微专题6 相似三角形的基本模型-【探究在线】2024-2025学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版）

微专题6相似三角形的县本模型 很型①A字型及其变形 3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， 十模型展示+++++++ 连结CD、BE交于点O,且DE∥BC,OD=1,OC (1)A字型 =3,AD=2,则AB的长为 如图①，已知：DE∥BC 结论：△ADEO△ABCAD-AE=DE A.3 B.4 C.6 D.8 D 图① 图② (2)反A字型 第3题图 第4题图 如图②，已知：∠AED=∠C 地老人eAA品能-能 4.如图，在平行四边形ABCD中，过点B的直线 与AC、AD及CD的延长线分别相交于点E、 (3)反A字型（共边共角） 如图，已知：∠ABD=∠C F,G.若BE=6,EF=2,则FG等于 结论：①△ABD∽△ACB: ®0肥-肥 像型③旋转型 模型展示++++++ ③AB=AD·AC. 手拉手模型—相似 1.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=2,AB=5, 条件：如左图，在△AOB中，CD∥AB,将 △OCD旋转至右图位置，旋转角∠AOC BC=10,则DE= ( ∠BOD,旋转角的对边AC,BD称为“拉手线” A.4 B.5 C.6 n号 结论：知右图，△OCDC∽△OAB台△AOC CP△BOD,且延长AC交BD于点E,必有 ∠BEC=∠BOA. 难点：复杂图形中寻找“手拉手”模型。 突破口：①找旋转角：②找“拉手线”： ③“手拉手”构造相似三角形 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，AD是中线，BC=8,∠B= ∠DAC,则线段AC的长为 A.4 B.4√2 C.6 D.4/3 像@②8字型及其变形 豆如图：在△ABC中，点D在BC上，8怎 +模型展示++++中中++ 特征：有一组隐含的等角（即对顶角相等）. ∠BAD=∠CAE. (1)8字型 (1)求证：△BAC△DAE: 如图①，已知：AB∥CD. 结论：△AOB∽△COD=A9-B0-AB (2)当∠B=40时，求∠ACE的大小. CO DO CD D 图① 图② (2)反8字型 如图②，已知：∠A=∠D. 站论：△A0Bn△D0C一识-0-把 61探究在线 九年级数学（上）·HD 8.如图，在△ABC中，AB =AC=5,BC=7,D、E 分别为BC、AC边上的 B 点，∠ADE=∠B,当BD=1时，AE的长为 德型④双垂直型 9.(中考·邵阳)如图，CA⊥AD,ED⊥AD,B是 +模型展示+++ 线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB=8, 如图，在Rt△ABC AC=6,DE=4. 中，CD为钟边AB上的 高，则有△ACD△ABC (1)证明：△ABCp△DEB: n△CBD,CD=BD· A (2)求线段BD的长. AD,BC=BD·AB,AC=AD·AB. 十丰十中■十中十中+++中本十中m■中中中中十+十 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB 上的高，AD=9,BD=4,那么CD=,AC= 第6题图 第7题图 7.如图，点P、P、P、P,均在坐标轴上，且 PP2⊥PP3,PP⊥PP.若点P1、P2的坐 标分别为(0，一1)，（一2,0），则点P,的坐标为 模电⑥十字型 +模型展示+一 稳型⑤一线三裤角型 如图，在矩形ABCD中，若BD⊥CE,则 模型展示+++++++++++++ △CDG∽△DBA∽△DEG∽△BCGO △BDC∽△CED. (1)如图①，△CAPc∽△PBD(此模型又 叫“三垂型”)： (2)如图②、图③，有以下结论： ①△CAP△PBD: ②连结CD,当点P为AB的中点时， △CAPn△PBD∽△CPD. 10.如图，在矩形ABCD中，E是 BC的中点，DF⊥AE,垂足为 F.若AB=6,BC=4,则DF的 图D 图② 长为 图③ 第23章622△AD是等观三角原，北博况时论， 学上雨法，一子或8，四与△A的道平标. AP=W,2F⊥AE=国 第3莱时相根三身形的料定发理3 若BD=AD.则∠LD=∠BAD= AD=AE=ED∠AD=r 基罐在酸 AD是△A议的完美分到线， 33,1.于相红三他形的判定 《2证明：由山，得C1ED L.A之DxC ,五AD0△BC∴.∠CAD=∠i=4 第1课时相位三角形的判定定厘1 ,∠G》=∠AGE. ,相等，果由划下， .∠A=∠在AD中∠A作=s 基健在线 若T上AD..∠AFr=.∠A=∠A月 若A移=D.渊∠D=∠A带= 部臣品 :AD是△A夜的完美分别值 3,A名C1D4,∠A印=∠m若室不理一1 ∠G-∠AF,∠G=∠E 4△EHG△A △ACa△DE A△AC△H,C.∠CAD=∠H= 、F河边用A段D是平行料造率 .∠AC'=∠wE CA=∠D+∠CA='+=I ∴AD8E,∠D=∠B, 们，油海△nnaA…品品需 .∠AD=∠r 若A程=AD.题.∠B=∠ADH= /A产=∠元 5,AH内D平H,理由复下： :AD是△A这的完美分刻线 △APn△AL 6AD0o△B.MC.,∠4A=∠I=2 ,【1证明，“AD是料边上的高. a--m带-瓷-品 ∠AB=∠AD+∠C=4+∠C442 &∠BDM=r. 部-语能 器-帶怨：AAB△C ,不存雀AB=A0. 女∠AC=', 信上所询，∠机C的霍数为4误11 ∴∠DA=/A亡 ∠AD-∠时·AI 第多课时潮蚁三角形的判定定理 s.H 阶毁圈坪4123,1一23.8,1】 又∠作为金秀角.六△Ai△A 蒂腿在齿 便力在硬 ,A.D3,日4.A3,A47,13 由(1)年.△A8D△CH4: 7,&B丝，机4 1%581L后12.34=2y成2r=8y10 鼎发吧 1,AD·AB=A上+A+∠A方公共角 t1.DAACF△GA 13.t04869 △ABE△D4 =3, 理售设正方形A属T.CD儿下.厂川的边长为4，则 帶-晨-名EE2 ∠-∠C, 能力在镇 △AF的每边华分网为M=互a:F=,AF=a: 又∠BFD=∠CFE: a%贺-子 &.C0.D1. 二△FA△C △的三边长分圳为-，24，=，=D 1L15用中存在的一对相包三角移为AD瓜△DAC 风皮王方形的边长为a,则AD=T== 2m-支A-子×- 正明：：1-A, Q是4》的中盛，=3N: AC=AB议=4十=15， 6ZDZB-∠A Dq-0o-2士，PC-2 是-瓷-恶nm .AA议是直角三角用，秀由是， F∠Aw-2∠，∴∠D-∠AM=∠ 得晋 H△F△CA,h∠1=∠MF月 中学早-， LD=∠k∠0lB=∠C.△DA△ XV∠D∠C的， ∠1+∠t∠CAF+∠2=∠ACB= 之》，利精是由边长为】爵小正为唐里流售： 周4=1一4，A=2头一3=4（一， ,△ADQ么QCH 2A=2,C-5,DB=,M=2 mC=干下-N,A8=且 e+6十r=星，.1将-4+2-a+40=2 北号我号 =入∴#=50=1“4 △DA△4C,二.IA=M 能力难线 △xaiC-震-量-要审- 十=十=到= uDA=lt7,解月DL/T, o,De号 渊在AB上我品一AP.连诗风 品△LC是直角区角用， 4=,.A=V1司 每副所希 15.l1量.A8C,∠A-∠下 12【1证明，：∠8PA=11 1LI)整明.”∠AE∠B.∠0LF=∠AC ()像超点，门中弟围 WD店=FE,∠A=∠EF. ∠，AP+∠AP=16-1=15 ,∠ADF=∠GC 同锋是由边长为1傍小正方用加减的 △A2△4事 T∠ABP+∠BP=∠BC=45, aAi△△QR-得 0-器 在△中，-下=5，=T平=而， 六∠AIP+∠AP=∠AIP+∠C8P ,ADFo△G 出=3. ÷∠HAP=∠C -.m4D-1Cf- 在△中，P=1,-√个中下=2， ZHA-∠PC.△IP△8PA 2△DF8Ma品0-能-士部-t AADE显△MFE,A下=a 空YAcLnc,∠A=4, ==, 佑属在线 ∴.A=DAD=1+3= ∴△AC中是等罐直角三角形，AB-夏 14,《1》△7A△A入潭自下 路瓷-震-aw△d 14,I在△，Am中， :△CPh△IA, 当=1时那1,5n=2m 拓展在镜 5∠=.AB=1n.=8 甘ABw3(=4m: 五1△A椒之△D球，由三造对皮城比例可如 ==, 都器是最凉 答聚系理一，△月书D.△PPF,△共P,D,△”PD 59宁0-4 2T=4,期BP=y区a,AP=a, 器器告 义∠F=∠A=r.△Hfc△山 △片B片，△只D中.选2个厚可， ,∠AP-3-时==， 中在在上9便后总 《2)在运动过程中，4E-L以m示=2数 微专题日相银三角形的基本模型 A-干m2十石5a I.A Z.B 3,C 中 荒- A-im-4m,一焉- t1置明∠4白=∠C1 父∠月Fm∠Ak)=, .∠D+∠DM=∠C+∠DC,p∠iC-∠n4E 杨展霍蜂 ,AE△L队∠)-∠A8 点r在r上，ma时品胃 1我1)：△A?有△，CDE均是等限直角三角用 又A附+∠'-0G “器荒 /度，有市-5，- a△Bn△，0.lE ∠AD-∠D-∠ACH=0的'-B= .∠0=，举F⊥a1 1C意直平分ED,AE-A 22 一探究在线·九年吸数学（上）·一 点△iAn△1k,∠1F=∠属 义￥∠4h=∠AE 世∠=40，∠AE= ?E心比△0e%△取"-瑞- 架楼带-畏是器 品△A山D∽△ADE 6,多3，g1,6,0)k3,n :DE0.∴AA悲△A ∴f= 9,(1E明：CA⊥AD,1BLD,HLh2 #-(密 之如因，延民《，交AM的延长线于点P 智荒和-都·山 ∠A=∠4BE-∠D= 9F,∠HM-∠F. 可理项得AF=AF·AC 度8e=4(F之，前8w=25F, ∠C+∠HA-9',∠A+∠DHE, △DA△E2,△HL△F ,同诗形州老D的黄为4： AE·A-4·4汇带-得 ,∠C-∠DIE.AAC△DEm “5一4=，解得=之 4山“情边形D身半行调边题，士∠4一∠ :达A△E六部提 璺兽 HAM⊥C,AN⊥D 活展在转 ,∠AIB=∠AN0= ÷品字地-1 我12如事所第 发：hA-✉2D.CF=红E .△AM△AN 1o,v 又HAf平分∠BAC,∠HM+∠CAM. Z∠CMm∠书A=F2E 有△Wn△AND,n袋-0 23.3.3相银三角形的性质 &Ir-AD·C, 第-都 ∠a-∠1X又：A0-e.- 蒸德在性 YAML',DC,∠D=∠A1B=0 LA1.3414,6 2发31相三角形的 :∠BC-∠DiI ,∠n+∠mAM=∠MAN+∠NAD=. 34=42, 基稻在战 △AM%△ADI 5ADAB-17 ∠AB=∠AHA i∠B-∠1.a△AC, DEYNC 3:∠1=∠， ∠HLE=∠CAF 元自，得∠DF=∠AE=s ,AACA△ADE 1∠1+∠D1-=∠1十∠.M △ABEGACF, :G平分∠A,∴.∠P=∠A图 CF,:升别舞△Aw与AADE的中线 品∠DAE-∠BA (2>由31厢，△An△ADE,AAE么ACF 得000 ǎ△DF么E- 0世提柴…提带 :∠直A-∠A-r.∠AIm-∠NA 657.D4.用队D 品△ADE△LC,∠D=∠乐 @,整明：p岁A,层- H∠FAs∠BFC,,△ARRAACDF w-贸-器臣-焉 △A△临L批-0世-提 ∠Df-∠AF,∠AED-∠A时 Y∠EBF=∠DIC,△EIF△DE 4,博-进结PA, 4∠FC-∠AEn 器 ∠EF=∠BDC, :EP是D的函直平分线： DEW nC,品∠DCF=∠ADE AF DFBF+CF. LEAC PA=PD,∠PDA=∠PAa .AFOA△AED 能力在线 ∠B+∠BAD■∠DC+∠AP a:cm-}c…0-士 5,15.274A D十AB,省E,F无B家海骨 又WAD平#∠I, s,B1:∠A0B=∠B,÷∠HDE=∠A 二登A广=下=下I=AD=科A1, ∠KAD-∠AC∠B-∠C 出儡)-付-十 又出∠cEA=∠DE.△AEo△H A1=(T0= 又∠A℃=∠A.△P△PL AACEABDE, DNi,i∠阳=∠FAG∠4ma=∠AF国 能力在线 -界即PM-m,ePA-PD 山，A2号L1国 “畏脚是 a4a(T瓷带亭“亮- 又W∠DEC=∠BEA.△D△EA因 在△AFD中，D5=A形+AF=处，六DF= 微专置9相假三角形的性质与判定 11.设D=1则F= I.B IA 3.C 4.C 3.B E D 7C 8 C AC “影用EFGH的周共为24， 票-器却成，-m ,EF+H12,E日=12- 国8北 号EHN二，AD4 r十4胡1m △ArfH△4.AP⊥rH 号AB⊥C,5F⊥K,ANF. 荒器 B.1I旺W,:MG平#∠A4C ∠AP=∠AG d△BD△FE-既库若是 ∠AD=∠F花，△AD△FE h∠BF-∠DAF-,EGDE 0-心，丛指若 解料角=，=一（不企幅意，青去， 月用国证△AOAH. 微专题8证比例式或等现式的接巧 +AADPEAADG. =4即Pp= -吉W,PD-}×0×1一0 瓷端十 上这点D作DG京，交AC于点0，照 1由l)p.△A△4G △GFGAICE,△A0△AC ∴∠A求=∠程 5,41)亚睛：D术☆ :ZDE-∠C△n%AC-岩 △LD△M,△ANE△At 经检整口级是家方程的解 器器器 岩名4-游m A0-g-票日A格：N-m你 女么A球与△A:情调长之批是6铝- 器器 东嘴A出的高度为北L 又”国边形ACD是平行国边君， AE8,CA=∠C 女A北-六希-器 陌属在性 ∠Cpf=∠ A■ 灵”点M是的中边， 0A Arn6aE是器 .11日男，”DE平分∠DB交C干点E 品hB=EDN=EN 微专题7利用相权三角形巧证线段的数量和管置关系 ∠ETC=∠BOE E△N70带需-兰， .?DECD△Au:器普H降可得 DEAC- 六∠，A出=∠AED=四 一深究在线·九年Q双学（上）·HD 23