3.1 等量关系和方程（课件）-2025-2026学年七年级数学上册（湘教版2024）

湘教版(2024)七年级上册3.1 等量关系和方程 祁阳市浯溪第三中学 聂彬彬 学习目标 1、理解一元一次方程及解的概念. 2、建立实际问题的方程模型, 运用方程分析和解决实际问题. 丢番图(Diophantus)是古希腊数学家.人们对他的生平事迹知道得很少,但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平:坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了其所经历的人生旅程.上帝赐予他的童年占六分之一, 又过十二分之一他两颊长出了胡须,再过七分之一,点燃了新婚的蜡烛.五年之后喜得贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半便入黄泉.悲伤只有用数学研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途. ——出自《希腊诗文选》(T h e G r e e kAnthology) “丟番图”的故事 你能找到故事中的等量关系并列出式子吗? 想一想 方程 解:设丢番图的年龄为x岁,则: 《九章算术》是我国现存最古老的数学经典著作之一. “程,课程也,群物总杂,各列有数,总言其实. 令每行为率,二物者再程,三物者三程,皆如物数程之,并列为行,故谓之方程.” ——刘徽 含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程. ① 2x+2=18 ⑦ 4x-3=7 判断下列各式是不是方程,如果不是,请说明理由. ② 3y-1 ③ 3x2-3x-1=0 ④ -2x<0 ⑤ x-2y=6 ⑥ a ⑧ x-3=4 ⑨ 辨一辨 练一练 1. 某校初中部七、八、九三个年级共有591人,八年级的人数比七年级多31人,比九年级少172人,设八年级人数为y人,可列出方程为: _. y-31+y+y+172=591 2.如图是一个长方体形状的包装盒示意图,长为2m,宽为1m,表面积为13m ,设这个长方体的高是x米,可列出方程_. 4x+2x+4=13 【归纳】列方程的步骤: 1、找等量关系 2、设未知数 3、列方程 一个未知数,次数是1. 只含有一个未知数,并且未知数的次数是1, 这样的方程叫作一元一次方程。 说一说 每个方程含有几个未知数?每个未知数的次数是多少? y-31+y+y+172=591 4x+2x+4=13 用“元”表示未知数,源于我国宋元时期的“天元术”.天元术指的是用“天元”表示未知数,进而列出方程,现存的使用天元术的最早著作是这一时期我国数学家李冶(1192-1279)于1248年所著的《测圆海镜》,书中的“立天元一”相当于现在的“设未知数x”。后来在研究涉及多个未知数的问题时,又引入“地元”“人元”“物元”等表示多个未知数. “元”的溯源 想一想 是一元一次方程吗? 解:分母中含有未知数,故不是一元一次方程。 一元一次方程 只含有一个未知数 未知数的次数是一 等号两边都是整式(分母中不含未知数) 议一议 估算方程 1600 +100x = 2000 中未知数 x 的值是多少? 列方程是解决实际问题的重要方法,要想得到实际问题的解,还需要求出方程中未知数的值.那么,怎样求出符合方程的未知数的值呢? 当 x = 4时,方程 1600 + 100x = 2000 等号左右两边相等. x = 4叫作方程 1600 + 100x = 2000 的解. 未知数 x 的值 0 1 2 3 4 5 (1600+100x)的值 1600 1700 1800 1900 2000 2100 对于含有一个未知数 x 的方程,若 x 用一个数 c 代入能使方程左、右两边的值相等,这个数c就是这个方程的一个解. 例 分别检验x的下列值是否是方程2.5x+250=1000的解. (1)x=300; (2)x=400. 解(1)把x用300代入原方程得, 左边=2.5 300+250=1000, 左边=右边, 所以x=300是方程2.5x+250=1000的解. (2)把x用400代入原方程得, 左边=2.5 400+250=1250, 左边≠右边, 所以x=400不是方程2.5x+250=1000的解. 方法小结 把这个数分别代入方程的左、右两边, 当左边=右边时,这个数是方程的解, 当左边 ≠ 右边时,这个数不是方程的解. 练一练 对于方程 2x - 3 = 7x + 7,分别检验 x = 2 和 x = -2 是不是它的解。 解:①把x用2代入原方程得, 左边= 2 2 - 3= 1, 右边=7 2+7=21, 左边 ≠ 右边, 所以x =2不是方程2x -3 = 7x + 4的解。 ②把x =-2代入原方程得, 左边=2 (-2)-3 = -7 , 右边=7 (-2)+7 = -7, 左边=右边, 所以x = -2是方程2x - 3 = 7x + 7的解。 强调:1、书写格式 2、三步走:代-算-判 小试牛刀-基础 1.排球场的长比宽多10 m,周长是54 m,排球场的宽为多少?列出方程. 解:设排球场的宽为 x m. (10+x +x) 2=54 2.下列方程中,解是x=1的方程是( ) A.2x-2=-3x B.x+5=2x-3 C.3x-6=4x-7 D.5x+2=4x-3 C 3.判断下列方程是不是一元一次方程: (1)23-x=-7 (2)2a-b=3 (3)y+3=6y-9 (4)0.32m -(3+0.02m)=0.7 (5)x2 = 1 (6) √ √ √ √ 小试牛刀-基础 小试牛刀-提升 2.已知方程 是关于x的一元一次方程,则m=_ -2 1.若x=4是关于x的方程ax=8的解,则a的值为_ 2 课堂总结 实际问题 一元一次方程 找等量关系 设未知数列方程 只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程. 能使方程左、右两边相等的未知数的值,是这个方程的一个解. 一切问题都可以转化成数学问题, 一切数学问题都可转化成代数问题, 一切代数问题都可以转化成方程问题, 所以一旦解决了方程问题,所有问题迎刃而解。 -法国数学家 笛卡尔 祝 志在四方 万里鹏程 谢谢观看! Lavf58.46.101 $$