精品解析：上海市松江区东华大学附属实验学校2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

2024学年第二学期期末考试 七年级数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 考生注意： 1．本试卷含五个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 如果，则下列各式中不成立的是( ) A B. C. D. 2. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 直角都相等 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同旁内角互补 3. 如图，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（ ） A. 带①②去 B. 带②③去 C. 带①④去 D. 带①③去 5. 如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE和CD交于点M，则∠AMC的度数为（　　） A. 135° B. 120° C. 105° D. 90° 6. 如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. B. 垂直平分 C. D. 二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满分共24分） 7. 不等式的解集是__________． 8. 直线、相交于点，，那么直线、的夹角为__________． 9. 如图，直线、相交于点，射线，垂足为，如果，那么__________． 10. 如图，已知，，，那么__________． 11. 如图，在中，已知，平分若，则__________． 12. 如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 13. 如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE =______度． 14. 如图，______度． 15 如图，已知与全等，那么__________． 16. 如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 17. 在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是__________． 18. 在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 三、解不等式（组）及其应用（本大题共3题，每小题7分，满分共21分） 19 解不等式：． 20. 利用数轴确定不等式组的整数解． 21. 某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 四、简答题（本大题共3题，每小题7分，满分共21分） 22. 如图，图1是某品牌自行车放置在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中，都与地面平行，，，若，求的度数． 23. 如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 24. 如图，中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． （1）证明：； （2）求证：为等腰三角形． 五、解答题（本大题共2题，每小题8分，满分共16分） 25. 已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． （1）如图（1），如果，证明：； （2）如图（2），过点作，交延长线于点，连接，如果，证明：． 26. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期期末考试 七年级数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 考生注意： 1．本试卷含五个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 如果，则下列各式中不成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质分别进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、当时，由不等式基本性质1得，故此选项不符合题意； B、当时，由不等式基本性质1得，故此选项不符合题意； C、当时，由不等式基本性质3得，故此选项符合题意； D、当时，由不等式基本性质2得，再由不等式基本性质1得，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 2. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 直角都相等 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，先写出各个选项的逆命题，再结合直角的定义、对顶角的定义、有理数的乘方以及平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 3. 如图，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定；根据图形结合选项，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ∵， ∴，故该选项符合题意； B ∵ ∴，故该选项不符合题意； C. ∵ ∴，故该选项不符合题意； D. 根据，不能判断两直线平行，，故该选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（ ） A. 带①②去 B. 带②③去 C. 带①④去 D. 带①③去 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：由①②可确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①②能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以A选项不符合题意； 由②③只能确定原三角形的一个角，则带碎片②③不能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以B选项符合题意； 由①④能确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①④能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以C选项不符合题意； 由①③能确定原三角形的三个角三条边，则带碎片①③能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以D选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE和CD交于点M，则∠AMC的度数为（　　） A. 135° B. 120° C. 105° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠BDC+∠BCD=60°，即可得出答案． 【详解】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形， ∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC， ∴∠ABE=∠DBC， 在△ABE和△DBC中， ， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴∠BAE=∠BDC， ∵∠BDC+∠BCD=∠ABD=60°， ∴∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°， ∴∠AMC=120°． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 6. 如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. B. 垂直平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作法得OC= OF = OG，FG= FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断OF垂直平分CG，则可对B选项进行判断;利用C点与G点关于OF对称得到∠FOG = ∠FOC =30°，则可对A选项进行判断;通过判断△OCG为等边三角形可对C选项进行判断;利用含30度的直角三角形三边的关系得到 OC = 2CM，加上CF> CM，FC= FG，则可对D选项进行判断. 【详解】由作法得OC=OF= OG，FG= FC，则OF垂直平分CG， 所以B选项的结论正确； ∵C点与G点关于OF对称 ∴∠FOG=∠FOC=30°， ∴∠AOG =60°， 所以A选项的结论正确; ∴△OCG为等边三角形， OG = CG， 所以C选项结论正确; 在Rt△OCM中，∵∠COM =30° ∴OC = 2CM， ∵CF > CM， FC= FG， ∴ OC ≠2FG， 所以D选项的结论错误 故选：D. 【点睛】本题考查含30度的直角三角形、线段垂直平分线的判定、尺规作图、三角形的三边关系，等边三角形，熟练应用所学知识点判断是关键，利用尺规作图步骤分析是重点 二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满分共24分） 7. 不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的求解步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）以及不等式的基本性质是解题的关键．本题可通过对不等式进行移项、系数化为1等操作来求解．具体思路为：先将不等式中的常数项移到一边，含未知数的项留在另一边，然后将未知数的系数化为1，从而得到不等式的解集． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：． 8. 直线、相交于点，，那么直线、的夹角为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查邻补角，画出相应的图形进行解答即可． 【详解】解：如图，直线、相交于点O，， 那么直线、的夹角为或， 故答案为：或． 9. 如图，直线、相交于点，射线，垂足为，如果，那么__________． 【答案】117 【解析】 【分析】本题考查垂线，对顶角、邻补角，由垂直的定义得到，求出，由对顶角相等即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案：117． 10. 如图，已知，，，那么__________． 【答案】138 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，易得，则，得到，再根据对顶角相等，得到结果． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，在中，已知，平分若，则__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，解题关键是结合图形理清各角之间的关系． 12. 如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 【答案】##22厘米 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系．熟练掌握三角形的三边关系确定第三边的长是解题的关键． 分两种情况讨论：当腰长为或当腰长为，根据三角形三边关系进行判断能否组成三角形，再求解三角形周长． 【详解】解：当腰长为，则三边为， 此时，不能组成三角形，舍去； 当腰长为，则三边为， 此时，能组成三角形，符合题意， ∴它周长是， 故答案为：． 13. 如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE =______度． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分的定义，根据三角形内角和是180°，角平分线平分角的度数解答即可 【详解】因为，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10° 【点睛】本题的关键是掌握三角形内角和是180度 14. 如图，______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，已知与全等，那么__________． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边所对的角是对应角，由此即可得到答案． 【详解】解：∵与全等，和是对应边， ∴， 故答案为：72． 16. 如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，再由求出，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 17. 在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论，作出图形，是解题的关键． 作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在上时， ， 顶角为； ②点P在上时， ∵， ∴， 如图2，若为顶角， 则顶角； 如图3，若为底角， 取， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为: 或或． 18. 在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 【答案】8或2 【解析】 【分析】此题重点考查直角三角形两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，分两种情况讨论，一是点B、点C在直线l同侧，由于点D，于点E，得，而，，由，，推导出，可根据证明，则，，求得；二是点B、点C在直线l异侧，同理可证明，则，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点B、点C在直线l同侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 如图2，点B、点C在直线l异侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，的长为8或2． 故答案为：8或2． 三、解不等式（组）及其应用（本大题共3题，每小题7分，满分共21分） 19. 解不等式：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为”步骤解不等式即可，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式． 【详解】解： ． 20. 利用数轴确定不等式组的整数解． 【答案】见解析，、、、0 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，根据数轴确定不等式组的解集及整数解． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 将解集表示在数轴上如下： 所以不等式组的解集为， 则其整数解为、、、0． 21. 某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 【答案】最少需要54名七年级学生参加活动 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动，根据要保证垃圾分类助力总次数不少于360次，可列出关于x的一元一次不等式，解得x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为54． 答：最少需要54名七年级学生参加活动． 四、简答题（本大题共3题，每小题7分，满分共21分） 22. 如图，图1是某品牌自行车放置在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中，都与地面平行，，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．根据题意得到，得出，根据三角形内角和定理求出，由得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，都与地面平行， ， ， ， ， ， ． 23. 如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论． 【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在中，点E在上，点D在上，，，与相交于点F． （1）证明：； （2）求证：为等腰三角形． 【答案】（1）证明过程见解答 （2）证明过程见解答 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定． （1）利用证明可证得答案； （2）由（1）易得，进而可求得，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 五、解答题（本大题共2题，每小题8分，满分共16分） 25. 已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． （1）如图（1），如果，证明：； （2）如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质等知识． （1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵，P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 26. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β． 【解析】 【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题； （2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题； ②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题． 【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴∠ABC=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 故答案为：； （2）①． 理由：∵， ∴． 即． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°， 即：∠BCE+∠BAC=180°， ∴α+β=180°， 如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE， ∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°， ∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE． ∴α=β； 综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β． 【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$