1.5等腰三角形（第3课时） 教案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

1.5等腰三角形（第3课时） 【教学目标】 1. 经历探索等边三角形的性质定理及判定定理的过程，培养几何直观能力. 2. 探索并证明等边三角形的性质定理及判定定理. 3. 在“操作-探究-归纳-证明”的过程中，发展合情推理和演绎推理的能力. 【教学重点】 探索并证明等边三角形的性质定理及判定定理. 【教学难点】 利用等边三角形的性质定理及判定定理解决问题. 1、 创设情境： 说说你对等边三角形的认识. 三边都相等，三角都相等...... 2、 探究新知： 定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形. 活动一：探究等边三角形的性质 思考：等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质. 除此之外，等边三角形还有哪些特殊的性质？ 在△ABC中，AB=BC=AC. 由AB=BC，可知∠A=∠C； 由AB=AC，可知∠B=∠C； 由AC=BC，可知∠A=∠B； 所以∠A=∠B=∠C， 又因为∠A+∠B+∠C=180°， 所以∠A=∠B=∠C=60° 定理：等边三角形的各角都等于60°. 活动二：探究等边三角形的判定 思考：当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形？ （1） 如果一个三角形的三个角相等，那么它是等边三角形吗？试着证明. （2） 如果一个等腰三角形有一个角是60°，那么它是等边三角形吗？ 等边三角形的判定定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 活动三：探究含30°角的直角三角形30°所对直角边与斜边的关系. 用两个含30°角的三角板拼一个三角形. 这个三角形是等边三角形吗？（所拼成的大三角形三个角都是60°，所以它是等边三角形）.30°角所对的直角边和斜边有什么关系？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半. 3、 例题精讲： 例1 如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：； (2)线段与有什么样的数量关系？请说明理由. 巩固练习： 1．如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） 第1题 第2题 第3题 A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，边长为8的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是 （     ） A．4 B．2 C．1 D． 4. 如图，在等边三角形中，点、分别是、上两点，且．连结、，相交于点．连结，若，则的值是（   ） 第4题 第5题 第6题 A． B． C． D． 5．如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④，则上述结论中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 6．如图，在中,，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ． 7．如图，是等边三角形，，点是边上的一点，且，点是直线上一动点，连接，以为腰作等腰，且使，连接，则的最小值为 ． 第7题 第8题 第9题 8．如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则 ． 9．如图，在等边三角形中，P是内的一点，连接．若将绕点B逆时针旋转到的位置，点P的对应点为，则的度数是 °． 10．已知为三边的长，若，则的形状为 ． 11．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个） 12．如图，在等边中，为边上的中线，．将沿着射线方向向下平移得，连接，，则的最小值为 ． 13．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为 ． 第12题 第13题 第14题 14．如图，是等边内一点，，，则的面积为 ． 15．如图，在中，，为右侧一点，连接、、，，，求证：是的垂直平分线． 16．如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)判断，的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 17．如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 18．已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分． (1)求证：； (2)求的度数． 19.在面对复杂数学问题时，“特殊化与转化”是重要的问题解决策略．从特殊图形出发．将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，将一般转化为特殊，有助于我们发现解决问题的思路． 【问题背景】如图1，在等边中，D、E分别为边、上任意一点，且，连接、，与相交于点O． 【特例感知】（1）当点D为中点，点E为中点时，请直接写出线段与的数量关系______，______； 【一般探究】（2）当D、E分别为边，上任意一点时，第一问的结论还成立吗？请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，在等边中，P、M分别为边、上的点，且，过点P作交于点Q，交于点G；过点M作交于点N，交于点F，则： ①_____； ②求证：． 参考答案 例1（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 过P作的平行线至于F， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：结论：，理由： ∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固练习 1．D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，且是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， A、由，得到，由SAS判定≌，故A不符合题意； B、由，得到，由AAS判定≌，故B不符合题意； C、由ASA判定≌，故C不符合题意； D、和分别是CD和AE的对角，不能判定≌，故D符合题意． 故选：D． 3．B 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，进而根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得线段长度的最小值． 【详解】解：如图， 取的中点，连接， 线段绕点逆时针旋转得到， ， 又是等边三角形， ， 即， ， 是等边三角形的高， ， ， 又旋转到， ， ， ， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时， ， ， ． 线段长度的最小值是2． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 4．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，首先根据可证，根据全等三角形的性质可知，从而可证，过点作，则有，利用可证，从而可证，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可证，所以可得，可得点为的中点，则有，从而可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， 是等边三角形， ，， 在和中，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 点为的中点， ， ． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到，，，则，则根据“”可证明，从而可对①进行判断；再证明，则可根据“”判断，从而可对②进行判断，所以，接着根据“”证明，从而可对③进行判断；由于不是等边三角形，为等边三角形，从而可对④进行判断． 【详解】解：和均为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，所以①正确； ， ， ， 在和中， ， ，所以②正确； ， 在和中， ， ，所以③正确； ， 不是等边三角形， 而为等边三角形， 与不能全等，所以④错误． 故选：B． 6．4 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质得，由，于是可判断为等边三角形，根据等边三角形的性质得，然后利用进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 7． 【分析】通过作辅助线构造直角，利用证得得到，结合等边三角形性质及直角三角形性质求出相关线段长度，再根据垂线段最短确定的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，，， ∴，，， ∵在含有的直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半， ∴，， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴当点运动时，点与直线的距离始终为， ∴当时，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质及垂线段最短；掌握通过辅助线构造全等三角形转化线段关系并利用垂线段最短求最值是解题的关键． 8．40 【分析】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由等边三角形三角形的性质推出垂直平分． 由等边三角形的性质推出垂直平分，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 9．60 【分析】本题主要是旋转图形的性质，等边三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据旋转的性质可得：，进而得到是等边三角形，继而求出，然后由图中相关角与角之间的和差关系来求的度数． 【详解】解：根据旋转的性质知，得 ， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 10．等边三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，对原式进行整理，得出，得到，因此三角形是等边三角形． 【详解】解：因为， 即， 即， 得：， 所以， 所以， 所以的形状为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 12．6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质，含度角直角三角形的性质等知识，关键是把求的最小值转化为求的最小值．过作于G，则，从而有，当三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长，从而取得最小值为长度的2倍；利用等边三角形的性质，得，则可求得的最小值． 【详解】解：由平移性质知：； 如图，过作于G， ∵是等边三角形，为边上的中线， ∴； ∵， ∴， ∴， 当三点共线时，此时，取得最小值，最小值为线段的长， ∴取得最小值，最小值为长度的2倍； ∵是等边三角形，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：6． 13．4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，证明，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4. 14． 【分析】将绕着C点顺时针旋转至，连接，则可得是等边三角形，则可得，进而可得，，由此得，进而可得，求出的面积即可知的面积． 本题主要考查等边三角形的判定和性质，旋转构造法，三角形的面积计算．通过旋转构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 如图，将绕着C点顺时针旋转至，连接， 则，，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵又， ∴， 作于F点， 则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．证明见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，先证明为等边三角形，可得，进一步解答即可. 【详解】证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． 16．(1)，理由见解析 (2)6 【分析】（1）根据是等边三角形，可知，根据平行线的性质可知，根据直角三角形的性质可知，根据三角形外交的性质可得，，进而可得，再根据等角对等边可证结论成立； （2）由是等边三角形，可得，进而可得，再证是等边三角形，则可得，在中，根据角所对的边等于斜边一半，可得． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 17．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定．先证明，得到，进而有，进而由即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质结合题意可得，由角平分线的定义可得，利用得出； （2）证明，由全等三角形的性质结合等边三角形的性质可得，最后再由全等三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19．（1）；；（2）第一问的结论还成立，理由见解析；（3）①60；②见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，由点D为中点，点E为中点，得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）①根据平行线的性质得到即可得到结论； ②根据三角形内角和定理得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为中点，点E为中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：第一问的结论还成立，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）①解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60； ②证明：∵，， 且， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点评】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$