1.5等腰三角形（第4课时）教案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

1.5等腰三角形（第4课时） 【教学目标】 1.探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半. 2.在研究图形性质和运动的过程中，进一步发展空间观念. 3.经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观. 【教学重点】 探索并掌握直角三角形的性质定理 【教学难点】 利用直角三角形的性质定理解决问题 1、 创设情境： 如何折叠一张直角三角形纸片，使它变成长方形？ 2、 探究新知： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°. 作∠BCD=∠B，CD与AB交于点D. 由∠BCD=∠B，可知BD=CD. 由等角的余角相等，可知∠A=∠ACD， 从而AD=CD. 所以DA=DB=DC. 所以CD是斜边AB上的中线，所以CD=AB. 直角三角形性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 符号语言： Rt△ABC中， ∵∠ABC＝90°，OA＝OC，∴BO＝AC 3、 例题精讲： 例1如图，在中，是斜边上的中线，，求的度数. 例2如图，在四边形中，，分别是的中点，证明： (1)；(2)． 巩固练习： 1．如图，在中，，，AD平分，E是AD中点，若，则CE的长为（    ） 第1题 第2题 第3题 A． B． C． D． 2．如图，是等腰直角三角形的顶角平分线，，则等于（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 3．（2025•德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD＝1，则GE＝（　　） A．3 B．2 C．1 D． 4．如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为 ． 第4题 第5题 第6题 6.（2025•福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8m，则DE的长为 　 　 m． 7．如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为 ． 8．一个直角三角形斜边上的中线为5，斜边上的高为4，则此三角形的面积为 ． 9．如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 ． 10．如图，在中，，于点D，E是斜边 的中点，若，则 ． 第9题 第10题 11．如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，G是CE的中点，AB=2CD，求证：DG⊥CE． 12．在中，，点是的中点．尺规作图：在上确定点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下： (1)做法正确的同学有________． (2)用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法． 13．如图，在中，为斜边的中线，在线段及的延长线上依次取点，，连接，且，若，求的度数． 14．综合与实践 【阅读理解】（1）如图1，在Rt中，，为斜边上的中点．为了探究中线与斜边的数量关系，某数学小组经过合作探究，猜想．为了证明这一猜想，他们采用了“倍长中线法”，即将中线延长到，使得，连接．据此将他们的证明过程补充完整． 证明：为的中点 在与中， （①______） （②______ ______） （③______） 在与中， （④______） 【深入探究】（2）如图2，和为等腰直角三角形，．若点在线段上，连接为线段的中点，连接和．猜想和的数量、位置关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图3，将（2）中条件改为点是内一点，其余不变．问（2）中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 参考答案 例1【分析】根据直角三角形的性质得CD＝AB＝AD，再由三角形的性质得到∠DCA＝∠A＝20°，再由∠BCA＝90°，即可得到答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴CD＝AB＝AD， ∴∠DCA＝∠A＝20°， ∴∠BCD＝90°−∠DCA＝70° 例2 【分析】（）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而即可求解； （）根据三线合一即可求证； 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ∴，， ∴； （2）证明：由（）可知， ∵是的中点， ∴． 巩固练习 1.【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义∠DAB=∠B，求出AD，根据直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=90°-30°=60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB=∠BAC=30°， ∴∠DAB=∠B， ∴AD=BD=a， 在Rt△ACB中，E是AD中点， ∴CE=AD=， 故选： B． 2.【分析】根据等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线的性质，得，即可得到答案． 【详解】∵是等腰直角三角形的顶角平分线 ∴，即为等腰直角三角形的中线 ∴ ∵ ∴ 故选：B． 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴CD是斜边上的中线 ∴AB=2CD=2 由平移得，GE=AB=2 故选B 4.【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 先证明是等腰直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，证明，同理可证，同理可证，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， 同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则， 故③正确； ④，， ，， ， ④错误； 正确结论为①②③． 故选：C． 5.【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【详解】解：∵中，D是斜边的中点， ∴． 故答案为：3． 6.DE=4 7.【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，直角三角形斜边中线等于斜边一半．根据数轴上两点之间的距离得到，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：由题意可得， ，点为的中点， ， 故答案为：8． 8.【分析】本题考查了直角三角形的性质以及三角形的面积计算方法，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解答本题的关键． 根据直角三角形的性质可得出斜边的长，进而可根据三角形的面积公式求出此三角形的面积． 【详解】解：∵一个直角三角形斜边上的中线为5， ∴该三角形斜边长为， ∵斜边上的高为4， 该三角形面积为 故答案为：20 9.【分析】本题主要考查的是旋转的性质，直角三角形的性质、两点之间线段最短，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 连接，首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出，然后再依据两点之间线段最短可得到，即可得的最大值为． 【详解】解：如图连接． 在中， ∵，， ∴， 根据旋转不变性可知，，， ∵P是的中点， ∴， ∵M是的中点， ∴ 又∵，即， ∴的最大值为6（此时P、C、M共线）． 故答案为：6． 10.【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据题意先求出，，利用直角三角形两锐角互余求得，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，求得的度数，进而得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11.【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到DE=AB，再根据AB=2CD，得到CD=AB，从而可得CD=DE，根据等腰三角形的三线合一证明即可． 【详解】证明：连接DE，如图： ∵AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， ∴AD⊥BD，E是AB的中点， ∴DE=AB， ∵AB=2CD， ∴CD=AB， ∴CD=DE， ∵G是CE的中点， ∴DG⊥CE． 12.【分析】本题主要考查尺规作图，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的性质等知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据等腰三角形的性质，结合作图分析判定即可； （2）根据圆的定义作图即可． 【详解】（1）解：甲：根据作图可知，甲同学作的是的 角平分线， ∵，即是等腰三角形， ∴， ∵点是中点， ∴在中，，符合题意； 乙：根据作图可知，， ∵点是中点， ∴，即，不符合题意； 丙：根据作图可知，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴点为中点， ∴在中，，符合题意； 综上所述，做法正确的同学有甲、丙； （2）解：∵点是中点， ∴， ∴以点为圆心，以为半径画弧交于于点，连接，如图所示， ∴， ∴点即为所求点的位置． 13.【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，平行线的判定和性质．先求出，可得，再由直角三角形的性质，可得，从而得到，进而得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵为斜边的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据全等三角形的判定定理和性质，平行线的判定定理和性质进行证明，补全依据即可； （2）利用直角三角形斜边中线定理可确定两线段的数量关系，利用等腰直角三角形的内角度数和三角形外角定理即可得出的度数，确定位置关系； （3）延长到，使得．连接．延长和交于,根据条件证明，得出对应角相等，进而利用平行线的判定和性质证明，得出对应边和对应角相等，最后利用等腰三角形的性质和等量代换得出结论． 【详解】解：（1）根据题意得， ① ② ③两直线平行，同旁内角互补 ④全等三角形的对应边相等 故答案为：①，②，③两直线平行，同旁内角互补，④全等三角形的对应边相等； （2）猜想：，且． 证明：如图，为线段的中点， 为斜边的中线，为斜边的中线， 从而由（1）中结论，有． 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ； （3）解：（2）中结论仍成立，理由如下． 如图，延长到，使得．连接．延长和交于． 设和交于． 为的中点， ， 在与中， ， ， ， ， 在与中，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$