浙江省名校新高考研究联盟（Z20+名校联盟）2026届高三第一次联考数学试题

★考试结束前 Z20+名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第一次联考 数学试题卷 命愿：富阳中学陈晖、何其多 磨题：嘉善高级中学黄振华宁海中学赖庆龙嵊州中学求莲弹 校稿：李慧华、吕金晶 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前务必将自已的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸 规定的地方。 3.答题时，请按照答题纸上“注意事项的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸 上答题一律无效， 4.考试结束后，只需上交答题卷 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知复数z满足2z+z=3-i,则z的虚部为 A.-1 B.1 C.2 已知椭圆兰+ 2. -=1的一个焦点为F(0,1),则k= A.5 B.√5 C.3 D.5 3.已知平面向量a=(x-l,x-5),b=(1,2),若a∥b,则x= A.-11 B.-3 C.3 D.11 4. 已知集合M={,2,3}，MUN={L,2,3,4,16),则满足条件的集合N的个数为 A,3 B.5 C.6 D.8 5.已知函数y=6血(2x-晋)的定义域为[受]，值域为[-1，】 则a的取值范围是 A[磨 B. c.[] D. [ 6,晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技 术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的"活标本"现使用图2简单模拟圣母殿 的屋顶结构，其中ABCD为矩形，AB=20m,AE,DE,BF,CF为四段全等的圆弧，其对应的圆 半径为5m,圆心角为，已知区域ABFE和DCFE是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖 区域的总面积为 理4事两纳自保 8352 D 图1 图2 A.20πm2 B.100rm2 C.50mm2 D.200mm2 3 3 7.已知随机变量X-N(1,4),随机变量Y~N(2,4),正实数a,b满足P(X≤a)=P(Y≥b), 则上+4的最小值为 a b A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知函数f(x)的定义域为R，,4f(x-1)-3f(x-2)≥f(x)≥3f(x-1)-2f(x-2),且 ()=1,f(2)=2,则下列结论一定正确的是 A.f(5)<10 B.f(5)>50 C.f(10)<100 D.f10)>500 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。 9.已知正方体ABCD-AB,C,D的棱长为1，M是线段DD,的中点，则 A.AB∥平面BCM B.BD与BC所成夹角为60° C.平面AB,D⊥平面BCM D.三棱锥C-BCM的体积为 12 10.已知△MBC的三个内角分别为4B,C,B=C+受，MB=2,4C=3,D在线段BC上，且满 足AD平分∠BAC.则 A.sinB=3sinC 2 B.tanC=2 3 C.BC=25 D.AD=626 3 13 11.现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为A队，丙、丁为B队已知甲、乙传给队友的 概率为}，丙、丁传给队友的概率为子，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员现从甲开 始传球，设传球次数为n（neN,且n≥2)，则 A,传球n次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B。1=3时，球在乙手中的橛率为引 C.传球n次后，球在A队成员手中的概率恒为一个常数 D。设球在乙手中的概率为P,则n=哈+（门22） 220'名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第一次联考数学试题卷第2页共4页 证4两销自保中 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知实数a,b满足2°=3,3°=2，则ab=_▲ 13.用1,2,3,12四个数组成一个五位数（每个数仅用到1次），则能组成▲个不同的五位数. 14.已知双曲线C:-卡-1的左右焦点分别为R,R,过B作直线交双曲线C的右半支于PQ 两点，满足PF⊥PQ,且△OFE面积是△PFE面积的两倍，则双曲线C的离心率为▲一 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(本小题13分)某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的 成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40,50)，[50,60)，，[90,100]，得 到如图所示的频率分布直方图。 频率组距 (1)求图中α的值和样本成绩的中位数： (2)已知学校用分层抽样的方法，从[80,90)，[90,100]两组0.025 内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中0.020 随机选取3人进行采访.设接受采访的学生中成绩在 0.015 0.010 [90,100]内的有X人，求X的分布列和数学期望. 0.005 405060708090100分数 16.（本小题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,ABI∥CD,BC⊥AB, MB=1+V5,CD=万，BC=PB=2,且四棱锥P-ABCD的体积为2区+山 3 (1)证明：AB⊥PD: (2)求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值. Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第一次联考数学试题卷第3页共4页 证在事周销自保 17.（本小题15分)已知8是数列，}的前n项和，且满足8=1-元中 (1)求数列{a}的通项公式： C2)在平面直角坐标系0中，已知点P40,定义点4+士 B(%,1)(其中neN,), 记an=∠AOP，月n=∠BnOP. (i)求tan(月2+月)的值； (i甜D证明：%+%++a,+Al=晋， 18.(本小题17分)已知抛物线C:y2=2px(p>0),过点Q(2,0)的直线1交C于A,B两点，0为坐 标原点.当1与x轴垂直时，AB=4N2. (1)求抛物线C的解析式： (2)若c0s∠AOB=-E,过x轴上一点P作直线OA,OB,B的垂线，垂足分别为E,F,G,且 13 满足E,F,G三点共线。 (i)求直线1的方程； ()求P点的坐标. 19.（本小题17分)已知函数f(x)=xn(x+a)-2x+2n(x+1),g(x)=2ln(x+a+1)-3x. (1)若a=0,求g(x)在(1，g()处的切线1的方程： (2)判断x=0是否是函数∫(x)的极值点，并说明理由： (3)若不等式f(x)>g(x)+k(x-2)对任意的x∈(2，∞)，a∈[0,2]恒成立，求正整数k的最大 值，（参考数据：e=2.71828…,e2=738906…,e3=20.08554…). 220名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第一次联考数学试愿卷第4页共4页 证4两销自保- Z20名夜联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第一次联考 数学参考答案 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1 2 4 5 6 8 A D B D A 0 C D 1.A 设z=a+bi,则2z+z=3a+bi=3-i,故b=-1,即z的虚部为-1. 2.D 由于焦点为(0,1)，故k>4且1=c2=k-4,解得：k=5. 3.B 因为a/i,故2(x-1)=x-5,解得：x=-3. 4.D 由题意：N≤{1,2,3,4,16}且{4,16sN,满足条件的N的个数即为包，2,3}的子集个数，因此满足 条件的N的个数等于8. 5.A 作出y=sinx的一个简图，如图，由于函数的值域为 -克，s血经=-小，s咖2r+=sn 13π1 6 2 62 3元 则◆12则[-引 6 6/ 5π 2m+ 6 则有受2-，解得：≤a 6。 即a的取值范围是 6.D 考虑曲面区域ABFE,由于AE所对的圆心角为写，故曲面区域ABFE的面积为一个底面半径为 5狐，高为20m圆挂的侧面积的行，即5m=名=名2rA=109, 1 3 因此S急=2 SABFE= 200m2. 3 7.C 考虑X,Y的概率密度函数f(x)和g(x),因为X~N(1,4),Y~N(2,4),所以f(x)和g(x)图象分 别关于x=1和x=2对称，且f(x)和g(x)图像形状完全相同， 故f)和g)图象关于x=号对称：由于P(X≤)=P(V≥b),因此由图像可知，直线x=a与直 线x=b关于x=对称，即a+b=3, Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第一次联考数学参考答案第1页共10页 ®扫楼全能王 证在事周销自保 则片片+o日引-北+合号}+2日-，当且仅当a=b=2时等号成立 8.D 由题意：3(x-1)-3f(x-2)≥f(x)-f(x-1)≥2f(x-1)-2f(x-2), 设a,=f()-f(n-1),n22,则3a-12an≥2a,a2=f(2)-f()=1, 所以an22an-124an-22…22-2a2=2”-2，an≤3an159an-2≤…≤3"-2a2=3-2, 即3-22f()-f(n-1)≥2-2. 累加得到：f()-)22-2+2++2°=2--1，即f(n)≥2， 同理累加得：-094g439.,甲了间”. 2 因此16≤f(5)≤41，f(10)≥2”=512>500，只有D项符合题意. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9 10 11 BC ABD BCD 9.BC A项：由于AB∥CD,且CD与平面BCM相交，故AB,与平面BCM不平行，A项错误： B项：由于BC∥AD,且△MDB,为正三角形，故BD与AD,所成夹角为60°，即BD与BC所成 夹角为60°，B项正确： C项：由于BC⊥B,C,故BC⊥AD,因为AB⊥面BBCC,所以AB⊥BC 因为AD∩AB=A,所以BC1⊥面ABD,所以平面ABD⊥平面BCM,C项正确： D项。4 C35.CMGC=名D项错误。 综上，选BC. D A M B1 D B 10.ABD A项：在△ABC中，由正弦定理： nBnC,代入得：s血B=血C,A项正确： AC=AB 2 B项：由B=C+交，可知： 3 cc+ oC,则mC-子，B项正确： C项：由前知：sinC=2 'cosC-3 3, Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第一次联考数学参考答案第2页共10页 ®扫楼全能王 证两纳自保 因为A=π-B-C=g-2C,所以sinA=sin -2c=c0s2C=1-2sinC= 则由正弦定理：BC= sin C -.sin A=- 厉，C项错误： D项：因为o4=号所以如 1-cos 4 1 2V2 2%, 则5uc-分0(4+4ck血子-0总吕，解得：D-6,D项正确 22 13 综上，选ABD 11.BCD A项：设球在甲乙丙丁手中的概率分别为，9，当=1时，角=0=么=9= 当m=2时，=写*号+2×名子 11 x写*后)，h=0+2×x=1 2*写*后行%=90-身-)=片此时*0， 即球在甲乙手中概率不相等，A项错误： 11 】14 21 3*627,B项正确： 115 B项：当n=3时，91-写*行+2×兮*石27,9h-号×写+2*写*石 C项：由题意，球在A队手中时，下一次传球后，球有，的概率仍在A队手中，球在B队手中 时，下一次传球后，球有；的概率传到A队手中，设传球”次后，球在A队成员手中的概率为， 在B队成员手中的概率为1-片。则由全概率公式可知=1+-)写为定值，C项 正确： D项：传球n次后，球在乙手中的概率为P,由前知，球在甲手中的概率为写P,球在B队 2 手中的概率始终为了：由题意，球在B队手中时，下一次传球后，球有。的概率传到乙手中。 由全概率公式可知：n-0xn+目p-小号名号，即B-言乱n) 由前得，A=写，则口君是以专为首项，兮为公比的等比数列，解得： ,-1+厂≥2，D项正确 综上，选BCD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.1 13.21 14.⑦ 3 12.1 由题意：a=log23,b=log32,则ab=log23-log32=1. Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第一次联考数学参考答案第3页共10页 ®扫楼全能王 证4两销自保中 13.21 由题意，总共能构成的5位数的个数为=24， 考虑重复的情况，此时1与2相邻，且1排在2前，这样的5位数相当于将12,12,3三个数进行排 列得到，共有C=3个， 因此共能组成不同的5位数的个数为24-3=21个 14.7 3 由题意，Sag55:SAPFF:=5:PF=2:1, 故可设PF3=x,则F2=2x, 所以P听=x+2,Q=2x+2,PQ=3x, 因为△FP2为直角三角形， 所以Pr2+PQ2=FQ2,即(2x+2)2=(3x)2+(x+22, 解得：子 则5- 2w17 31 则es 3 四、解答题：（本题共5小题，共77分.） 15.答案： (1),每组小矩形的面积之和为1， .(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1, ∴.a=0.030. (2分) 成绩落在[40,70)内的频率为(0.005+0.010+0.020)×10=0.35<0.5， 成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65>0.5， ∴中位数落在[70,80)内， (4分) 设中位数为m,则0.35+(m-70)×0.030=0.5, 解得m=75, 即中位数为75.(6分) 2》由分层抽样可知，度绩在00)的人数为7×029200-5人，成绩在p010侧]的人数为2 人，(8分) 故X的可能取值为0,1,2， (9分) 且P(x=0)= (11分) X 0 1 2 2 P 故(x)=0号+1+2号 4 1_6. (13分) 7 77 Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第一次联考数学参考答案第4页共10页 ®扫楼全能王 在两销自保 16.答案： (1)作PO⊥AB于O,连接DO, 因为面PAB⊥面ABCD,AB为面PAB和面ABCD的交线，所以PO⊥面ABCD,(2分) 由题意，ABCD为直角梯形，所以易求得S4aCD=2V5+1. 因为VP-ABCD= 2W3+1 3 =P0 SABCD,解得：P0=1,(4分) 3 由PB=2,可知B0=VPB2-PO2=√5=CD, 因为BOIICD,所以四边形BODC为平行四边形，BCIIDO,即DO⊥AB,(5分) 由于PO⊥AB,DO⊥AB,PO∩DO=O,所以AB⊥面POD.(6分) 因为PDc面POD,所以AB⊥PD,(7分) (2)设平面PAB与平面PDC所成角为8， 法一：如图，以O为原点建立空间直角坐标系， 由(1)可知：P(0,0,1),D(2,0,0),C25,0,(9分) 易知，m=(（1,0,0)是面PAB的法向量 (10分) 设乃=(x,yz)是面PDC的法向量， GP历=02x-2=0'取x=1,得到历=(L0,2),(12分) 则 n·BC=0∫2y=0 %n15 则cos0= 网 V515 (14分) 所以平面PAB与平面PDC所成角9的正弦值为25 (15分) 5 B D 法二：过P作直线1IICD,则1c面PCD.(8分) 因为ABIICDI,所以Ic面PAB, 故I是面PCD和面PAB的交线. (10分) 因为PD⊥AB,即PD⊥I:PO⊥AB,即PO⊥I, 所以∠DPO即为所求夹角8. (12分) 因为∠POD=90°，PO=1,D0=BC=2, 所以sin0=sim∠Dpo=OD_25 (15分) PD 5 Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第一次联考数学参考答案第5页共10页 据国全 17.答案： （1)n22时a=S--片中a≥2刘，化简得：，示n≥2,2分列) 经检验得，n=1时也满足，(3分) 故an2+n (4分) (注：答案对但未检验，扣1分) (2)(i)由题意：amA=元 1 则如房=方御房 ,(6分) 1+ 所以如(A+A)=胎AmA1专产 tanB+tan月=23 =1,(8分) 23 即tan(B2+B)=1. (9分) (i)由题意可知：A,(n2+n+l,, 则tana,=+n+ ”am2= n' (11分) 先证明以下结论：an=Bn-Pn+. 11 因为an(Bn-A)=n,n+l 1 11n2+n+1 =tan n (13分) 1+- nn+l 且A-e0引a(0引 所以月n-Pn+1=an, (14分) 故4+a2+…+an+Bn1=(月-B2)+(月2-月)+…+(Bn-月n+)+B1=月.(15分) 因为a如月=1，则月=牙，原式得证。 18.答案： (1)当1与x轴垂直时，y=yl=2√p, 则AB=4√D=4W2, (2分) 解得：p=2,即C:y2=4x.(4分) (2)(i)由I与抛物线交于A,B两点，可设：x=my+2,A(,片)，B(x2,2), 联立方程组： =my+2得到：2-4my-8=0, y2=4x 由韦达定理：为+2=4m，2=-8, (6分) 则+=浮-+”-2列2m+4,-.4 44 4 16 Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第一次联考数学参考答案第6页共10页 ③扫楼全能王 证4两销自保