ②证明:在题图1中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和,即c2=ab×4+(b-a)2,化简得a2+b2=c2.在题图2中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和,即(a+b)2=c2+ab×4,化简得a2+b2=c2. 在题图3中,梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和,即(a+b)(a+b)=ab×2+c2, 化简得a2+b2=c2. (2)①3.②S1+S2=S3.证明:∵S1+S2=π+π+S3-π,∴S1+S2=π(a2+b2-c2)+S3,∵a2+b2=c2.∴S1+S2=S3. 学科网（北京）股份有限公司 $$