精品解析：2025年云南省昆明市实验中学初中学业水平考试复习检测数学试卷

昆明市实验中学2025年初中学业水平考试复习检测 数 学 试 卷 (本试卷共有三大题27小题，共8页．考试用时120分钟，满分100分) 注意事项： 1．答题前，考生务必用碳素笔或钢笔将自己的姓名、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．所有答案必须填写在答题卡上，答在试卷上的答案一律无效． 3．选择题用2B 铅笔涂写，问答题一律用碳素笔作答． 4．考试结束后，将本试卷及答题卡交监考教师后方可离开教室． 一、选择题(本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分) 1. 我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入300元记作元，那么元表示（ ） A. 支出210元 B. 收入210元 C. 支出90元 D. 收入90元 2. 中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个美术字中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度设定在约425 000米，设定寿命为10年，可以长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用．将数据425 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图是某几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 球 C. 三棱柱 D. 圆柱 6. 如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 8. 一个八边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校八年级名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 课外书数量（本） 6 7 9 12 人数 6 7 7 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） A. 8，9 B. ，9 C. 7， D. 9，9 11. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 12. 以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在新能源汽车的动力传输系统模拟图中，四边形形似一个关键的传动装置连接结构，该四边形内接于，为对角线且恰好经过圆心O．已知在某一时刻，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 14. 小米给过生日的弟弟做了一顶圆锥形的生日帽，经过测量这顶圆锥形帽的母线长度为30厘米，底面圆的半径为15厘米，则该圆锥帽的侧面积为（ ） A. 225平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 15. “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题2分，共8分) 16. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 17. 分解因式：___________. 18. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 19. 为了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其它”类统计．图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．以下结论正确的是_____________． ① 由这两个统计图可知喜好“科普常识”的学生有90人； ②若该年级共有1200名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有360人 ③在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为 ④ 这两个统计图不能确定喜好“小说”的人数． 三、解答题(本大题共8小题，共62分) 20. 计算： 21. 如图， 点A， F， C， D在同一直线上， 点B和点E分别在直线的两侧， 且．求证： 22. 云南某茶园引入自动化采茶设备，原计划每天采摘固定数量的鲜叶，启用新设备后，实际每天采摘量比原计划多．实际完成采摘任务所需时间与原计划完成采摘任务所需时间相等．求实际每天采摘鲜叶多少？ 23. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力．为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件随机选择，现有如下四种软件，他将四种图标依次制成A，B，C，D四张卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． A.豆包 B． C. D.文心一言 （1）从中随机抽取一张，抽到卡片的概率为 ； （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片中，含有卡片的概率． 24. 如图所示，O是矩形的对角线的交点，， ，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）连接，若矩形的面积等于40，，求的值． 25. 根据如下素材，完成探索任务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材1 买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元； 买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件 素材3 用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台． 解决问题 任务1 求A、B两种型号智能机器人的单价； 任务2 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（和均为常数）与轴交于点，与轴的交点的横坐标为．当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求证：． 27. 如图，四边形是的内接四边形，，点在弦上（不与端点重合），，过点作，垂足在延长线上，连接CE． （1）求的半径长； （2）若，求证：直线是的切线； （3）过点作交于点，交于点，连接，猜想和有怎样的数量关系，请证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市实验中学2025年初中学业水平考试复习检测 数 学 试 卷 (本试卷共有三大题27小题，共8页．考试用时120分钟，满分100分) 注意事项： 1．答题前，考生务必用碳素笔或钢笔将自己的姓名、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．所有答案必须填写在答题卡上，答在试卷上的答案一律无效． 3．选择题用2B 铅笔涂写，问答题一律用碳素笔作答． 4．考试结束后，将本试卷及答题卡交监考教师后方可离开教室． 一、选择题(本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分) 1. 我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入300元记作元，那么元表示（ ） A. 支出210元 B. 收入210元 C. 支出90元 D. 收入90元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量，理解“一是它们的意义相反，二是它们都是数量．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得：元表示支出元， 故选：C． 2. 中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个美术字中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度设定在约425 000米，设定寿命为10年，可以长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用．将数据425 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选C． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项法则，单项式除单项式运算法则，积的乘方，完全平方公式． 分别根据合并同类项法则，单项式除单项式运算法则，积的乘方，完全平方公式依次判断各选项是否正确即可求出答案． 【详解】解：A、，原计算错误，故A不符合题意． B、，原计算错误，故B不符合题意． C、，原计算正确，故C符合题意． D、，原计算错误，故D不符合题意． 故选：C． 5. 如图是某几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 球 C. 三棱柱 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的三视图逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，故A不符合题意； 球的主视图、左视图、俯视图都是圆，故B不符合题意； 三棱柱的俯视图是三角形，故C不符合题意； 圆柱主视图、左视图、俯视图，分别是矩形、矩形、圆，故D选项符合题意， 故选D； 【点睛】本题考查几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握几种几何体的三视图． 6. 如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了邻补角，两直线平行，内错角相等．熟练掌握邻补角，两直线平行，内错角相等是解题的关键． 由题意知，，由，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 故选：C． 7. 若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ，而且 解得， 的取值范围是且， 故选：C． 8. 一个八边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和．根据多边形内角和定理求解即可． 【详解】解：由多边形的内角和公式得：， 故选∶B． 9. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义得出，代入数据即可求解． 【详解】解：， ， 在中，． 故选：C． 10. 学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校八年级名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 课外书数量（本） 6 7 9 12 人数 6 7 7 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） A. 8，9 B. ，9 C. 7， D. 9，9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的求解，中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．众数是一组数据中出现次数最多的数值．据此即可求解． 【详解】解：由表格数据可知：众数为9，中位数为， 故选：D 11. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k即可判断该点在函数图象上，据此求解. 【详解】解：∵， ∴点在反比例函数的图象上， 故选：D. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知点的横纵坐标满足函数解析式是解题关键. 12. 以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式排列中的规律．根据题意，把原来多项式拆成两个单项式，分别找出每组单项式的规律即可． 【详解】解：将排列的多项式：，，，，，…，拆成两组单项式为： ， ， 第个单项式为和， 第个多项式是． 故选：B． 13. 如图，在新能源汽车的动力传输系统模拟图中，四边形形似一个关键的传动装置连接结构，该四边形内接于，为对角线且恰好经过圆心O．已知在某一时刻，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据为直径可得，即可求得，即可解答，熟练利用圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：为对角线且恰好经过圆心O． ， ， ， 故选：C． 14. 小米给过生日的弟弟做了一顶圆锥形的生日帽，经过测量这顶圆锥形帽的母线长度为30厘米，底面圆的半径为15厘米，则该圆锥帽的侧面积为（ ） A. 225平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的有关计算，利用圆锥侧面积公式为，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，母线长，底面圆的半径， 该圆锥形帽的侧面积为， 故选：D． 15. “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据矩形的面积长宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长个纸边的宽度）（风景画的宽个纸边的宽度）整个挂图的面积，由此可得出方程． 【详解】解：依题意，设金色纸边的宽为， 依题意，得：， 故选：C． 二、填空题(本大题共4小题，每小题2分，共8分) 16. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故答案为：． 17. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 18. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 19. 为了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其它”类统计．图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．以下结论正确的是_____________． ① 由这两个统计图可知喜好“科普常识”的学生有90人； ②若该年级共有1200名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有360人 ③在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为 ④ 这两个统计图不能确定喜好“小说”的人数． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求扇形的圆心角，用样本估计总体等知识； 由喜欢“其它”的人数及其占比可求得抽取的总人数，由喜好“科普常识”的占比可求得喜好“科普常识”的人数，从而判定①；由样本估计总体的思想可判定②；根据喜欢“漫画”的人数可求得其占比，从而求得“漫画”所在扇形的圆心角，可判定③；由所求得喜好“科普常识”的人数及抽取的总人数可求得喜好“小说”的人数，从而可判定④；最后可确定答案． 【详解】解：总人数（人），喜好“科普常识”人数（人），故①正确； 估计喜爱“科普常识”的学生约为（人），故②正确； “漫画”所在扇形的圆心角为，故③正确； 喜好“小说”的人数为（人），故④错误； 综上，①②③正确； 故答案为：①②③． 三、解答题(本大题共8小题，共62分) 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数与负整数指数幂的运算，实数的绝对值，二次根式的性质及特殊角三角函数值等知识，掌握这些基础知识是解题的关键；依次计算零指数、实数的绝对值，二次根式的性质、负整数指数幂及特殊角三角函数值，最后相加减即可． 【详解】解：原式 ． 21. 如图， 点A， F， C， D在同一直线上， 点B和点E分别在直线的两侧， 且．求证： 【答案】 证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定；根据直角三角形中进行判定即可． 【详解】略 22. 云南某茶园引入自动化采茶设备，原计划每天采摘固定数量的鲜叶，启用新设备后，实际每天采摘量比原计划多．实际完成采摘任务所需时间与原计划完成采摘任务所需时间相等．求实际每天采摘鲜叶多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设实际每天采摘鲜叶，则原计划每天采摘鲜叶，根据题意列出分式方程求解即可得出答案． 【详解】解：设实际每天采摘鲜叶，则原计划每天采摘鲜叶， 根据题意得， ， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意． 答：实际每天采摘鲜叶． 23. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力．为进一步了解学习，小明打算先从比较热门的人工智能软件随机选择，现有如下四种软件，他将四种图标依次制成A，B，C，D四张卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． A.豆包 B． C. D.文心一言 （1）从中随机抽取一张，抽到卡片的概率为 ； （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片中，含有卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求概率，利用列表法或画树状图法是解题的关键． （1）根据简单事件的概率，所有可能情况有4种，抽到卡片的情况有1种，则可求得概率； （2）画出树状图，得到所有可能情况及含有卡片的情况，由概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：抽到卡片的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画出树状图如下： 所有可能情况共有12种，其中含有卡片的情况有6种，则含有卡片的概率为； 答：含有卡片的概率为． 24. 如图所示，O是矩形的对角线的交点，， ，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）连接，若矩形的面积等于40，，求的值． 【答案】（1） 解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、菱形的判定、勾股定理、完全平方公式等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，再结合可得，易证四边形是平行四边形，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答； （2）如图，设与交于点F．先证明四边形是平行四边形可得，设，再根据矩形的性质、菱形的性质、勾股定理构建方程组求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设与交于点F． 由（1）得：平行四边形是菱形， ∴，与互相平分．， ∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设， ∵矩形的面积是40， ∴． ∵菱形的边长， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即． 25. 根据如下素材，完成探索任务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材1 买1台A型机器人，3台B型机器人，共需260万元； 买3台A型机器人，2台B型机器人，共需360万元． 素材2 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件 素材3 用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台． 解决问题 任务1 求A、B两种型号智能机器人的单价； 任务2 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】任务1：A型80万元，B型60万元；任务2：买5台A型，5台B型 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，不等式的实际应用，熟练根据题意正确列出等式、式子、不等式是解题的关键． 任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，利用“买台型机器人，台型机器人，共需万元”和“买台型机器人，台型机器人，共需万元”列式求解即可； 任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，列出关于的一次函数，再利用“用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台”列出不等式，求出的范围，最后利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元； 任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台， 根据题意得：， ∵， 解得：， ∴， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值（万件）， （台）, 即购买型号智能机器人台，购买型号智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（和均为常数）与轴交于点，与轴的交点的横坐标为．当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）证明：由（1）可得，抛物线的解析式为， ∵抛物线与轴的交点的横坐标为m， ∴，即， ∴，则， ∵，∴，∴， ∴， 当时，， 当时，， ∵当时，随的增大而减小， ∴，则， ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，完全平方公式，熟练掌握运算法则和二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用二次函数的图象性质得到抛物线的对称轴为，即，再把代入运算即可； （2）运算化简式子后，再根据图象性质分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为，即， ∵与轴交于点， ∴， 即，解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 27. 如图，四边形是的内接四边形，，点在弦上（不与端点重合），，过点作，垂足在延长线上，连接CE． （1）求的半径长； （2）若，求证：直线是的切线； （3）过点作交于点，交于点，连接，猜想和有怎样的数量关系，请证明你的结论． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ， ， 即， ， ， 又， ， ， 是的直径， ， ， ，即， ， 是的半径，且， 直线是的切线； （3） ， 证明∶连接,延长至点，使得，连接， 则， ， ， 四边形是的内接四边形， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， 在和中， ，即， ， 在和中， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）连接，利用所对的弦是直径判断，利用勾股定理求出即可； （2）连接，先证明，利用等边对等角得出，利用直径所对的圆周角是直角得出，即可得出，利用切线的判断即可得证； （3）连接．延长至点，使得，连接，证明四边形是正方形，得出，利用证明，可得出，利用证明证明，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解∶如图，连接． ， 是的直径， 在中，， 由勾股定理得∶， 的半径； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，全等三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $