精品解析：上海市宝山区同洲中学2024—2025学年下学期七年级期末数学试卷

2024-2025学年上海市宝山区同洲中学七年级（下） 期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：如果， 两边同时减去，得，则A符合题意， 两边同时加上，得，则B不符合题意， 两边同时乘以再同时减去，得，则C不符合题意， 两边同时乘以，得，则D不符合题意， 故选：A． 2. 下列说法： 同位角相等，两直线平行； 两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 三角形的一个外角等于两个内角的和； 已知同一平面内，，则 正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，平行线的判定，平行公理，垂线，角的计算，关键是掌握三角形的外角性质，平行公理，垂直的定义，平行线的判定方法；由三角形的外角性质，平行公理，垂直的定义，平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：①同位角相等，两直线平行，正确，故①符合题意； ②两直线相交形成的四个角中，两对对顶角相等，但这两条直线不一定互相垂直，故②不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③不符合题意； ④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故④不符合题意； ⑤若射线在外部，则，若射线在内部，则，所以或，故⑤不符合题意． 正确的个数为1个． 故选：A． 3. 如图，在中，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 先由三角形内角和定理得到，由平行得到，而，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：B． 4. 如图，N，C，A三点同一直线上，点B在上，在中，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的内角和等于以及三个角的比，求出三个角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出、的度数即可求出结果． 本题考查了三角形的内角定理以及全等三角形的性质；利用三角形的三个角的比，求得三个角的大小是解题的关键． 【详解】解：∵中，， 且， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D 5. 在和中，，，如果补充条件后，仍不一定能保证，则补充的这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】全等三角形的判定可用两边夹一角，两角夹一边，三边相等等进行判定，做题时要按判定全等的方法逐个验证． 【详解】A、若添加AC=A'C'，不能进行全等的判定，故本选项正确； B、若添加∠A=∠A'，可利用ASA进行全等的判定，故本选项错误； C、若添加BC=BˊCˊ，可利用SAS进行全等的判定，故本选项错误； D、若添加∠C=∠Cˊ，可利用AAS进行全等的判定，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于熟练掌握全等三角形的判定，要认真确定各对应关系． 6. 如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（ ） A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积及三角形的中线和高，掌握三角形面积计算公式、“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，利用三角形面积公式求出的面积，再根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴． 故选：C． 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 7. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 8. 一个三角形三个内角的度数之比为，则该三角形应为______三角形．（按角分） 【答案】直角 【解析】 【分析】根据三角形的内角和是，求得三个内角的度数即可判断． 此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形． 【详解】解：根据三角形的内角和定理，得 三角形的三个内角分别是，，． 故该三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 9. 已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式、由数轴得出不等式的解集，解题的关键是得出不等式的解集后和数轴上的解结合得出关于m的方程． 由不等式和数轴可以得出该不等式的解集，由此可知此时得到的两个式子是一样的，进而可以得到关于m的方程，解此方程即可得出结论． 【详解】解：由数轴可得不等式的解集为， ∴解不等式得， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 已知是等腰三角形，若，，那么的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为腰和为底两种情况，确定对应情形下三角形三边的长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：当为腰时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 当为底时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时不能构成三角形， 综上所述，的周长是， 故答案为：． 11. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．根据题意先得到，再根据三角形的外角性质进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 根据三角形外角性质，， 所以的度数为． 故答案为：． 12. 已知在中，，，的平分线交于点，那么 ______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解． 本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形性质、角平分线的定义；综合运用各种知识是解答本题的关键． 【详解】解：，， ， 又为的平分线， ， ． 故答案为：． 13. 如图，若，，，则的长是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键，先根据全等三角形的性质求出，再计算即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：2． 14. 如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】由三角形外角的性质得到，即可求出的度数． 本题考查角计算，关键是掌握三角形的外角的性质． 【详解】解：， ， ，， ， ，， ． 故答案为：． 15. 如图，已知是以正方形对角线为一边的等边三角形，，垂足为点，那么的度数是______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】根据正方形性质得，，根据等边三角形性质得，由此可依据“”判定和全等得，进而得，则，然后根据即可得出的度数． 此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，理解正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 在中，，是中线，若周长与的周长相差，则__________． 【答案】3或7 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的定义．熟记概念并分情况讨论是解题的关键． 由中线可得，则周长为；的周长为；由题意知，分①；②；两种情况求解即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴周长为；的周长为； 周长与的周长相差，分两种情况求解； ①当时，解得，； ②当时，解得，； 综上所述，3或7； 故答案为：3或7． 17. 若三角形的两边长分别为和，则第三边上的中线长的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解一元一次不等式，熟练掌握有关三角形的中线问题，通常要倍长中线构造全等三角形是解题的关键．倍长中线构造全等三角形，再根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：如图所示，，， 延长至，使， 在与中， ， ， ， ， 在中，， 即， ， 故答案为：． 18. 如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴， ∵为的平分线，， ∴直线为底边上的中线和高线所在的直线， 即垂直平分， ∴， ， 将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列不等式（组）： （1）（解集在数轴上表示出来）． （2）． 【答案】（1）；数轴见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先解不等式，然后把解集表示在数轴上即可； （2）先求出两边不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则得出不等式组的解集即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题的关键． 【小问1详解】 ， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 把解集表示在数轴上，如图所示： ； 【小问2详解】 ， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为． 20. 如图，点、分别在、上，，，，试说明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质与判定；根据平行线的性质得出，得出，根据平行线的判定得出即可得证． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在和中，延长交于，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由，，可得，证明，进而结论得证． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 22. 如图，中，是延长线上一点，，过点作且，连接并延长，分别交，点，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据，可得，再利用证得； （2）根据三角形外角的性质可得，再由，可得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 23. 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据进行计算，得到答案． 【小问1详解】 证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴ ． 24. 某工厂现有甲种原料3600kg，乙种原料2410kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg和乙种原料8kg． （1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组． （2）问一共有几种符合要求的生产方案？并列举出来． （3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？（请用数据说明） 【答案】（1）；（2）符合的生产方案为①生产A产品318件，B产品182件；②生产A产品319件，B产品181件；③生产A产品320件，B产品180件；（3）第二种定价方案的利润比较多． 【解析】 【分析】（1）关系式为:A种产品需要甲种原料数量+B种产品需要甲种原料数量≤3600；A种产品需要乙种原料数量+B种产品需要乙种原料数量≤2410，把相关数值代入即可； （2）解(1)得到的不等式，得到关于x的范围，根据整数解可得相应方案； （3）分别求出两种情形下的利润即可判断； 【详解】解：（1）由题意． （2）解第一个不等式得：x≤320， 解第二个不等式得：x≥318， ∴318≤x≤320， ∵x为正整数， ∴x=318、319、320， 500﹣318=182， 500﹣319=181， 500﹣320=180， ∴符合的生产方案为①生产A产品318件，B产品182件； ②生产A产品319件，B产品181件； ③生产A产品320件，B产品180件； （3）第一种定价方案下：①的利润为318×1.15+182×1.25=593.2（万元）， ②的利润为：319×1.15+181×1.25=593.1（万元） ③的利润为320×1.15+180×1.25=593（万元） 第二种定价方案下：①②③的利润均为500×1.2=600（万元）， 综上所述，第二种定价方案的利润比较多． 【点睛】本题考查理解题意能力,生产不同产品所用的原料不同,关键是在原料范围内求得生产的产品,从而求解.找出题目中的不等量关系列出不等式组是解答本题的关键. 25. 已知，点为平面内的一点，． （1）当点在如图①的位置时，求与的数量关系． 解： ．（根据如图填射线的画法） 因为， 所以 （ ）． 所以（两直线平行，内错角相等）； （请继续完成接下去的说理过程） （2）当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）； （3）在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度． 【答案】（1）过点作；；；；如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行；见解析 （2） （3），45 【解析】 【分析】（1）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据角的和差、等量代换即可得出结论； （2）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据、角的和差即可得出结论； （3）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再结合（2）的结论可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据即可得出答案 【小问1详解】 解：如图①，过点作， ， （如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）． ． ， ． ． ， ． ． 小问2详解】 解：如图②，过点作， ． ， ． ． ， ． ． ． 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图③，过点作， ， ， ． ， ， ． ． ， 由（2）已得：， ； 平分， ． 平分， ． ， 故答案为：，45． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 26. 已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． （1）如图，若，则______； （2）如图，若，则______； （3）如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）； （2）； （3），证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，证明≌，可得，，，根据、分别是与的中点，可得，即可证明，可得，，即可求得，即可解题． （）根据（）中结论即可求得的值，即可解题； （）根据（）中结论即可求得的值，即可解题． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：同（1）可证，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：同（1）可证，， ∵， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市宝山区同洲中学七年级（下） 期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法： 同位角相等，两直线平行； 两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 三角形的一个外角等于两个内角的和； 已知同一平面内，，则 正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，在中，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，N，C，A三点在同一直线上，点B在上，在中，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在和中，，，如果补充条件后，仍不一定能保证，则补充的这个条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D是中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（ ） A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 7. 不等式解集为______． 8. 一个三角形三个内角的度数之比为，则该三角形应为______三角形．（按角分） 9. 已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值是________． 10. 已知是等腰三角形，若，，那么的周长是______． 11. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为________． 12. 已知在中，，，平分线交于点，那么 ______． 13. 如图，若，，，则的长是_______． 14. 如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则______． 15. 如图，已知是以正方形的对角线为一边的等边三角形，，垂足为点，那么的度数是______． 16. 在中，，是中线，若周长与的周长相差，则__________． 17. 若三角形的两边长分别为和，则第三边上的中线长的取值范围是_______． 18. 如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是______． 三、解答题：本题共8小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列不等式（组）： （1）（解集在数轴上表示出来）． （2）． 20. 如图，点、分别在、上，，，，试说明：． 21. 如图，在和中，延长交于，，，．求证：． 22. 如图，中，是延长线上一点，，过点作且，连接并延长，分别交，点，． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 23 如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 24. 某工厂现有甲种原料3600kg，乙种原料2410kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg和乙种原料8kg． （1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组． （2）问一共有几种符合要求的生产方案？并列举出来． （3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？（请用数据说明） 25. 已知，点为平面内的一点，． （1）当点在如图①的位置时，求与的数量关系． 解： ．（根据如图填射线的画法） 因， 所以 （ ）． 所以（两直线平行，内错角相等）； （请继续完成接下去的说理过程） （2）当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）； （3）在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度． 26. 已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． （1）如图，若，则______； （2）如图，若，则______； （3）如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $