第二章 一元二次方程 单元测试 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 单元测试 一、选择题 1.若把代数式x2-2x+3化为(x-m)2+k形式，其中m，k为常数，结果为(　　) A.(x+1)2+4 B.(x-1)2+2 C.(x-1)2+4 D.(x+1)2+2 2.方程3x2+9=0的根是(　　) A.x=-3 B.x=3 C.x=±3 D.无实数根 3.一元二次方程2x2-3x+1=0根的情况是(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.关于x的一元二次方程﹣x2+4mx+4=0的根的情况是(　　) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.不能确定 5.对于实数a，b，定义运算“※”：a※b=a2-2b，例如：5※1=52-2×1=23．若x※x=-1，则x的值为(　　) A.1 B.0 C.0或1 D.1或-1 6.如图，某小区有一块长为18m，宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x m，则可以列出关于x的方程是(　　) A.x2+9x-8=0 B.x2-9x-8=0 C.x2-9x+8=0 D.2x2-9x+8=0 7.关于x的方程x2+(k2-4)x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值是(　　) A.k=±2 B.k=2 C.k≥-1 D.k=-2 8.代数式x2-4x+5的最小值是(　　) A.-1 B.1 C.2 D.5 9.在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画(图中阴影小矩形)的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图(图中虚线边框矩形)的面积是2 709 cm2，设白色纸边的宽度为x cm，那么x满足的方程是(　　) A.(60+2x)(40+x)＝2 709 B.(60+2x)(40+2x)＝2 709 C.(60+x)(40+2x)＝2 709 D.(60+x)(40+x)＝2 709 10.某电影在某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达13亿元，若把每天的平均增长率记作x，则方程可以列为(　　) A.3(1+x)＝13 B.3(1+x)2＝13 C.3+3(1+x)2＝13 D.3+3(1+x)+3(1+x)2＝13 11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12 cm2时，点P运动的时间是(　　) A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s 12.关于x的一元二次方程a(x+3)2+3=0的解的情况是(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 二、填空题 13.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数对(x，-2x)放入其中，得到一个新数为8，则x=_______． 14.已知−x+=0是关于x的一元二次方程，则k为________． 15.填上适当的数，使等式成立： x2-5x+(_______)2=(x-_______)2；x2+3x+(______)2=(x+_____)2． 16.某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一个，全组共互赠了72个．则该兴趣小组共有__________名学生． 17.若a为一元二次方程(x-2)2=4的较大的一个根，b为一元二次方程(y-4)2=18的较小的一个根，则a-b的值为________． 三、解答题 18.用配方法解方程： （1）x2+5x﹣3=0； （2）3x2﹣6x﹣1=0； （3）x2﹣4x+1=0； （4）x2﹣3x+1=0． 19.教材或资料会出现这样的题目：把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答． （1）下列式子中，有哪几个是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序号) ①x2-x-2=0；②-x2+x+2=0；③x2-2x=4；④-x2+2x+4=0；⑤x2-2x-4=0． （2）方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？ 20.一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把两个数字位置调换，所得的两位数与原两位数的乘积等于765，则原两位数是多少？ 21.杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛线玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10 500元． （1）求玩偶套装的进价是多少元？ （2）该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着亚运会接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，这批玩偶已卖出的部分获利4 400元．求第二天销售结束后还剩余多少套玩偶套装？ 22.由点P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)(0<a<14)确定的△PAB的面积为18，求a的值，如果a>14呢？ 北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.若把代数式x2-2x+3化为(x-m)2+k形式，其中m，k为常数，结果为(　　) A.(x+1)2+4 B.(x-1)2+2 C.(x-1)2+4 D.(x+1)2+2 【答案】B 【解析】x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2． 故选：B. 2.方程3x2+9=0的根是(　　) A.x=-3 B.x=3 C.x=±3 D.无实数根 【答案】D 【解析】∵3x2+9=0，∴x2=-3， ∵负数没有平方根，∴原方程没有实数根． 故选：D. 3.一元二次方程2x2-3x+1=0根的情况是(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【答案】A 【解析】∵a=2，b=-3，c=1，∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A. 4.关于x的一元二次方程﹣x2+4mx+4=0的根的情况是(　　) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.不能确定 【答案】C 【解析】﹣x2+4mx+4=0， b2﹣4ac=(4m)2﹣4×(﹣1)×4=16m2+16， 不论m为何值，16m2+16＞0，即b2﹣4ac＞0，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C. 5.对于实数a，b，定义运算“※”：a※b=a2-2b，例如：5※1=52-2×1=23．若x※x=-1，则x的值为(　　) A.1 B.0 C.0或1 D.1或-1 【答案】A 【解析】由题意可得x2-2x=-1， 整理得x2-2x+1=0， 则(x-1)2=0， 解得x1=x2=1． 故选：A. 6.如图，某小区有一块长为18m，宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x m，则可以列出关于x的方程是(　　) A.x2+9x-8=0 B.x2-9x-8=0 C.x2-9x+8=0 D.2x2-9x+8=0 【答案】C 【解析】设人行道的宽度为x m，根据题意得，(18-3x)(6-2x)=60，化简整理得，x2-9x+8=0． 故选：C. 7.关于x的方程x2+(k2-4)x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值是(　　) A.k=±2 B.k=2 C.k≥-1 D.k=-2 【答案】D 【解析】设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(k2-4)x+k+1=0的两个实数根，且两个实数根互为相反数， 则x1+x2=-=-(k2-4)=0，即k=±2， 当k=2时，方程无解，故舍去． 故选：D. 8.代数式x2-4x+5的最小值是(　　) A.-1 B.1 C.2 D.5 【答案】B 【解析】∵x2-4x+5=x2-4x+4-4+5=(x-2)2+1， ∵(x-2)2≥0， ∴(x-2)2+1≥1， ∴当x=2时，代数式x2-4x+5的最小值为1． 故选：B. 9.在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画(图中阴影小矩形)的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图(图中虚线边框矩形)的面积是2 709 cm2，设白色纸边的宽度为x cm，那么x满足的方程是(　　) A.(60+2x)(40+x)＝2 709 B.(60+2x)(40+2x)＝2 709 C.(60+x)(40+2x)＝2 709 D.(60+x)(40+x)＝2 709 【答案】B 【解析】挂图长为(60+2x)cm，宽为(40+2x)cm，所以根据矩形的面积公式可得：(60+2x)(40+2x)＝2 709． 故选：B. 10.某电影在某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达13亿元，若把每天的平均增长率记作x，则方程可以列为(　　) A.3(1+x)＝13 B.3(1+x)2＝13 C.3+3(1+x)2＝13 D.3+3(1+x)+3(1+x)2＝13 【答案】D 【解析】若把每天的平均增长率记作x，则第二天票房约为3(1+x)亿元，第三天票房约为3(1+x)2亿元， 依题意得3+3(1+x)+3(1+x)2＝13． 故选：D． 11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12 cm2时，点P运动的时间是(　　) A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s 【答案】A 【解析】8÷1＝8(s)，6÷2＝3(s)． 当运动时间为ts时，AP＝t cm，BP＝(8﹣t)cm，BQ＝2t cm， 根据题意得2t×(8﹣t)÷2＝12， 整理得8t-t2＝12， 解得t1＝2，t2＝6(不符合题意，舍去)， ∴点P的运动时间是2s． 故选：A. 12.关于x的一元二次方程a(x+3)2+3=0的解的情况是(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 【答案】D 【解析】由原方程，得a(x+3)2=-3， 当a＞0时，(x+3)2＜0，该方程无解； 当a＜0时，该方程为(x+3)2=-，有2个解． 综上所述，原方程的解的情况无法确定． 故选：D. 二、填空题 13.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数对(x，-2x)放入其中，得到一个新数为8，则x=_______． 【答案】-5或1 【解析】根据题意得x2-2•(-2x)+3=8， 整理得x2+4x-5=0， (x+5)(x-1)=0， 所以x1=-5，x2=1． 14.已知−x+=0是关于x的一元二次方程，则k为________． 【答案】-2 【解析】由−x+=0是关于x的一元二次方程，得k2-2=2，且1-k≥0，解得k=-2． 15.填上适当的数，使等式成立： x2-5x+(_______)2=(x-_______)2；x2+3x+(______)2=(x+_____)2． 【答案】±　　±　 【解析】 16.某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一个，全组共互赠了72个．则该兴趣小组共有__________名学生． 【答案】9 【解析】设全组有x名同学， 则每名同学所赠的标本为(x﹣1)个， 那么x名同学共赠x(x﹣1)个， 则x(x﹣1)＝72， 解得x1＝﹣8(不符合题意，舍去)，x2＝9． 故全组共有9名同学． 17.若a为一元二次方程(x-2)2=4的较大的一个根，b为一元二次方程(y-4)2=18的较小的一个根，则a-b的值为________． 【答案】5-2 【解析】方程(x-2)2=4， 开方得x-2=2或x-2=-2， 解得x1=2+2，x2=2-2， 方程(y-4)2=18， 开方得y-4=3或y-4=-3， 解得y1=4+3，y2=4-3， ∴a=2+2，b=4-3， 则a-b=2+2-4+3=5-2． 三、解答题 18.用配方法解方程： （1）x2+5x﹣3=0； （2）3x2﹣6x﹣1=0； （3）x2﹣4x+1=0； （4）x2﹣3x+1=0． 【答案】解：（1）x2+5x﹣3=0， 移项，得x2+5x=3， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+5x+()2=3+， ∴(x+)2=， ∴x+=±， 解得x=， ∴x1=，x2=． （2）3x2﹣6x﹣1=0， 方程两边除以3得x2﹣2x﹣=0， 移项得x2﹣2x=， 两边加上1得x2﹣2x+1=，即(x﹣1)2=， 开方得x﹣1=或x﹣1=﹣， ∴方程的解为x1=，x2=． （3）x2﹣4x=﹣1， x2﹣4x+4=﹣1+4， (x﹣2)2=3， ∴x﹣2=， ∴x1=2+，x2=2﹣． （4）x2﹣3x+1=0． 移项，得x2﹣3x=﹣1， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方()2，得(x-)2=， x-=±， ∴x1=，x2=． 【解析】 19.教材或资料会出现这样的题目：把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答． （1）下列式子中，有哪几个是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序号) ①x2-x-2=0；②-x2+x+2=0；③x2-2x=4；④-x2+2x+4=0；⑤x2-2x-4=0． （2）方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？ 【答案】解：（1）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)， 因此①，②，④，⑤是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式． （2）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 若设方程x2-x=2的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为-2a，常数项为-4a， 因此二次项系数：一次项系数：常数项=1：(-2)：(-4)． 【解析】 20.一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把两个数字位置调换，所得的两位数与原两位数的乘积等于765，则原两位数是多少？ 【答案】解：设十位数字为x，则个位数字为(x+4)，这个两位数可表示为：10x+(x+4)=11x+4， 对调后的两位数十位数字为(x+4)，个位数字为x，所得两位数可表示为10(x+4)+x=11x+40， 由题意可得(11x+4)(11x+40)=765，解得x1=1，x2=-5(舍去)． x+4=1+4=5． 故这个两位数为15． 【解析】 21.杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛线玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10 500元． （1）求玩偶套装的进价是多少元？ （2）该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着亚运会接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，这批玩偶已卖出的部分获利4 400元．求第二天销售结束后还剩余多少套玩偶套装？ 【答案】解：（1）设玩偶套装的进价是x元， 根据题意有100(108﹣x)+150(98﹣x)＝10 500， 解得x＝60， 即玩偶套装的进价是60元． （2）设第二天降价y元，则第二天的销量为(80+2y)套，售价为(90﹣y)元， 根据题意有(90﹣60)×80+(90﹣60﹣y)(80+2y)＝4 400， 解得y＝10或y＝﹣20(不符合题意，舍去)， 则第二天销量为80+20＝100 (套)， ∴第二天销售后，剩余200﹣80﹣100＝20 (套)． 【解析】 22.由点P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)(0<a<14)确定的△PAB的面积为18，求a的值，如果a>14呢？ 【答案】解：当0＜a＜14时，如图，作PD⊥x轴于点D， ∵P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)， ∴PD=1，OD=14，OA=a，OB=a， ∴S△PAB=S梯形OBPD-S△OAB-S△ADP=×14(a+1)-a2-×1×(14-a)=18， 解得a1=3，a2=12； 当14≤a＜15时，如图，作PD⊥x轴于点D， S△ABP=S梯形OBPD+S△PAD-S△AOB=18， ∴18=(1+a)×14+(a-14)•1-a2， 解得a=3或12(都不符合题意)， 当a＞15时，如图，作PD⊥x轴于点D， ∵P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)， ∴PD=1，OD=14，OA=a，OB=a， ∴S△PAB=S△OAB-S梯形OBPD-S△ADP=a2-×14(a+1)-×1×(a-14)=18， 解得a1=，a2=(不符合题意，舍去)， ∴a=． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$