精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学　2024-2025学年七年级下学期随堂作业数学试卷

2024-2025学年上海市华东师大二附中七年级（下）随堂作业数学试卷 一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有无数条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 2. 在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形的性质，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定和是全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，若保持不变，则图中应（ ） A. 减少 B. 减少 C. 增加 D. 增加 4. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力N的方向与斜面垂直，摩擦力F的方向与斜面平行．若摩擦力F与重力G方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为______ 6. 如图，已知，点D在边上，，则的度数是______． 7. 如图，在中，高线和角平分线相交于点已知，求的度数______． 8. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______． 9. 已知的两边与的两边分别垂直，且比的4倍少30°，则_____°． 10. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 11. 已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣9，m的取值范围为_________ 12. 目前我国新能源汽车发展迅速，汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离并结合车速转化为所需时间如图所示，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，现将报警时间划分为4段，分别为准备时间，人的反应时间，系统反应时间，制动时间，相应的距离分别为，，，，在制动刹车前汽车以速度米/秒匀速运动，通过大数据统计分析得到如表一信息其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化， 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 秒 秒 距离 米 米 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于60米，则汽车的行驶速度v应限制在______米/秒以下． 三、解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. （1）解下列不等式； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 14. 为了丰富同学们的业余生活和培养同学们学习数学的兴趣，学校将举行一年一度的数学文化节，在数学文化节倒计时30天之际，学校计划购买A、B两种文化节的奖品作为纪念品．已知购买1件A种奖品与2件B种奖品共需要70元，购买2件A种奖品与3件B种奖品共需要120元． （1）求A种奖品和B种奖品的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买A种奖品和B种奖品共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买A种奖品多少件？ 15. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： （1）如图2，若，求的度数． （2）【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． ①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 16. 如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，，两线相交于点 （1）求的度数； （2）如图2，连接， ①求证：是的平分线； ②若，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市华东师大二附中七年级（下）随堂作业数学试卷 一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有无数条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理、平行线的判定、点到直线的距离等知识点，掌握相关的性质定理是判断命题的真假关键． 根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 2. 在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形的性质，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定和是全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件是解题的关键． 由题意可证，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， 故选：B． 3. 如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，若保持不变，则图中应（ ） A. 减少 B. 减少 C. 增加 D. 增加 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角的性质，根据三角形外角的性质得到，再由平角的定义即可求出．掌握平角的定义是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：C． 4. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力N的方向与斜面垂直，摩擦力F的方向与斜面平行．若摩擦力F与重力G方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为______ 【答案】28 【解析】 【分析】过点A作斜面于B，根据题意求出，根据对顶角相等得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 本题考查的是三角形角度求值问题，掌握垂直的定义、对顶角相等是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点A作斜面于B， 由题意可知：， ， ， 水平面， ， 故答案为： 6. 如图，已知，点D在边上，，则的度数是______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对角相等． 由全等三角形的性质推出，得到，由等腰三角形的性质推出． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为： 7. 如图，在中，高线和角平分线相交于点已知，求的度数______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． 由全等三角形的性质推出，判定是等腰直角三角形，得到，由角平分线的定义求出， 由直角三角形的性质求出，即可得到的度数． 【详解】解：， ， 是的高， ， 是等腰直角三角形， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为： 8. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围． 【详解】解：去分母得，m-1=2x-2， 解得，， ∵方程的解是正数， ∴m+1＞0， 解这个不等式得，m＞-1， ∵， ∴m≠1， 则m的取值范围是m＞-1且． 故答案为：m>-1且． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解题关键是要掌握解分式方程的方法和步骤． 9. 已知的两边与的两边分别垂直，且比的4倍少30°，则_____°． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线，列一元一次方程解决实际问题等知识，解题的关键是考虑全面两个角的数量关系． 画出图形，分两角相等和互补两种情况，分别求出角的度数即可． 【详解】解：设的度数是，则的度数为，根据题意得： ① 如图，当时， ， 解得，， ∴的度数为； ② 如图，当时， 解得， ∴的度数为． 故答案为：或． 10. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 11. 已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣9，m的取值范围为_________ 【答案】或． 【解析】 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据所有整数解的和为﹣9可以确定有哪些整数解，再根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：， 由①得，， 不等式组有解， 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的整数解为、、或、、、、0、1． I.当不等式组的整数解为、、时，有， ∴的取值范围为； II.当不等式组的整数解为、、、、0、1时，有， ∴的取值范围为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式组的解集，并会根据整数解的情况确定的取值范围是解决本题的关键． 12. 目前我国新能源汽车发展迅速，汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离并结合车速转化为所需时间如图所示，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，现将报警时间划分为4段，分别为准备时间，人的反应时间，系统反应时间，制动时间，相应的距离分别为，，，，在制动刹车前汽车以速度米/秒匀速运动，通过大数据统计分析得到如表一信息其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化， 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 秒 秒 距离 米 米 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于60米，则汽车的行驶速度v应限制在______米/秒以下． 【答案】25 【解析】 【分析】根据“报警距离均小于60米”列不等式求解． 本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 时不等式恒成立， 要小于的最小值， 当时，有最小值，为25， 即v的最大值为25米/秒． 故答案为： 三、解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. （1）解下列不等式； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】（1）（2）  ，整数解为 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定其解集，最后找出其中的整数即可． 本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组的步骤是解题关键． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为， 它的整数解为 14. 为了丰富同学们的业余生活和培养同学们学习数学的兴趣，学校将举行一年一度的数学文化节，在数学文化节倒计时30天之际，学校计划购买A、B两种文化节的奖品作为纪念品．已知购买1件A种奖品与2件B种奖品共需要70元，购买2件A种奖品与3件B种奖品共需要120元． （1）求A种奖品和B种奖品的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买A种奖品和B种奖品共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买A种奖品多少件？ 【答案】（1）A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元 （2）最多能购买100件A种奖品 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是关键． （1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，购买1件A种奖品与2件B种奖品共需要70元，购买2件A种奖品与3件B种奖品共需要120元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，根据总费用不超过5000元列不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 根据题意得， 解得． 答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元； 【小问2详解】 设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为100． 答：最多能购买100件A种奖品 15. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： （1）如图2，若，求的度数． （2）【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． ①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决此题的关键． （1）过点作，则，根据平行线的性质可知，，进而可求解； （2）①过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结果； ②过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结论． 【小问1详解】 解：过点作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， 即， 故答案为：． 【小问2详解】 ①， 理由如下：过点作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②， 理由如下：过点作，则， ∴ ∵ ∴ ∴． 16. 如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，，两线相交于点 （1）求的度数； （2）如图2，连接， ①求证：是的平分线； ②若，，求的长度． 【答案】（1） （2）①证明：过C作于G，于H， ， ， ， ， ， ， ， 由知， ， 是的平分线； ② 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）通过观察图形，根据等边三角形的性质就可以证明≌，得出，而有，就有，从而可以求出的值； （2）①过C作于G，于H，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由知，根据角平分线的定义得到是的平分线；②如图，在BF上截取，连接CM，则是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论． 【小问1详解】 解：和都是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①略 ②解：如图，在BF上截取，连接CM， 因，则是等边三角形， ， ， ，（等量减等量，差相等） ， ， ， ， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $