精品解析：陕西省西安市西北工业大学附属中学2024-2025学年高一上学期开学分班考试数学试题

西工大附中高一分班考数学 一、选择题（每小题3分，共10小题，计30分） 1. 4的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱体 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，垂足为E，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的正比例函数，若y随x的增大而减小，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，在中，，D、E分别在AB、BC上，将沿DE折叠，使点B落在AC边上点F处，若，且，，则AB的长为（ ） A. B. 9 C. D. 15 7. 点是一次函数图象上的点，若点A在第一象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 正方形ABCD和正方形BPQR的面积分别为16、25，他们重叠的情形如图所示，其中R点在AD上，CD与QR相交于S点，则四边形RBCS的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 9. 如图，内接于，为直径，，，D是的中点，与的交点为E，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的y与x的部分对应值如表所示：则下列结论，正确的个数是（ ） x 0 1 3 y 3 3 （1）；（2）当时，y的值随x值的增大而减小；（3）；（4）是方程的一个根. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共4小题，计12分） 11. 分解因式：______. 12. 已知一个正六边形的边心距为，则它的外接圆半径为______. 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点D，延长AD至点C，使，过点A作轴于点B，连接BC，若的面积为6，则k的值为______. 14. 如图，在中，，，，点D、E、F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，若P是AE上一动点，则最小时，的值为______. 三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：. 16. 先化简，再求值：，其中. 17. 如图，已知，将这个四边形折叠，使得点A和点C重合，请你用尺规作出折痕所在的直线.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 18. “千年古都，大美西安”.某校数学兴趣小组就最想去的西安旅游景点随机调查了本校部分学生，要求每位学生选择且只能选择一个最想去的景点（景点对应的名称分别是A：大雁塔；B：兵马俑；C：陕西历史博物馆；D：秦岭野生动物园；E：曲江海洋馆）.下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图： 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求被调查的学生总人数； （2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示最想去景点“D”的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有800名学生，请估计该校学生中最想去兵马俑的人数. 19. 如图，AD是的中线，于点F，，交AD的延长线于点E.求证：. 20. 周末，李优陪家人去某湿地公园游玩，他看到公园湖中有A、B两个小亭，想利用自己所学的数学知识知道A、B之间的距离，于是他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道上进行测量.他首先选择了一个观测点M，测得亭A在点M的北偏东30°，亭B在点M的北偏东60°；再由点M沿小道向东走60米，到达N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向；继续向东走30米到达Q点处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向.根据以上测量数据，请你帮李优计算湖中A、B两个小亭之间的距离. 21. 在打造青山绿水，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金/单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数. （1）设租用A型客车x辆，租车总费用y元，求y与x的函数关系式； （2）若要使租车总费用不超过19720元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 22. 2018年大唐芙蓉园新春灯会以“鼓舞中华”为主题，既有新年的味道，又结合一带一路展示了丝绸之路古今文化经贸繁荣的盛况.李懿菲的爸爸买了两张门票，她和哥哥两人都想去看，可是爸爸只能带一个人去，于是读一年级的哥哥提议用他们3人吃饭用的彩色筷子做游戏（筷子除了颜色不相同，其余都相同），其中李懿菲的筷子颜色是红色的，哥哥的是银色，爸爸的是白色.将3人的3双筷子全部放在一个不透明的筷篓里摇匀，李懿菲随机从筷篓里取出一根，记下颜色后放回，然后哥哥同样从筷篓里取出一根，若两人取出的筷子颜色一样则李懿菲去，若不同则哥哥去. （1）请用树状图或列表法求李懿菲去大唐芙蓉园的概率； （2）这个游戏公平吗？请说明理由. 23. 如图，在中，连接AC，作的外接圆，延长EC交于点D，连接BD、AD，BC与AD交于点F，. （1）求证：AE是的切线； （2）若，，求的半径. 24. 定义：如果把一条抛物线绕它的顶点旋转得到的抛物线我们称为原抛物线的“孪生抛物线”. （1）求抛物线的“孪生抛物线”的表达式； （2）若抛物线的顶点为D，与y轴交于点C，其“孪生抛物线”与y轴交于点，请判断的形状，并说明理由； （3）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴正半轴的交点为A，那么是否在其“孪生抛物线”上存在点P，在y轴上存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 25. （1）问题提出：如图1，和均为等腰直角三角形，且，，，连接、，求的值； （2）问题探究：如图2，在中，，，，过点A作，点是射线上一动点，连接，作交线段于点，求的最小值； （3）问题解决：如图3，四边形，，，，.求的最大值； （4）分班点题：如图4，四边形，，，，.求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西工大附中高一分班考数学 一、选择题（每小题3分，共10小题，计30分） 1. 4的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解即可. 【详解】4的平方根是. 故选：C. 2. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱体 【答案】A 【解析】 【分析】结合三视图的特征求解即可. 【详解】由主视图和左视图可知该几何体为柱体，再由俯视图可知该柱体为三棱柱． 故选：A. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据代数式的运算逐项分析判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，. 故选：D. 4. 如图，，，垂足为E，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平行线性质求出与互补的角，再根据直角三角形两锐角互余求出. 【详解】因为，根据两直线平行，同旁内角互补， 与是同旁内角，已知，所以， 由于，所以 ， 在中，根据三角形内角和为，则. 故选：A. 5. 关于x的正比例函数，若y随x的增大而减小，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义及性质求解即可. 【详解】由题意，，解得. 故选：B. 6. 如图，在中，，D、E分别在AB、BC上，将沿DE折叠，使点B落在AC边上点F处，若，且，，则AB的长为（ ） A. B. 9 C. D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠得到，设，可得，结合勾股定理可得，再由可得，进而得到，结合平行的性质列方程求解即可. 【详解】由题意，， 在中，设，则，， 由，则，解得， 所以，， 因为，所以，则， 所以，则， 即，解得. 故选：C. 7. 点是一次函数图象上的点，若点A在第一象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点满足函数解析式可以将用表示，点在第一象限可得到范围，进而求出的范围. 【详解】因为点是一次函数图象上的点， 所以，即. 因为点在第一象限，所以，解得， 所以，所以， 即的取值范围为. 故选：B. 8. 正方形ABCD和正方形BPQR的面积分别为16、25，他们重叠的情形如图所示，其中R点在AD上，CD与QR相交于S点，则四边形RBCS的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得正方形ABCD和正方形BPQR的边长分别为4、5，结合勾股定理可得，可得，再结合可求得，进而求解即可. 【详解】因为正方形ABCD和正方形BPQR的面积分别为16、25， 所以正方形ABCD和正方形BPQR的边长分别为4、5， 在中，，则，即， 而， 所以， 则，可得， 则，即，则， 所以四边形RBCS的面积为. 故选：D. 9. 如图，内接于，为直径，，，D是的中点，与的交点为E，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用圆中弧中点的性质得出垂直关系和线段相等，再通过中位线定理求出相关线段长度，最后根据相似三角形对应边成比例求出的值. 【详解】如图连接，交于点， 是的中点， ，， ， ， 是的中位线， ， 为直径， ，， ， ， ， ， ， ， . 故选：A. 10. 二次函数的y与x的部分对应值如表所示：则下列结论，正确的个数是（ ） x 0 1 3 y 3 3 （1）；（2）当时，y的值随x值的增大而减小；（3）；（4）是方程的一个根. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】通过题设数据易得，，进而结合二次函数的性质判断各选项即可. 【详解】由题意，将代入函数解析式， 得，解得，则， 则，故（1）正确； 而函数的对称轴为，开口向下， 则时，y的值随x值的增大而增大， 时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误； 由于函数的对称轴为， 则和对应的函数值相等， 则，故（3）正确， 当时，，即 则是方程的一个根，故（4）正确. 故选：B. 二、填空题（每小题3分，共4小题，计12分） 11. 分解因式：______. 【答案】 【解析】 【分析】由公式法可分解因式. 【详解】. 故答案为： 12. 已知一个正六边形的边心距为，则它的外接圆半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】在由边心距、外接圆半径与正六边形的边的一部分构成的直角三角形中，利用三角函数关系可求解外接圆半径. 【详解】如图在中，，， 所以. 故答案为：2 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点D，延长AD至点C，使，过点A作轴于点B，连接BC，若的面积为6，则k的值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】设点，可得，，再结合可得，进而结合的面积列方程计算即可. 【详解】设点，则，， 由，则， 则，即，解得. 故答案为：4. 14. 如图，在中，，，，点D、E、F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，若P是AE上一动点，则最小时，的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】如图连接，则BD与AE交点为P，连接PF，过P做，过E做，设，由题可得，从而可得FB，PJ，即可得答案. 【详解】因F，D关于AE对称，则， 如图连接，则BD与AE交点为P，连接PF，过P作，过E作. ，由题可得， 则，. 又，则. 又，则，从而. 由题，则，从而， 则.又易得， 则. 又， 则. 故答案为： 三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：. 【答案】0 【解析】 【分析】由根式，绝对值，幂的运算性质，结合特殊三角函数值可得答案. 【详解】 16. 先化简，再求值：，其中. 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差和完全平方公式化简，再代值计算即可. 【详解】 ， 当时， 原式. 17. 如图，已知，将这个四边形折叠，使得点A和点C重合，请你用尺规作出折痕所在的直线.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，直线即为所求.    【解析】 【分析】根据轴对称的性质作出线段的垂直平分线即可得． 【详解】如图所示，连接， 打开圆规，使两脚间距离大于线段长度的一半（确保后续两弧能相交）， 以点为圆心，画两段弧，分别交线段的上方和下方， 保持圆规两脚间距离不变， 以点为圆心，画两段弧，分别与前面的步骤中的两段弧交于两点， 用直尺连接，则直线即为所求. 18. “千年古都，大美西安”.某校数学兴趣小组就最想去的西安旅游景点随机调查了本校部分学生，要求每位学生选择且只能选择一个最想去的景点（景点对应的名称分别是A：大雁塔；B：兵马俑；C：陕西历史博物馆；D：秦岭野生动物园；E：曲江海洋馆）.下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图： 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求被调查的学生总人数； （2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示最想去景点“D”的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有800名学生，请估计该校学生中最想去兵马俑的人数. 【答案】（1）人 （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）对于求被调查学生总人数，我们可以根据已知部分人数及其所占比例来计算总人数，这里用到比例关系的概念； （2）补全条形统计图需要先求出各部分的人数，再根据人数画出图形。求扇形圆心角的度数，根据圆心角的度数等于该部分占总体的比例乘以；  （3）估计全校想去兵马俑旅游的人数，是利用样本中想去兵马俑的比例来估计总体的情况. 【小问1详解】 被调查的学生总人数为（人）； 【小问2详解】 最想去D景点的人数为：(人)， 补全条形统计图为： 扇形统计图中表示“最想去景点“D”的扇形圆心角的度数为. 【小问3详解】 ，所以估计“最想去景点兵马俑”的学生人数为280人. 19. 如图，AD是的中线，于点F，，交AD的延长线于点E.求证：. 【答案】 因为AD是的中线，所以， 由，， 则，又， 所以，则， 又， 则. 【解析】 【分析】先证明，可得，进而求证即可. 【详解】略 20. 周末，李优陪家人去某湿地公园游玩，他看到公园湖中有A、B两个小亭，想利用自己所学的数学知识知道A、B之间的距离，于是他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道上进行测量.他首先选择了一个观测点M，测得亭A在点M的北偏东30°，亭B在点M的北偏东60°；再由点M沿小道向东走60米，到达N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向；继续向东走30米到达Q点处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向.根据以上测量数据，请你帮李优计算湖中A、B两个小亭之间的距离. 【答案】 【解析】 【分析】如图作，由题可得，然后由勾股定理可得答案. 【详解】由题可得. 又， 则， . 如图做，则四边形为矩形， ，， 则. 21. 在打造青山绿水，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金/单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数. （1）设租用A型客车x辆，租车总费用y元，求y与x的函数关系式； （2）若要使租车总费用不超过19720元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 【答案】（1），其中，x为正整数； （2）有三种方案，租A车21辆，B车41辆最省钱. 【解析】 【分析】（1）由题可得租用B型客车辆，然后由题可得关系式； （2）由题可得关于的不等式，然后结合为正整数可得答案. 【小问1详解】 由题可得租用B型客车辆， 则， 其中，， 结合为正整数，则. 综上，，其中，x为正整数； 【小问2详解】 由（1）分析，， 结合x为正整数，且，则可取21，22，23， 所以一共有三种租车方案：第一种方案租A车21辆，B车41辆；第二种方案租A车22辆，B车40辆；第三种方案租A车23辆，B车39辆； 因的函数值，随着x增大而增大， 所以当x取21时租车总费用有最小值为：，即租A车21辆，B车41辆方案最省钱. 22. 2018年大唐芙蓉园新春灯会以“鼓舞中华”为主题，既有新年的味道，又结合一带一路展示了丝绸之路古今文化经贸繁荣的盛况.李懿菲的爸爸买了两张门票，她和哥哥两人都想去看，可是爸爸只能带一个人去，于是读一年级的哥哥提议用他们3人吃饭用的彩色筷子做游戏（筷子除了颜色不相同，其余都相同），其中李懿菲的筷子颜色是红色的，哥哥的是银色，爸爸的是白色.将3人的3双筷子全部放在一个不透明的筷篓里摇匀，李懿菲随机从筷篓里取出一根，记下颜色后放回，然后哥哥同样从筷篓里取出一根，若两人取出的筷子颜色一样则李懿菲去，若不同则哥哥去. （1）请用树状图或列表法求李懿菲去大唐芙蓉园的概率； （2）这个游戏公平吗？请说明理由. 【答案】（1） （2）不公平，理由： 由（1）知，李懿菲去大唐芙蓉园的概率为， 哥哥去大唐芙蓉园的概率为， 由于两者的概率不相同，因此这个游戏不公平. 【解析】 【分析】（1）设李懿菲的筷子为红1，红2，哥哥的筷子为银1，银2，爸爸的筷子为白1，白2，进而画树状图或列表，进而求解即可； （2）求出哥哥去大唐芙蓉园的概率，进行比较即可求解. 【小问1详解】 设李懿菲的筷子为红1，红2，哥哥的筷子为银1，银2，爸爸的筷子为白1，白2， 画树状图如下： 或列表如下： 红1 红2 银1 银2 白1 白2 红1 红1红1 红2红1 银1红1 银2红1 白1红1 白2红1 红2 红1红2 红2红2 银1红2 银2红2 白1红2 白2红2 银1 红1银1 红2银1 银1银1 银2银1 白1银1 白2银1 银2 红1银2 红2银2 银1银2 银2银2 白1银2 白2银2 白1 红1白1 红2白1 银1白1 银2白1 白1白1 白2白1 白2 红1白2 红2白2 银1白2 银2白2 白1白2 白2白2 两人取的筷子共有36种结果，取出的筷子颜色一样有12种结果， 则李懿菲去大唐芙蓉园的概率为. 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，连接AC，作的外接圆，延长EC交于点D，连接BD、AD，BC与AD交于点F，. （1）求证：AE是的切线； （2）若，，求的半径. 【答案】（1） 证明：因，则，连接OA，由垂径定理得. 又四边形为平行四边形，则，从而， 所以AE是的切线； （2）. 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）注意到，据此可得，设与BC交于H，由题可得，设的半径为R，则. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因四边形为平行四边形，则， 又由（1）得，则，从而. 又，则， 即. 又，则，. 设与BC交于H，则， 又，则. 设的半径为R， 则， 则. 24. 定义：如果把一条抛物线绕它的顶点旋转得到的抛物线我们称为原抛物线的“孪生抛物线”. （1）求抛物线的“孪生抛物线”的表达式； （2）若抛物线的顶点为D，与y轴交于点C，其“孪生抛物线”与y轴交于点，请判断的形状，并说明理由； （3）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴正半轴的交点为A，那么是否在其“孪生抛物线”上存在点P，在y轴上存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）为等腰直角三角形，理由如下： 因为抛物线， 则顶点坐标为，且， 所以其“孪生抛物线”的表达式为， 则，即， 过点作轴，垂足为，则，， 所以，又， 则为等腰直角三角形. （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据题设定义求解即可； （2）根据题意可得，，，过点作轴，垂足为，进而得到，，即可得到，，进而求解； （3）先得到，抛物线的“孪生抛物线”的表达式为，进而分类讨论求解即可. 【小问1详解】 抛物线化为顶点式为，顶点坐标为， 由于抛物线绕它的顶点旋转后, 顶点不变，开口变为向下， 则所得抛物线的表达式为. 【小问2详解】 为等腰直角三角形，理由略； 【小问3详解】 由抛物线， 令，令或，则， 而抛物线的“孪生抛物线”的表达式为. 若为平行四边形的对角线，如图， 因为均在轴上，当以点A、C、、Q为顶点的四边形为平行四边形时， ，且， 所以轴，则； 若为平行四边形的边，点在轴左侧，如图， 因为均在轴上，当以点A、C、、为顶点的四边形为平行四边形时， ，且， 而的横坐标为， 把代入得，，则； 若为平行四边形的边，点在轴右侧，此时由平行四边形的性质可知， 点第一种情况相同. 综上所述，存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， 而点的坐标为或. 25. （1）问题提出：如图1，和均为等腰直角三角形，且，，，连接、，求的值； （2）问题探究：如图2，在中，，，，过点A作，点是射线上一动点，连接，作交线段于点，求的最小值； （3）问题解决：如图3，四边形，，，，.求的最大值； （4）分班点题：如图4，四边形，，，，.求的最大值. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）； 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，则可证，再利用相似三角形性质即可得解； （2）由题意可得点，，，四点共圆，再证明，利用相似三角形性质可得，从而可由的长度最小值得到的最小值； （3）作，可得，利用相似三角形性质可证得，再结合勾股定理与三角形两边之和大于第三边得解； （4）结合（3）中所得，作于点，再利用三角形两边之和大于第三边得到中以为底的高的最大值，即可得面积最大值. 【详解】（1）由等腰直角三角形性质可得、，， 又， ， ，； （2），，， ，， ， 点，，，四点共圆， ，且， ，， ， 当的长度最小时，的长度最小， 即当时，的值最小， 此时，的最小值为； （3）如图，作，交射线于点， 取中点，连接，，，， ，， ，， ，， ，， ，， , 点是中点，， ， ，当、、三点共线时取等； （4）在（3）的基础上作于点，连接， 则， 设中以为底的高为， 则， 当、、三点共线时取等， 则的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $