专题2.7 一元二次方程（章节复习）知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题-2025-2026学年北师大版数学九年级上册同步培优重难点讲练讲义

专题2.7 一元二次方程（章节复习） （知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 知识梳理 技巧点拨 2 优选题型 考点讲练 5 考点1：由一元二次方程的定义求参数 5 考点2：判断是否是一元二次方程的解 6 考点3：由一元二次方程的解求参数 7 考点4：解一元二次方程一直接开平方法 8 考点5：解一元二次方程—配方法 9 考点6：配方法的应用 11 考点7：根据判别式判断一元二次方程根的情况 13 考点8：根据一元二次方程根的情况求参数 14 考点9：公式法解一元二次方程 16 考点10：因式分解法解一元二次方程 17 考点11：换元法解一元二次方程 19 考点12：一元二次方程的根与系数的关系 21 考点13：传播问题（一元二次方程的应用） 23 考点14：增长率问题（一元二次方程的应用） 24 考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 25 考点16：数字问题（一元二次方程的应用） 27 考点17：营销问题（一元二次方程的应用） 28 考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用） 30 考点19：工程问题（一元二次方程的应用） 32 考点20：行程问题（一元二次方程的应用） 34 考点21：图表信息题（一元二次方程的应用） 37 考点22：其他问题（一元二次方程的应用） 39 考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 40 中考真题 实战演练 42 难度分层 拔尖冲刺 44 基础夯实 44 培优拔高 47 知识点梳理01：一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点梳理02：一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点梳理03：一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点梳理04：解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点梳理05：解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点梳理06：配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 知识点梳理07：解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点梳理08：根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点梳理09：解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点梳理10：根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点梳理11：由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点梳理12：一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 考点1：由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【答案】C 【思路引导】本题考查了解一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 由常数项为2，求出m的值，再结合，即可得到答案． 【规范解答】解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A． B．4 C．2或 D．4或 【答案】C 【思路引导】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，求解可得答案． 【规范解答】解：根据题意可得：， 解得：． 故选：C． 考点2：判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】（24-25九年级上·广东佛山·期末）写出一个以为根的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解成为解题的关键． 以为根写一个一元二次方程即可． 【规范解答】解：以为根写一个一元二次方程可以为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】2025·四川资阳·一模）若是方程的根，则的值为 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，推出，整体代入计算即可得出答案． 【规范解答】解： 是方程的根， 故答案为：1． 考点3：由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·北京·期中）已知a是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意将代入方程中，得到，从而得到，然后代入式子进行计算即可． 【规范解答】解： 是方程的一个根， 将代入方程中， 得：， ， ， 故选A． 【变式训练】（24-25九年级上·重庆·期末）若为方程的一个解，则代数式的值为（   ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 【答案】D 【思路引导】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，根据方程的解得到，把代数式变形后整体代入求值即可． 【规范解答】解：∵为方程的一个解， ∴， 则， ∴， 故选：D 考点4：解一元二次方程一直接开平方法 【典例精讲】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．利用直接开平方法依次判断即可． 【规范解答】解：A.，故方程没有实数根，故选项不符合题意； B. ，直接开平方，得或，得，，故方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意； C. ，解得，方程有两个相等实数根，故选项符合题意； D. ，直接开平方，得或，得，，故方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． (1)的友好方程是___________； (2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； (3)如果的两个根为．求友好方程的两个根． 【答案】(1) (2)1或 (3) 【思路引导】本题考查一元二次方程的解，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“互为友好方程”的定义． （1）直接根据新定义求解即可； （2）设这个公共根为，可得，有，可解得或； （3）由的两个根为，知，故，，即可得的两根为． 【规范解答】（1）解：根据定义的友好方程是； 故答案为：； （2）设这个公共根为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得或； （3）∵的两个根为， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， ∴的两根为． 考点5：解一元二次方程—配方法 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查配方法解二次方程的核心步骤：将二次项系数化为→移项→配方→开平方求解，解题关键在于正确找到配方项的系数，并注意运算符号的处理． （1）先移项得，再将二次项系数化为得，然后配方求解即可； （2）先将方程变形为，再将二次项系数化为得，然后配方求解即可． 【规范解答】（1）解：移项，得， 两边同除以4，得， 配方，得， 即， ， 故答案为：． （2）解：方程变形为， 两边同除以，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， ． 【变式训练】（24-25九年级上·山西大同·期末）（）计算：． （）解方程：． 【答案】（）；（）， 【思路引导】（）根据二次根式的运算法则、负整数指数幂、乘方的定义分别运算，再合并即可； （）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； 本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，掌握实数的运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． 【规范解答】（）原式 ； （）∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 考点6：配方法的应用 【典例精讲】（2024九年级上·全国·专题练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了配方法的应用，利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，然后利用完全平方式的非负性即可得出答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，由可得，代入后配方得，于是得解． 【规范解答】（1）解：， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：四边形的面积为： ， 四边形面积的最大值为． 【变式训练】关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 【答案】B 【思路引导】此题考查了新定义，配方法的应用，解二元一次方程组的，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值． 【规范解答】解：与为同族二次方程， ， ， ∴， 解得：， ， 当时，取最小值为2013． 故选：B． 考点7：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路引导】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围． 【规范解答】（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 【变式训练】（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 【答案】(1)①是；②当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了配方法的应用、一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）①依据题意，将代入方程的左边，右边，进而可以判断得解； ②依据题意，由，从而，进而可得或，故可判断得解； （2）依据题意，当时，，又，则，从而，即，最后可以判断得解． 【规范解答】（1）解：①由题意，当时， 左边，右边． 左边右边． 是方程的解． ②由题意，， ． 或． 令，则， 当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根． （2）证明：由题意，当时，． ， ． ． ． ． 考点8：根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）从这七个数中，随机抽一个数，记为a．若数a使关于x的一元二次方程有实数解，且关于y的分式方程有正整数解，则抽到的数a恰好符合条件的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查概率公式，根的判别式，分式方程的解，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 利用一元二次方程根的判别式可得，即．由分式方程可得，进而可得为正整数，且不等于1．由题意可知，抽到的数共有7种等可能的结果，其中抽到的数恰好符合条件的结果有2种，利用概率公式可得答案． 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程有实数解， ， 解得：． 解分式方程得， ∵关于的分式方程有正整数解， ∴为正整数，且不等于1． ∴这七个数中，满足以上条件的的值有：0，2， ∴抽到的数恰好符合条件的概率是． 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级上·江西宜春·期末）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】C 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的解得情况，解题的关键是熟知根的判别式的运用． 根据一元二次方程根的判别式的应用，一元一次方程的根，分两种情况讨论即可得到答案． 【规范解答】解：当时，则， 由于关于的方程有实数根， ，即， ， 的取值范围且， 当时为一元一次方程，方程有一根． 综上所知的取值范围为：． 故选：C． 考点9：公式法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江·期中）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用直接开平方法求解即可； （）利用公式法求解即可； 【规范解答】（1）解：， ， ∴，； （2）解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 【变式训练】2025·广东东莞·模拟预测）已知方程（）是一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根； (2)若方程有一根小于，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟知方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键． （1）要证明方程总有两个不相等的实数根就是证明其判别式永远都是一个正数； （2）先求出原方程的两个实数根，根据方程有一根小于，列出不等式，求出的取值范围． 【规范解答】（1）证明：， 不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得， 方程有一根小于， 则，且， 解得． 考点10：因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·随堂练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) (5) (6) 【思路引导】此题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选择合适的方法是关键． （1）利用因式分解得到，化为两个一元一次方程即可求出答案； （2）根据题意得到，利用公式法解方程即可； （3）根据题意得到，利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解得到，化为两个一元一次方程即可求出答案； （5）原方程整理得到，利用开平方法即可得到答案； （6）原方程整理得到，根据题意得到，利用公式法解方程即可． 【规范解答】（1）解：， ∴， 则或， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）解：， ∴， 则或， 解得； （5）解：， 整理得到，， ∴， ∴； （6）解：， 整理得到，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【变式训练】（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）（1）因式分解：．       （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查因式分解，解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法和解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）因式分解法解方程即可． 【规范解答】（1）解：原式 （2）解： 解得：． 考点11：换元法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）阅读以下材料：例：解方程． 解：原方程可化为． 设，原方程可化为． 解得：，， 当即， ∴； 当即， ∴无实数解． ∴原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看作一个整体，用字母y代替（即换元）， 使得问题简单、明朗化，解答过程更清晰．这是解决问题中的一种重要方法−−−−−换元法．请参照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，． (2)， 【思路引导】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键； （1）把原方程化为：，再按照“范例”中的方法解答即可； （2）把原方程化为：，再按照“范例”中的方法解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 设，则． 解得：，． 当时，， ∴； 当时， ∴； ∴原方程的解是：，，． （2）解：∵， ∴， 即． 设，则， 解得：，． 当时，即， ∴或． 当时，即， ∴方程无解． ∴原方程的解是：，． 【变式训练】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查来了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 设，则，原方程变形为，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【规范解答】解：设，则， 原方程变形为， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 考点12：一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， (1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先由的长为2求出，进而可知原方程为，根据根与系数的关系求出、的和，即可求出平行四边形的周长. 【规范解答】（1）证明：∵， ∴无论m取何值方程总有两个实数根； （2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，的长为2， ∴， 解得：， 即， ∴、的和， ∵平行四边形， ∴，， ∴平行四边形的周长． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，方程的两个根是，，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路引导】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号进行判断即可； （2）根据根与系数的关系进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴ ； ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）由题意，当时，， ∴． 考点13：传播问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【答案】(1)每轮平均1人会传染8人 (2)三轮传染后，患病的人数会超过700 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 【规范解答】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）． 故每轮平均1人会传染8人． （2）解：三轮传染后的人数为． ， ∴三轮传染后，患病的人数会超过700． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？ 【答案】每个支干长出8个小分支 【思路引导】此题考查了一元二次方程的应用． 由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个,每个小分支又长出x个分支,则又长出个分支,则共有个分支,即可列方程求得x的值． 【规范解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：， 解得：或（不合题意，应舍去）， ∴ 答：每支支干长出8个小分支． 考点14：增长率问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江金华·期中）2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、根据等量关系列出方程是解题的关键． 设平均每天的票房增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程即可． 【规范解答】解：设平均每天的票房增长率为x， 根据题意，得． 故选B． 【变式训练】（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件25元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件40元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该件吉祥物每降价1元，月销售量就会在6月的销量基础上增加5件．当该件吉祥物降价多少元时，月销售利润达4250元． 【答案】(1) (2)5 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，列方程即可； （2）设该件吉祥物降价元，则售价为元，每件的利润为元，销售量为件，列方程即可． 【规范解答】（1）解：设吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，根据题意得， 解得，，（舍去） ∴该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该件吉祥物降价元，则售价为元，每件的利润为元，销售量为件， 根据题意得，， 解得，，（舍去）， 所以，当该件吉祥物降价5元时，月销售利润达4250元． 考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·广西百色·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 【答案】（1）原硬纸板的长是和宽是； （2）剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． 任务1：设原硬纸板的长是和宽是，建立方程，求解即可； 任务2：设剪裁的小正方形的边长为，建立方程，求解即可． 【规范解答】解：任务1：设原硬纸板的长是和宽是．则          解得，（不符，舍）     所以 答：原硬纸板的长是和宽是．     任务2：小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒     设剪裁的小正方形的边长为．则              ，（不符，舍）     答：剪裁的小正方形的边长为时，小成可以做成一个底面面积是的方形纸盒． 【变式训练】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，使其中两条与平行，满足通道宽；另一条与平行，并使两条通道的宽，其余六块部分种植草莓． 素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽应设计成多少米？ 任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润销售利润承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？ 【答案】任务1：通道的宽应设计成10米；任务2：每平方米草莓应该降价40元． 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：设通道的宽应设计成米，则通道的宽米，根据长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，其余六块部分种植草莓．使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，列出一元二次方程求解即可； 任务2：设每平方米草莓应该降价y元，根据每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．农户预期一个月的总利润（总利润=销售利润-承包费）为52万元，列出一元二次方程求解并取最大值即可． 【规范解答】解：任务1：设通道的宽应设计成米，则通道的宽米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴， 答：通道的宽应设计成10米； 任务2：设每平方米草莓应该降价y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵让购买草莓的客户获得更大的优惠， ∴每平方米草莓应该降价40元． 答：每平方米草莓应该降价40元． 考点16：数字问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由圈出的9个数可知最大数与最小数的差为16，设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，由“最大数与最小数的积为192”即可列出方程，得到答案． 【规范解答】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为：， 设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为， 根据题意得：， 故选：D． 【考点剖析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键． 【变式训练】（22-23九年级下·河北石家庄·开学考试）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份． （1）八进制数3747换算成十进制数是 ； （2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，则 ． 【答案】 2023 9 【思路引导】（1）根据八进制数换算成十进制数的方法列式计算即可得； （2）参照八进制数换算成十进制数的方法，建立方程，解方程即可得． 【规范解答】解：（1） ， 故答案为：2023； （2）由题意得：，即， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：9． 【考点剖析】本题考查了有理数的乘方、零指数幂、一元二次方程的应用，正确理解换算方法是解题关键． 考点17：营销问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）暑期奥运点燃了我们的运动热情，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“奥运”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求每天销售量的平均增长率； (2)“奥运”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获利920元？ 【答案】(1) (2)55元 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，分析题意列出等量关系是解题的关键． （1）设平均增长率为，根据增长率问题列方程解应用题； （2）钥匙扣每件降价y元销售，列出一元二次方程解题． 【规范解答】（1）解：设每天销售量的平均增长率为， 根据题意得： 解得：，(不合题意，舍去) ∴每天销售量的平均增长率为 （2）解：设将钥匙扣每件降价y元销售， 根据题意得：， 解得：，， 又∵要尽快减少库存， ∴取降价5元，则销售定价为元， ∴将钥匙扣的销售价定为每件55元时，每天可获利920元． 【变式训练】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元．经市场调查发现，甲种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为，乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表： 每件售价z （单位：元） … 20 25 30 销量y₂ （单位：件） … 100 80 60 其中x、z均为非负整数．商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价． (1)直接写出乙种玩具每天的销量y₂与每件售价z的关系式是 ；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是 （用x表示z） ； (2)当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？ 【答案】(1)；； (2)乙种玩具的总利润是800元 【思路引导】本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键． （1）设每天的销量与每件售价z的函数关系式为，利用待定系数法即可求解；分别表示出甲、乙两种玩具每件的利润，再根据每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍，即可得到关系式； （2）先根据甲种玩具的总利润列一元二次方程，求出甲种玩具每件的售价，进而求出乙种玩具每件的售价，即可得出乙种玩具的总利润． 【规范解答】（1）解：设每天的销量与每件售价z的函数关系式为， 则，解得：， 即每天的销量与每件售价z的关系式是； 甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元． 甲、乙两种玩具每件的利润分别为元和元， 每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍， ， ， 故答案为：；； （2）解：甲种玩具的总利润为800元， 则， 解得：，即甲种玩具每件的售价为元， ，即乙种玩具每件的售价为元， 乙种玩具的总利润是元， 考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在 中，点以的速度从点往点运动，点以的速度从点往点运动，且当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．若，请问在点运动过程中，的面积能否等于？若能，请求出点的运动时间；若不能，请说明理由． 【答案】能，点的运动时间为秒时，的面积为。 【思路引导】此题主要考查了一元二次方程的应用，得出等量关系是解决问题的关键．设运动时间为秒，表示出和，根据三角形的面积公式列出方程，求解一元二次方程即可． 【规范解答】解：设运动时间为秒， 由题意可得：，， ∵，点以的速度从点往点运动，点以的速度从点往点运动， ∴， ， ∴的面积为， 则， 解得：或 舍， ∴点的运动时间为秒时，的面积为 【变式训练】24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)存在， 【思路引导】本题借助动点问题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形的定义计算． （1）首先运用勾股定理求出边的长度，然后根据路程速度时间，分别表示出、的长度，由于，如果为等腰三角形，那么只有一种情况，即，可列出方程，从而求出x的值； （2）根据四边形的面积的面积的面积，列出方程，根据解的情况即可判断． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∵两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴当时，为等腰三角形； （2）解：假设存在x的值，使得四边形的面积等于， 则， 解得． 假设成立，所以当时，四边形面积的面积等于． 考点19：工程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（22-23八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【思路引导】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【规范解答】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【考点剖析】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 【变式训练】（2022·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 【答案】(1)甲最多施工2500米 (2)a的值为6 【思路引导】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米， 依题意，得：12（5000-x）≥×10x， 解得：x≤2500， 答：甲最多施工2500米． （2）依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，， 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴符合题意； 答：a的值为6． 【考点剖析】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 考点20：行程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【思路引导】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【规范解答】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又 ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 【变式训练】（2023·浙江台州·一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离） (1)当时，求关于t的函数关系式； (2)求图中a的值； (3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)7，理由见解析 【思路引导】（1）设关于t的函数关系式为，根据经过点利用待定系数法即可得到答案； （2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为，利用小明在4s时第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设关于t的函数关系式为，把点代入得， ， 解得， ∴关于t的函数关系式为； （2）解：对于球来说，， 小明前a秒的平均速度为，a秒后速度为， 由小明在4s时第一次追上球可得，， 解得， 即图中a的值为； （3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑米，由（1）知，，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为， ，，则， ， 第二次踢后，则，（舍去），，此时又经过了米， ， 第三次踢后，变化规律为， ，，则， ， 第三次追上，则，（舍去），，此时又经过了米， ， 又开始下一个循环， 故第四次踢球所需时间为，经过24米， 故第五次踢球所需时间为，经过48米， 故第六次踢球所需时间为，经过24米， 故第七次踢球所需时间为，经过48米， ∵，， ∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次， 故答案为：7 【考点剖析】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键． 考点21：图表信息题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 【答案】(1)超过部分应交(元)；(2) ；(3) 8月份该户居民交电费元． 【思路引导】根据题意直接一元二次方程求解，即可得到题目所问. 【规范解答】解：(1)超过部分应交(元)； (2)由9月份交电费元，该户9月份用电量已超过规定的，所以9月份超过部分应交电费，即，解得，，由10月份的交电费元看，该户10月份的用电量没有超过，所以．所以． (3)当时，超过部分应交元，所以8月份该户居民交电费元． 【考点剖析】本题考查了学生对一元二次方程在实际生活中的应用，掌握根据题意列方程是解决此题的关键. 【变式训练】某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A 千瓦·时，那么这户居民这个月只需交10元电费；如果超过A 千瓦·时，则这个月除了要交10元的用电费以外，超过的部分还要按每千瓦·时 元交费． （1）该厂某居民2月份用电90千瓦·时，超过了规定的 A 千瓦·时，则超过的部分应交电费 元(用A 表示); （2）下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况: 月份 用电量（千瓦时） 交电费总数（元） 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，你能求电厂规定的A的值吗? 试试看． 【答案】（1）；（2）50 【规范解答】分析：（1）由于超过部分要按每千瓦时元收费，所以超过部分电费（90−A）•，化简即可； （2）依题意，得：（80−A）•＝15，解方程即可．此外从表格中知道没有超过45时，电费还是10元，由此可以舍去不符合题意的结果． 详解：（1）(90−A)×； （2）由表中数据可知(80−A)×＋10＝25， 得 A2−80A＋1500＝0， 解得 A1＝30，A2＝50， 又∵用电45千瓦•时，付费总额10元， ∴A＞45， ∴A＝50 点睛：本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，然后列出方程是解题的关键． 考点22：其他问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（2025·湖南·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是一部大型的动画电影题材影片，该片以神话人物为背景，讲述一个感人的故事，影片于2025年1月开始上映后，深受人们的喜爱，票房过百亿．某影院开展“优惠”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价18元，这样按原定票价需花费5000元购买的门票张数，现在只花费了3200元． (1)求每张电影票的原定零售票价； (2)为了进一步回馈观众，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，求原定零售票价平均每次降价的百分率． 【答案】(1)每张零售电影票的原定价为元 (2)原定零售票价平均每次的下降率为 【思路引导】本题主要考查了分式方程和一元二次方程的实际应用， （1）设每张零售电影票的原定价为x元，根据“在原定零售票价基础上每张降价元，这样按原定票价需花费元购买的门票张数，现在只花费了元”列方程，即可求解； （2）设原定零售票价平均每次的下降率为m，根据“原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元”列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设每张零售电影票的原定价为x元，则题意可得， ， 解得：， 经检验，是原方程的根且符合题意， 故每张零售电影票的原定价为元． （2）设原定零售票价平均每次的下降率为m， 由题意得：， 解得，（不合题意，舍去）， 即原定零售票价平均每次的下降率为． 【变式训练】（24-25九年级上·重庆开州·期末）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果，已知采摘工人平均可以采摘一个苹果． (1)一定范围内的苹果被机器人识别，机器人采摘比工人采摘多用了，求这个范围内的苹果有多少个？ (2)为了提高了工作效率，公司为该智能机器人搭载了个机械手，升级了智能机器人的操作系统，测得每个机械手平均每秒可摘个苹果，据统计，该智能机器人工作采摘的苹果数量与个采摘工人工作小时采摘的苹果数量相等，求的值． 【答案】(1)这个范围内的苹果有个； (2)的值为． 【思路引导】（）设这个范围内的苹果有个，由题意列出方程，然后解方程即可； （）由题意得，然后解方程并检验即可； 本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设这个范围内的苹果有个， 由题意得：， 解得：； 答：这个范围内的苹果有个； （2）解：由题意得， ， 解得：（舍去），， ∴的值为． 考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)此次参赛一共有8个球队 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【规范解答】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 【变式训练】（22-23九年级下·江西上饶·阶段练习）课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛．    【答案】（1） （2） 【思路引导】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； 【规范解答】（1）设应该邀请支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）有支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：有支球队参加比赛． 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【规范解答】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 2．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 3．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案． 【规范解答】解：设月平均增长率为x， 由题意得，， 故选：C． 4．（2023·四川甘孜·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式求参数的计算是关键． 根据一元二次方程根的判别式“，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根”进行计算即可求解． 【规范解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：4． 5．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率 (2)预计该商场七月份投入资金将达到万元 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金． 【规范解答】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； （2）解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 基础夯实 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列方程为一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义并正确判断是解题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据定义依次判断． 【规范解答】解：A、符合定义，符合题意，故选项正确； B、含有两个未知数不符合定义，不符合题意，故选项错误； C、未知数的最高次数是3不符合定义，不符合题意，故选项错误； D、含有分式不符合定义，不符合题意，故选项错误； 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知是方程的根，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【思路引导】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解，由a是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东肇庆·阶段练习）若一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根得到，进行求解即可． 【规范解答】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 4．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用公式法解答即可； （）将方程整理后，再利用因式分解法解答即可． 【规范解答】（1）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 5．（24-25九年级上·吉林·期末）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700千克的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标． (1)求第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率． (2)按照（1）中亩产量的平均增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200千克，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】(1) (2)他们的目标能实现，理由见解析 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． (1)设亩产量的平均增长率为，根据第三阶段水稻亩产量=第一阶段水稻亩产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； (2)利用第四阶段水稻亩产量=第三阶段水稻亩产量，可求出第四阶段水稻亩产量，将其与公斤比较后即可得出结论． 【规范解答】（1）设亩产量的平均增长率为， 依题意得，， 解得，（不合题意，舍去） 答：第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率为． （2）（公斤）， ， 他们的目标能实现． 培优拔高 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义； 根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【规范解答】解：已知是一元二次方程的两个实数根， ． 故选：D． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）国庆节假期期间，某商场将进价为30元/盏的台灯以40元/盏售出，平均每月能售出600盏．调查发现，售价在40元/盏至60元/盏范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10盏．为了实现平均每月10000元的销售利润，每盏台灯应涨价（   ） A．10元 B．15元 C．20元 D．40元 【答案】A 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用,关键是看到定价和销售量的关系,根据利润列方程求解． 设这种台灯售价为x元,那么就少卖出个， 则每个台灯的利润为元， 根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出方程， 最后求解方程． 【规范解答】解：设这种台灯的售价应定为元，依题意有， 整理得， 解得:(舍去)． 则涨价为元. 故选：A． 8．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降到81元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得 ．若第三次降价的百分率与前两次相同，则经过三次降价后，顾客一共节省了 元． 【答案】 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用．此题可设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来单价的，第二次降价后的单价是原来单价的，根据题意列方程求得；再计算经过三次降价后每瓶零售价，据此求解即可． 【规范解答】解：根据题意可列方程： ， 解得或（舍去）， 经过三次降价后每瓶零售价为， ， 经过三次降价后，顾客一共节省了元． 故答案为：；． 9．（23-24九年级上·河南郑州·开学考试）用适当方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)，． 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴，． 10．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)不存在，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）依题意得，，，当为等腰三角形时，只有，联立方程即可求解； （2）依题意得，，化简得，再根据判别式确定即可； （3）由于，则，代入化简求值即可. 【规范解答】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3） ，， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 【考点剖析】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程等知识点；注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 一元二次方程（章节复习） （知识梳理+23个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共61题） 知识梳理 技巧点拨 2 优选题型 考点讲练 5 考点1：由一元二次方程的定义求参数 5 考点2：判断是否是一元二次方程的解 6 考点3：由一元二次方程的解求参数 6 考点4：解一元二次方程一直接开平方法 6 考点5：解一元二次方程—配方法 7 考点6：配方法的应用 7 考点7：根据判别式判断一元二次方程根的情况 8 考点8：根据一元二次方程根的情况求参数 9 考点9：公式法解一元二次方程 9 考点10：因式分解法解一元二次方程 10 考点11：换元法解一元二次方程 10 考点12：一元二次方程的根与系数的关系 12 考点13：传播问题（一元二次方程的应用） 12 考点14：增长率问题（一元二次方程的应用） 13 考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 14 考点16：数字问题（一元二次方程的应用） 15 考点17：营销问题（一元二次方程的应用） 16 考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用） 17 考点19：工程问题（一元二次方程的应用） 18 考点20：行程问题（一元二次方程的应用） 19 考点21：图表信息题（一元二次方程的应用） 20 考点22：其他问题（一元二次方程的应用） 21 考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 22 中考真题 实战演练 23 难度分层 拔尖冲刺 23 基础夯实 23 培优拔高 24 知识点梳理01：一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点梳理02：一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点梳理03：一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 知识点梳理04：解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点梳理05：解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点梳理06：配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 知识点梳理07：解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点梳理08：根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点梳理09：解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点梳理10：根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 知识点梳理11：由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点梳理12：一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 考点1：由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【变式训练】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A． B．4 C．2或 D．4或 考点2：判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】（24-25九年级上·广东佛山·期末）写出一个以为根的一元二次方程： ． 【变式训练】2025·四川资阳·一模）若是方程的根，则的值为 ． 考点3：由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·北京·期中）已知a是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【变式训练】（24-25九年级上·重庆·期末）若为方程的一个解，则代数式的值为（   ） A．2001 B．2007 C．2019 D．2025 考点4：解一元二次方程一直接开平方法 【典例精讲】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． (1)的友好方程是___________； (2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； (3)如果的两个根为．求友好方程的两个根． 考点5：解一元二次方程—配方法 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【变式训练】（24-25九年级上·山西大同·期末）（）计算：． （）解方程：． 考点6：配方法的应用 【典例精讲】（2024九年级上·全国·专题练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【变式训练】关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 考点7：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 考点8：根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）从这七个数中，随机抽一个数，记为a．若数a使关于x的一元二次方程有实数解，且关于y的分式方程有正整数解，则抽到的数a恰好符合条件的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·江西宜春·期末）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 考点9：公式法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江·期中）解方程： (1) (2)． 【变式训练】2025·广东东莞·模拟预测）已知方程（）是一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根； (2)若方程有一根小于，求m的取值范围． 考点10：因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·随堂练习）解下列方程： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5) ； (6)． 【变式训练】（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）（1）因式分解：．       （2） 解方程： 考点11：换元法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）阅读以下材料：例：解方程． 解：原方程可化为． 设，原方程可化为． 解得：，， 当即， ∴； 当即， ∴无实数解． ∴原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看作一个整体，用字母y代替（即换元）， 使得问题简单、明朗化，解答过程更清晰．这是解决问题中的一种重要方法−−−−−换元法．请参照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【变式训练】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 考点12：一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， (1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 【变式训练】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，方程的两个根是，，求的值． 考点13：传播问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【变式训练】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？ 考点14：增长率问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江金华·期中）2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件25元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件40元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该件吉祥物每降价1元，月销售量就会在6月的销量基础上增加5件．当该件吉祥物降价多少元时，月销售利润达4250元． 考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·广西百色·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒． 现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）． 任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是、容积的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分别是多少？ 任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由． 【变式训练】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200米的长方形果园上修建三条通道，使其中两条与平行，满足通道宽；另一条与平行，并使两条通道的宽，其余六块部分种植草莓． 素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽应设计成多少米？ 任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润销售利润承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获得更大的优惠，那么应该降价多少元？ 考点16：数字问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 【变式训练】（22-23九年级下·河北石家庄·开学考试）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份． （1）八进制数3747换算成十进制数是 ； （2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，则 ． 考点17：营销问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）暑期奥运点燃了我们的运动热情，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“奥运”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求每天销售量的平均增长率； (2)“奥运”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获利920元？ 【变式训练】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元．经市场调查发现，甲种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为，乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表： 每件售价z （单位：元） … 20 25 30 销量y₂ （单位：件） … 100 80 60 其中x、z均为非负整数．商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价． (1)直接写出乙种玩具每天的销量y₂与每件售价z的关系式是 ；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是 （用x表示z） ； (2)当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？ 考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在 中，点以的速度从点往点运动，点以的速度从点往点运动，且当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．若，请问在点运动过程中，的面积能否等于？若能，请求出点的运动时间；若不能，请说明理由． 【变式训练】24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒． (1)当x为何值时，为等腰三角形； (2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 考点19：工程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（22-23八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【变式训练】（2022·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 考点20：行程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【变式训练】（2023·浙江台州·一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离） (1)当时，求关于t的函数关系式； (2)求图中a的值； (3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由． 考点21：图表信息题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 【变式训练】某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A 千瓦·时，那么这户居民这个月只需交10元电费；如果超过A 千瓦·时，则这个月除了要交10元的用电费以外，超过的部分还要按每千瓦·时 元交费． （1）该厂某居民2月份用电90千瓦·时，超过了规定的 A 千瓦·时，则超过的部分应交电费 元(用A 表示); （2）下表是这户居民3月、4月用电情况和交费情况: 月份 用电量（千瓦时） 交电费总数（元） 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，你能求电厂规定的A的值吗? 试试看． 考点22：其他问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（2025·湖南·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是一部大型的动画电影题材影片，该片以神话人物为背景，讲述一个感人的故事，影片于2025年1月开始上映后，深受人们的喜爱，票房过百亿．某影院开展“优惠”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价18元，这样按原定票价需花费5000元购买的门票张数，现在只花费了3200元． (1)求每张电影票的原定零售票价； (2)为了进一步回馈观众，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，求原定零售票价平均每次降价的百分率． 【变式训练】（24-25九年级上·重庆开州·期末）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果，已知采摘工人平均可以采摘一个苹果． (1)一定范围内的苹果被机器人识别，机器人采摘比工人采摘多用了，求这个范围内的苹果有多少个？ (2)为了提高了工作效率，公司为该智能机器人搭载了个机械手，升级了智能机器人的操作系统，测得每个机械手平均每秒可摘个苹果，据统计，该智能机器人工作采摘的苹果数量与个采摘工人工作小时采摘的苹果数量相等，求的值． 考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【变式训练】（22-23九年级下·江西上饶·阶段练习）课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛．    1．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 2．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川甘孜·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 5．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． (1)求该商场投入资金的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 基础夯实 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列方程为一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知是方程的根，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3．（24-25九年级上·广东肇庆·阶段练习）若一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）解下列方程： (1)； (2)． 5．（24-25九年级上·吉林·期末）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700千克的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008千克的目标． (1)求第一阶段到第三阶段水稻亩产量的平均增长率． (2)按照（1）中亩产量的平均增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200千克，请通过计算说明他们的目标能否实现． 培优拔高 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）国庆节假期期间，某商场将进价为30元/盏的台灯以40元/盏售出，平均每月能售出600盏．调查发现，售价在40元/盏至60元/盏范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10盏．为了实现平均每月10000元的销售利润，每盏台灯应涨价（   ） A．10元 B．15元 C．20元 D．40元 8．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降到81元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得 ．若第三次降价的百分率与前两次相同，则经过三次降价后，顾客一共节省了 元． 9．（23-24九年级上·河南郑州·开学考试）用适当方法解方程： (1) (2) 10．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 学科网（北京）股份有限公司 $$