精品解析：2025年广东省广州市天河区广州天省实验学校中考数学三模试卷

中考数学适应性训练 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用数轴比较有理数的大小，根据用数轴上的点表示有理数，左边的点表示的数小于右边的点表示的数，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴位于最左边的是． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，积的乘方运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，积的乘方运算法则，掌握运算法则是解题的关键． 3. 如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小马），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为10cm的正方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向正方形区域内掷点：通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.65左右，由此她估计此不规则图案的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率以及正方形面积公式的应用，熟练掌握频率与概率的关系，利用频率估计出图案面积占正方形面积的比例是解题的关键．利用频率估计概率的思想，先求出正方形面积，再根据频率得到图案面积占正方形面积的比例，进而求出图案面积． 【详解】解：∵正方形边长为， ∴正方形面积 ． 由大量重复试验，点落在图案部分的频率稳定在左右，根据频率估计概率，可知点落在图案部分的概率约为 ． ∴， ∴ ． 故选：A ． 4. 在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．    中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为， 故选：C． 5. 代数式与的值相等，则的值为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，由题意得，解分式方程即可，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵代数式与的值相等， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴分式方程的解为：， 故选：D． 6. 已知矩形中，，，若以为直径的圆与边有交点，则与满足的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，掌握圆的半径与圆心到直线的距离的大小关系是关键． 根据圆的半径与圆心到直线的距离的关系判定即可，即，相离；，相切；，相交，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， 以为直径的的半径为， ∵与边有交点， ∴，即， ∴， 故选：A ． 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 C. 相似三角形的面积比等于相似比 D. 在中，若，则是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、相似三角形以及三角形内角和定理的相关性质，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】解：A选项： 平行四边形无论沿哪一条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形，A选项错误，不符合题意； B选项： 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而不是矩形，B选项错误，不符合题意； C选项： 相似三角形的面积比等于相似比的平方，而不是相似比，C选项错误，不符合题意； D选项： 已知在中，，设，则，． 因为三角形内角和为，所以，即，解得． 那么，有一个角为的三角形是直角三角形，所以是直角三角形，D选项正确，符合题意； 故选∶D． 【点睛】本题主要考查了真命题，平行四边形的性质、矩形和菱形的判定、相似三角形的性质以及三角形内角和定理．熟练掌握轴对称图形的定义、矩形和菱形的判定定理、相似三角形面积比与相似比的关系以及三角形内角和定理是解题的关键． 8. 反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由反比例函数的图象得到k，b同号，然后分析各选项一次函数的图象即可. 【详解】∵y=的图象经过第一、三象限， ∴kb＞0， ∴k，b同号， 选项A图象过二、四象限，则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意； 选项B图象过二、四象限，则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意； 选项C图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意； 选项D图象过一、三象限， 则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意； 故选D． 9. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是行程问题中的相遇，读懂题意，找出数量关系，列出二元一次方程组是解答关键． 设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解． 【详解】解：1尺寸， 高9尺就是寸， 所以． 故选：D． 10. 已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，轴交于两点（在的右侧），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时，随的增大而增大 C. 当四边形为平行四边形时， D. 若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，平行四边形的性质，根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到A正确；当顶点运动到轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出B正确；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，判断出C正确；当顶点在点时，能取到最小值，当顶点在点时，能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，即可判断D不正确． 【详解】解：点，的坐标分别为和， 线段与轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ，顶点在轴上时取“”，故A正确； 抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， 当时，一定有随的增大而增大，故B正确； 令，则， ， 根据顶点坐标公式， ， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得，故C正确； 若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则， 抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为， 点的横坐标最大值为，故D不正确； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，18分） 11. 代数式有意义时，x应满足的条件为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义时， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的基本方法，包括提公因式法和公式法（平方差公式）的综合运用，解题的关键是先提取公因式，再对剩余部分运用平方差公式继续分解． 先观察多项式，发现各项都含有公因式提取公因式后得到再观察括号内的式子它符合平方差公式的形式，其中进而分解得到最终结果． 【详解】解： 故答案为： ． 13. 如图，已知菱形的对角线，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相平分可得，然后求出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后根据菱形的周长公式计算即可得解． 【详解】四边形是菱形， ∴，， 点是的中点， 是的中位线， ∴， 菱形的周长； 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键． 14. 若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，二元一次方程组，解题的关键是掌握：是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．先把方程组的两个方程相加得到，则，从而得到，再根据根的判别式的意义得到，则可求出的值，然后计算的值． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴， 即的值为． 故答案为：． 15. 如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据三视图还原几何体，勾股定理，弧长等知识．熟练掌握根据三视图还原几何体，勾股定理，弧长是解题的关键． 由三视图可知，该几何体为圆锥，由勾股定理可得，圆锥的母线长为，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥， 由勾股定理可得，圆锥的母线长为， ∴， 解得 ，， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为4，点为射线上一动点，连接、，在上取一点E，使，连接． （1）求___________． （2）则的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，证明是解题的关键． （1）证明得到，由正方形的性质得到，则，据此可证明，得到； （2）由相似三角形的性质得到，则，当有最小值时，有最小值；故当点E在线段上时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值； 如图所示，取中点O，连接， ∵，O为中点， ∴， ∵， ∴当点E在线段上时，有最小值，最小值为的值， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分，来确定出不等式组的解集． 【详解】解：∵ ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 18. 如图，，过点作，垂足为，在边上，，．求证：． 【答案】 证明：， ∴， 又， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先证明四边形是矩形得，进而可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】略 19. 2025年，是中国共产党成立第104周年，意义非凡．阳光中学为了解本校学生党史知识的掌握情况，组织了有关党史知识的竞答活动，并随机抽取了30名同学的成绩，形成了如下的调查报告．请根据调查报告，解答下列问题： 课题 阳光中学学生对党史知识掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 阳光中学学生 数据的整理与描述 分组 成绩（分） 频数 各组总分（分） A 5 325 7 525 n 950 7 660 调查结论 … （1）上述表格中，_____，所抽取学生成绩的中位数落在_____组； （2）若该校有1200名学生参加了此次竞答活动，估计成绩不低于90分的学生有_____名； （3）若此次活动共有4名同学满分，其中3名女生，1名男生，从中随机抽取两位同学参加市级比赛，求抽到的学生正好是一男一女的概率． 【答案】（1），（2）名（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，频数分布直方图，求个体，中位数，用样本估计总体等相关知识，掌握数据分析能力是解题的关键． （1）用总体减去，，组的人，即可求出组的人，再根据中位数的定义求解即可； （2）用样本估计总体即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：（1）由题意知， 一共名同学，从小到大排列后，中位数为第位和第位数的平均数， ，， 所抽取学生成绩的中位数落在组， （2）（名）， 答：估计成绩不低于分的学生有名； （3）依题意，男同学用表示，女同学用、、表示．故列表法如图所示： 由表知，共有种等可能结果，其中抽取的名同学，恰好是一男一女的有种结果， 所以抽取的名同学，恰好是一男一女的概率为． 20. 数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． （1）嘉嘉：求的最小值； （2）琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 【答案】（1）的最小值是． （2）整数的值为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减、配方法的应用、分式的化简以及分式值为正整数的条件．熟练掌握整式的运算法则、配方法、分式的化简方法是解题的关键． （1）先求出的表达式，再将其化为顶点式，根据二次函数的性质求出最小值． （2）先求出的表达式，再根据其为正整数以及为整数来确定的值． 【小问1详解】 解： ∴当且仅当，即时取等号，的最小值是． 【小问2详解】 解： ∵分式有意义时，分母不为，即，解得． 当时，． ∵的值为正整数，为整数． 当，即时，； 当，即时，． ∴整数的值为或． 21. 某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚．如图所示，遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端离地高为米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度米． （1）如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离； （2）如图2，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，在中利用正弦的定义即可求解； （2）过点作于点，延长交于点，利用勾股定理求出米，通过证明四边形是矩形，得到米，米，进而得到的长，在中利用正切的定义求出，利用线段的和差即可求出的长． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则， 在中，， （米）， 答：遮阳棚上的点到墙面的距离为米． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，延长交于点， 由（1）得，米， 米， 米， ， 四边形是矩形， 米，米， 米， 在中，， （米）， 米． 答：阴影的长为米． 22. 下面是勤学小组项目化学习的方案，请仔细阅读并帮助其完成方案． 项目主题：探秘饮水机工作程序 项目背景：我校在教学楼内安装了某型号饮水机．我们组的同学们以探秘饮水机工作程序为主题展开了项目化学习． 驱动问题：该饮水机中水温随通电时间的变化如何变化？ 设计方案：查阅资料，收集数据；数据分析，建立模型；求解模型，解决问题． 实施方案： （1）查阅资料得知该型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程． 按照方案展开调查，收集了如下数据． 通电时间（） 水温（） （2）分析数据：观察上述表格中的数据，并在右面的平面直角坐标系中描点连线，由此可知饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的_________函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的_________函数；（选填“一次”或“反比例”或“其它”） （3）解决问题： ①第一次加热过程中与的函数表达式为___________； 第一次水温下降过程中与的函数表达式为_______________； ②调查了解到以上的水需求较大，该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为_______． 【答案】（）画图如下： 一次，反比例； （）①，；② 【解析】 【分析】（）根据表格数据描点连线即可画出图象，进而根据图象即可求解； （）①利用待定系数法解答即可；②分别求出时一次函数和反比例函数对应的时间，相减即可求解； 本题考查了一次函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：（）画图如下： 由函数图象可知，饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的一次函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的反比例函数， 故答案为：一次，反比例； （）解：①设一次函数表达式为，把，代入得， ， 解得， ∴第一次加热过程中与的函数表达式为， 设反比例函数表达式为，把代入得，， ∴， ∴第一次水温下降过程中与的函数表达式为， 故答案为：，； ②把代入得，， 解得； 把代入得，， ∴； ∵， ∴该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为， 故答案为：． 23. 作图与证明 如图，已知是的直径，点C是上的一点，过点B作的切线，与的延长线交于点D，切点为B． （1）实践与操作 利用尺规按下列要求作图，并在图中标出相应的字母．（保留作图痕迹，不写做法） ①作的中点E． ②连接并延长与交于点F． 探究发现 （2）试猜想与有何数量关系，并证明你的结论． （3）若，，求的直径． 【答案】（1）①如图所示，点E即为所求； ②如图所示，点F即为所求； （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）①作出的角平分线，交于点E，点E即为所求；②根据题意作图即可； （2）根据是直径，得出，根据平分，得出，证明，即可求证； （3）根是的切线，得出，则，推出，根据等腰三角形的性质得出，即可求出，最后根据勾股定理即可求出直径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直径， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—作角平分线，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是掌握在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等；直径所对的圆周角为直角；等角的三角函数值相等；等腰三角形三线合一；勾股定理． 24. 已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，轴上的点的横坐标为，且，为坐标原点． （1）若，，且． ①求抛物线的解析式； ②过点作轴与抛物线相交于点，连接，，，的面积记为，的面积记为，当时，求点的坐标； （2）若点，射线上一点，，当取得最小值为时，求的值． 【答案】（1）①；②点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）①利用待定系数法求解即可；②求出点，，．可得方程．解得，（舍）．即可得到答案； （2）在右侧作等边，与轴相交于点，连接，．当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．得到．则，，．设抛物线解析式为，把代入，解得． 【小问1详解】 解：①， 点的坐标为，抛物线解析式为． ， ． ． 抛物线与轴相交于点， ，解得． 抛物线解析式为． ②抛物线与轴相交于点， 当时，． 点的坐标为． 如图，过点作，与相交于点． ， ．．． ． 点为的中点．设直线的解析式为， ，解得． 直线的解析式为． 点的横坐标为，轴与抛物线相交于点， 点，，．可得方程． 解得，（舍）． 点的坐标为． 【小问2详解】 如图，在右侧作等边，与轴相交于点，连接，． ，． 点，点，点， ，，． 在中，， ． ， ． 又， ． ，．． 是等边三角形． ． ． 当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．． 在中，． ，解得． ，，． 设抛物线解析式为， 把代入，解得． 的值为． 25. 在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，，求的度数； （2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： （3）如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）利用，，得出是等边三角形，得出．由旋转得，则可求出，再利用外角即可求解； （2）连接，，利用，，得，证明，得，，得出，再证明，得出，可得，，再通过点是的中点，和点是的中点，证明，，通过证明是等腰直角三角形，即可得出； （3）取中点，中点，连接，，，通过证明，得出，由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，即点和点重合时，最小， 此时，由翻折可知，则点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，此时，连接，过点作于点，过点作于点，证明，得出，，通过证明，得出，，再计算出，，即可求出，则，通过，求出， 可求出，则利用即可求出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取中点，中点，连接，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线， 即点和点重合时，最小， 此时如图， 由翻折可知， ∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值， 此时如图，连接，过点作于点，过点作于点， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考数学适应性训练 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（ ） A. B. C. D. 3 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小马），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为10cm的正方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向正方形区域内掷点：通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.65左右，由此她估计此不规则图案的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 5. 代数式与的值相等，则的值为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 6 6. 已知矩形中，，，若以为直径的圆与边有交点，则与满足的关系为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 C. 相似三角形的面积比等于相似比 D. 在中，若，则是直角三角形 8. 反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，轴交于两点（在的右侧），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时，随的增大而增大 C. 当四边形为平行四边形时， D. 若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为5 二、填空题（每小题3分，18分） 11. 代数式有意义时，x应满足的条件为_________. 12. 分解因式：_________． 13. 如图，已知菱形的对角线，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为_____． 14. 若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 15. 如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为_______°． 16. 如图，正方形的边长为4，点为射线上一动点，连接、，在上取一点E，使，连接． （1）求___________． （2）则的最小值为___________． 三、解答题（共72分） 17. 解不等式组： 18. 如图，，过点作，垂足为，在边上，，．求证：． 19. 2025年，是中国共产党成立第104周年，意义非凡．阳光中学为了解本校学生党史知识的掌握情况，组织了有关党史知识的竞答活动，并随机抽取了30名同学的成绩，形成了如下的调查报告．请根据调查报告，解答下列问题： 课题 阳光中学学生对党史知识掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 阳光中学学生 数据的整理与描述 分组 成绩（分） 频数 各组总分（分） A 5 325 7 525 n 950 7 660 调查结论 … （1）上述表格中，_____，所抽取学生成绩的中位数落在_____组； （2）若该校有1200名学生参加了此次竞答活动，估计成绩不低于90分的学生有_____名； （3）若此次活动共有4名同学满分，其中3名女生，1名男生，从中随机抽取两位同学参加市级比赛，求抽到的学生正好是一男一女的概率． 20. 数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． （1）嘉嘉：求的最小值； （2）琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 21. 某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚．如图所示，遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端离地高为米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度米． （1）如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离； （2）如图2，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，，，，） 22. 下面是勤学小组项目化学习的方案，请仔细阅读并帮助其完成方案． 项目主题：探秘饮水机工作程序 项目背景：我校在教学楼内安装了某型号饮水机．我们组的同学们以探秘饮水机工作程序为主题展开了项目化学习． 驱动问题：该饮水机中水温随通电时间的变化如何变化？ 设计方案：查阅资料，收集数据；数据分析，建立模型；求解模型，解决问题． 实施方案： （1）查阅资料得知该型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程． 按照方案展开调查，收集了如下数据． 通电时间（） 水温（） （2）分析数据：观察上述表格中的数据，并在右面的平面直角坐标系中描点连线，由此可知饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的_________函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的_________函数；（选填“一次”或“反比例”或“其它”） （3）解决问题： ①第一次加热过程中与的函数表达式为___________； 第一次水温下降过程中与的函数表达式为_______________； ②调查了解到以上的水需求较大，该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为_______． 23. 作图与证明 如图，已知是的直径，点C是上的一点，过点B作的切线，与的延长线交于点D，切点为B． （1）实践与操作 利用尺规按下列要求作图，并在图中标出相应的字母．（保留作图痕迹，不写做法） ①作的中点E． ②连接并延长与交于点F． 探究发现 （2）试猜想与有何数量关系，并证明你的结论． （3）若，，求的直径． 24. 已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，轴上的点的横坐标为，且，为坐标原点． （1）若，，且． ①求抛物线的解析式； ②过点作轴与抛物线相交于点，连接，，，的面积记为，的面积记为，当时，求点的坐标； （2）若点，射线上一点，，当取得最小值为时，求的值． 25. 在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，，求的度数； （2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： （3）如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $