精品解析：河南省漯河市第三初级中学2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年八年级第二学期数学期末评估卷 （时间：100分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. ，2， B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 3，4，4 3. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数/cm 175 180 180 175 方差 3.2 3.2 5.4 6.1 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 如图，中，，，，分别以三边为直径画半圆，则阴影部分的面积之和为（ ） A. B. C. D. 7. 若与成正比例，则 是 的( ) A. 反比例函数 B. 正比例函数 C. 二次函数 D. 一次函数或正比例函数 8. 如图，是 的中位线，平分，且，若，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2.5 C. 2 D. 3 9. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 （单位：）与无人机上升的时间 （单位：）之间的关系如图所示．下列说法：①甲无人机上升的速度为；②时，两架无人机都上升了；③时，乙无人机距离地面的高度是；④时，两架无人机的高度差为．正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 10. 如图1，点 为正方形 中边的中点．动点从点 出发沿边匀速运动，运动到点 时停止．设点的运动路程为 ，线段的长为与 的函数图象如图2所示，则当点运动到 中点时，的长为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1， 且．以A为圆心， 长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是___________． 12. 已知 、 都是实数，且，则_________． 13. 已知关于 的一元二次方程没有实数根，请写出一个符合条件的整数的值为_________． 14. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一名学生正对门，缓慢走到离门米的C处时，感应门自动打开．已知感应器离地面的高度 为米，这名学生身高为米，则人头顶离感应器的距离等于__________米． 15. 如图所示，点 和点分别为 轴与 轴上一点，且， 为直线上一点，作交 轴于点 ． （ ）若点 的横坐标为，则 ______； （ ）若 为线段 中点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 为了了解学生对中国传统文化的掌握情况，某校举办了传统文化知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名同学的竞赛成绩（满分50分）进行收集、整理、描述、分析（成绩用x来表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩在A组的数据是： 48，50，50，50，48，49，50，50，49，50，48，50 七、八年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 48 a 50 八年级 48 49 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空： ， ， （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的传统文化知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有600名学生、八年级有500名学生参加了此次传统文化知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到A等级的学生共多少人？ 18. 已知直线经过点，，并与直线相交于点C，求： （1）直线的表达式及点C的坐标； （2）关于x的不等式的解集． 19. 如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路 ，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，． （1）试通过计算说明长是工厂C到公路 的最短距离； （2）若，求工厂C到B市的距离． 20. 如图，在中，，点 ，点 分别是 ，的中点，延长到点 ，使，连接，， ，，与的交点为点 ． （1）判断 与有什么数量关系，并说明理由． （2）当，，求的长． 21. 小红爸爸计划购买 ，两种品牌共 袋糯米制作粽子．已知用元购买A品牌的袋数与用元购买品牌的袋数相同，且 品牌每袋的价格比品牌每袋的价格贵 元． （1）求 ，两种品牌每袋糯米的价格： （2）小红爸爸计划购买品牌的袋数不超过 品牌袋数的一半，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？ （3）小红去商家柜台了解到，若整箱（ 袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠 元．小红猜想购买 品牌 整箱，购买品牌 整箱，会比（2）中的方案更省钱，请通过计算说明小红的猜想是否正确． 22. 综合与实践 小颖探究了一个新的函数图象，请你帮助她完成探究. ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 3 … 表格中_________，_________； ②在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ③函数有最大值和最小值吗，如果有分别是多少？ ④观察你所画函数的图象，写出关于该函数的两条性质． ⑤若两点都在该函数图象上，且，则_________． 23. 【了解概念】 定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为的等线四边形叫做强等线四边形． （1）【理解运用】 下列四边形中，一定是等线四边形的是________（只填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）【拓展提升】 如图，中， ，分别以， 为边向外作菱形和 菱形，且，连接， ，． ①求证：四边形是强等线四边形； ②若，，，分别是 ，的中点，连接，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级第二学期数学期末评估卷 （时间：100分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，被开方数的因数是整数，因式是整式，且不含开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. ，2， B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 3，4，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，根据勾股数的定义即可求解判断，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，2，这三个数不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意； B、，不是勾股数，故选项不符合题意； C、，是勾股数，故选项符合题意； D、不是勾股数，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式及需满足的条件． 根据一元二次方程的定义，逐一分析选项，判断是否符合“只含一个未知数、未知数最高次数是2、整式方程”这几个条件． 【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数最高次数是1，是一元一次方程，不满足一元二次方程“二次项系数不为0，且未知数最高次数是2”的条件，所以不一定是一元二次方程； B、不是方程，因为它没有等号，不构成等式关系，而方程是含有未知数的等式，所以不符合一元二次方程的定义； C、，只含有一个未知数 ，未知数的最高次数是2，且是整式方程（整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程），符合一元二次方程的定义，所以是一元二次方程； D、中含有两个未知数 和，属于二元一次方程，不符合一元二次方程“只含一个未知数”的条件． 故选：C． 4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数/cm 175 180 180 175 方差 3.2 3.2 5.4 6.1 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用方差和平均数做决策，根据题意可知要选择平均数大且方差小的运动员参赛，据此可得答案． 【详解】解：从平均数来看，应该从乙、丙中选择一人参赛， 从方差来看，应该选择乙参赛， 故选：B． 5. 已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是2， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，中，，，，分别以三边为直径画半圆，则阴影部分的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据含30度角直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出 ，然后根据阴影部分的面积之和等于以 为直径的半圆面积加上以为直径的半圆的半径加上的面积，然后再减去以为直径的半圆面积求解即可． 【详解】∵，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴以 为直径的半圆的半径为，以为直径的半圆的半径为1，以为直径的半圆的半径为2， ∴阴影部分的面积之和． 故选：B． 7. 若与成正比例，则是 的( ) A. 反比例函数 B. 正比例函数 C. 二次函数 D. 一次函数或正比例函数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的定义以及正比例函数的定义，根据题意设，进一步化简，即可求解． 【详解】解：根据题意，设， ∴ 当时，是 的正比例函数 当时，是 的一次函数 ∴是 的一次函数或正比例函数 故选：D． 8. 如图，是的中位线，平分，且，若，则 的长为（ ） A. 1.5 B. 2.5 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是利用相关定理和性质推导线段之间的关系． 是三角形 的中位线，求得的长，在中，是 的中点，，求出，进而得出 的长． 【详解】∵是三角形 的中位线，， ∴， 在中，是 的中点，， 则， ∴， 故选：C． 9. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：）与无人机上升的时间 （单位：）之间的关系如图所示．下列说法：①甲无人机上升的速度为；②时，两架无人机都上升了；③时，乙无人机距离地面的高度是；④时，两架无人机的高度差为．正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：由函数图象可知，甲无人机上升的速度为，故①正确； 由函数图象可知，时，甲、乙两架无人机距离底面的高度都为，则甲无人机上升了，乙无人机上升了，故②错误； 乙无人机的速度为：， ∴时，乙无人机距离地面的高度是，故③错误； 时，两架无人机的高度差为：，故④正确； 故选：B． 10. 如图1，点 为正方形 中边的中点．动点从点 出发沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为 ，线段的长为与 的函数图象如图2所示，则当点运动到中点时，的长为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．结合两个图先求出，此时，即可得出答案． 【详解】解：由图可知，当动点P从点A出发运动到点B处时，运动路程为， 则正方形 的边长为4， ， 当点P运动到中点时，E为边的中点， ， 此时， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心， 长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴以及勾股定理，熟练掌握上述基本知识是关键； 先利用勾股定理求出，进而可得答案． 【详解】解：因为点A表示的数是，点C表示的数是1， 所以, 因为且， 所以， 因为以A为圆心， 长为半径画弧交数轴原点右边于点D， 所以， 所以点D表示的数是； 故答案为：． 12. 已知 、都是实数，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握被开方数为非负数． 根据二次根式有意义的条件，可求出 和的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 已知关于 的一元二次方程没有实数根，请写出一个符合条件的整数 的值为_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式的意义． 先根据根的判别式的意义得到，解不等式，可得 的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴当时，关于 的一元二次方程没有实数根， 故答案为：． 14. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一名学生正对门，缓慢走到离门米的C处时，感应门自动打开．已知感应器离地面的高度 为米，这名学生身高为 米，则人头顶离感应器的距离 等于__________米． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）． 故答案为：米． 15. 如图所示，点 和点 分别为 轴与轴上一点，且，为直线上一点，作交 轴于点． （ ）若点的横坐标为 ，则 ______； （ ）若 为线段 中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（ ）先根据题意得出 、两点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再由交 轴于点得出直线的解析式，故可得出点坐标，据此得出的长； （ ）根据点 和点 分别为 轴与轴上一点，得出 、 两点的坐标，再由 为线段 中点得出 点坐标，作轴于点，轴于点 ，由定理可得出，故可得出，作点 关于直线的对称点，连接则的长即为所求，再利用两点间的距离公式即可得出结论． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：（ ）∵点 和点 分别为 轴与轴上一点，， ，， 为直线上一点，点的横坐标为 ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 交 轴于点， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 当 时，， ， ， 故答案为：； （ ）由（ ）知，，， 为线段 中点， ， 作轴于点，轴于点 ， 点在直线上，， ， ，， ， 在与中， ， （）， ， 作点 关于直线的对称点，连接则的长即为所求， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】 （1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查求二次根式的性质化简，化简绝对值，运用平方根解方程，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先计算各部分，再进行加减计算即可； （2）对原方程进行整理，利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： （2）解： ∴， ∴， ∴或 ∴或 17. 为了了解学生对中国传统文化的掌握情况，某校举办了传统文化知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名同学的竞赛成绩（满分50分）进行收集、整理、描述、分析（成绩用x来表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩在A组的数据是： 48，50，50，50，48，49，50，50，49，50，48，50 七、八年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 48 a 50 八年级 48 49 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空： ， ， （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的传统文化知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有600名学生、八年级有500名学生参加了此次传统文化知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到A等级的学生共多少人？ 【答案】（1）48；50；25 （2）八年级学生竞赛成绩更好，理由见解析 （3）685名 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义可得的值；求出满分人数即可得出其众数 的值；先求出七年级 组人数对应百分比，再由百分比之和为1可得 的值； （2）根据中位数大小可得出结论，答案不唯一，合理均可； （3）各年级总人数乘以各年级参加此次知识竞赛成绩达到A等级的人数所占比例，再求和即可． 【小问1详解】 解：七年级A等级人数为12人，B、C、D总人数为8人，成绩按从小到大排列， 其中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据分别为A等级中的48，48， ∴七年级成绩的中位数； ∵八年级学生竞赛成绩满分，人数最多， ∴八年级成绩的众数， ∵七年级A等级人数对应百分比为， ，即． 故答案为：48；50；25． 【小问2详解】 解：八年级学生竞赛成绩更好， 因为八年级学生竞赛成绩的中位数大于七年级学生竞赛成绩的中位数，大多数的成绩较好（答案不唯一，合理均可）． 【小问3详解】 解：（名） 【点睛】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键． 18. 已知直线经过点，，并与直线相交于点C，求： （1）直线的表达式及点C的坐标； （2）关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，待定系数法求一次函数的解析式，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；解两个函数解析式组成方程组即可求解； （2）关于x的不等式的解集就是函数的图象在上边的部分自变量的取值范围． 【小问1详解】 解：直线经点，， ∴， 解得， 直线的表达式为． 直线与直线相交于点， ， 解得， 点． 【小问2详解】 解：根据图象可得，关于 的不等式的解集为． 19. 如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路 ，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，． （1）试通过计算说明长是工厂C到公路 的最短距离； （2）若，求工厂C到B市的距离． 【答案】（1） 解：∵，，． 且， ∴， ∴， 根据垂线段最短， ∴长是工厂C到公路 的最短距离． （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）设，则，利用勾股定理，建立等式解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 答：工厂C到B市的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 20. 如图，在中，，点 ，点 分别是，的中点，延长到点，使，连接，，， ，与的交点为点． （1）判断与有什么数量关系，并说明理由． （2）当，，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的判断与性质，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，，则可证明，，进一步可证明四边形是平行四边形，得到． （2）由勾股定理求出，利用平行四边形对角线互相平分和线段中点的定义求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， 分别是，的中点， 是的中位线， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． ． 【小问2详解】 解：在中，，，， ，． 由（1）得四边形是平行四边形， 是的中点， ，． ， ， 在中，根据勾股定理得． 21. 小红爸爸计划购买 ， 两种品牌共袋糯米制作粽子．已知用元购买A品牌的袋数与用元购买 品牌的袋数相同，且 品牌每袋的价格比 品牌每袋的价格贵 元． （1）求 ， 两种品牌每袋糯米的价格： （2）小红爸爸计划购买 品牌的袋数不超过 品牌袋数的一半，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？ （3）小红去商家柜台了解到，若整箱（ 袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠 元．小红猜想购买 品牌整箱，购买 品牌 整箱，会比（2）中的方案更省钱，请通过计算说明小红的猜想是否正确． 【答案】（1） 品牌每袋糯米的价格为元， 品牌每袋糯米的价格是 元． （2）购买 品牌糯米袋，购买 品牌糯米袋，花费最少，最少为元． （3）解：小红的猜想正确，计算说明过程如下： 购买 品牌糯米整箱，购买 品牌 整箱，需要花费（元）， ∵， ∴购买 品牌整箱，购买 品牌 整箱，会比（2）中的方案更省钱， 答：小红的猜想正确． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性． （1）设 品牌每袋糯米的价格为元，则 品牌每袋糯米的价格元，根据题意列关于的分式方程并求解即可； （2）根据题意列一元一次不等式，并求其解集，设花费元，写出关于 的函数关系式，根据一次函数的增减性和 的取值范围，确定当 取何值时，值最小，求出最小值即可； （3）根据题意，计算不同方案所需要的费用，比较大小即可． 【小问1详解】 解：设 品牌每袋糯米的价格为 元，则 品牌每袋糯米的价格是元， 根据题意，得， 解得，， 经检验，是所列分式方程的根， （元） 答： 品牌每袋糯米的价格为元， 品牌每袋糯米的价格是 元． 【小问2详解】 解：设购买 品牌糯米袋，则购买 品牌糯米袋， 根据题意，得， 解得，， 设花费元，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵，且为非负整数， ∴当时，最小， 此时，（元），（袋）， 答：购买 品牌糯米袋，购买 品牌糯米袋，花费最少，最少为元． 【小问3详解】 略 22. 综合与实践 小颖探究了一个新的函数图象，请你帮助她完成探究. ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 3 … 表格中_________，_________； ②在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ③函数有最大值和最小值吗，如果有分别是多少？ ④观察你所画函数的图象，写出关于该函数的两条性质． ⑤若两点都在该函数图象上，且，则_________． 【答案】① ， ；②函数图象见解析；③由图象知该函数有最小值为 ，没有最大值；④当时，随 的增大而增大，函数图象是轴对称图形，关于直线对称；（答案不唯一）；⑤ ． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，正确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： ①将和代入解析式求出的值即可； ②根据表格，描点，连线，画出函数图象即可； ③根据图象可得答案； ④根据图象写出两条性质，即可； ⑤根据题意可得关于对称，进而即可求解． 【详解】解：①∵， ∴当时，，当时，， ∴； ②画出函数图象如图： ③由图象知该函数有最小值为 ，没有最大值； ④当时，随 的增大而增大，函数图象是轴对称图形，关于直线对称；（答案不唯一）； ⑤，两点都在该函数图象上，且， ∴关于直线对称， ∴． 23. 【了解概念】 定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为的等线四边形叫做强等线四边形． （1）【理解运用】 下列四边形中，一定是等线四边形的是________（只填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）【拓展提升】 如图，中，，分别以， 为边向外作菱形和 菱形，且，连接，， ． ①求证：四边形是强等线四边形； ②若，，， 分别是， 的中点，连接，直接写出的长． 【答案】（1）②④； （2） ①证明：如图，连接，交于点 ，交 于点． ， ， 即． ∵四边形和均为菱形， ，． ． ，． ∴四边形是等线四边形． ，． ． ∴四边形是强等线四边形． ②． 【解析】 【分析】（1）根据等线四边形的定义及特殊四边形的有关性质解答； （2）①连接，交于点 ，交 于点，先证，得到，可得到四边形是等线四边形，再证其是强等线四边形； ②连接PQ、CE，取CE的中点M，连接PM 、QM，先证得∠CGE+∠BEG= 90°，再根据中位线定理可得PM=BE=2，PM//BE，QM=CG=，QM//CG，最后由勾股定理求得PQ的长． 【小问1详解】 解：②④．理由如下： ①平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形； ②矩形对角线相等，它一定是等线四边形； ③菱形对角线互相垂直平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形； ④正方形对角线相等，它一定是等线四边形， 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：①略 ②在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，∠BAC=30°， ∴ 菱形ACFG和菱形ABDE中，AG=AC=，AE=AB=4，∠CAG=∠BAE=60°， ∴ΔACG、ΔABE都是等边三角形，∠GAE=∠CAG+∠BAC+∠BAE=150°， ∴CG=AC=，BE=AB=4，∠AGC=∠AEB=60°，∠AGE+∠AEG=180°-∠GAE=30°， ∴∠CGE+∠BEG=∠AGC+∠AEB-（∠AGE+∠AEG）= 90°， 连接PQ、CE，取CE的中点M，连接PM 、QM，如图所示， ∵P．Q分别是BC、GE的中点， ∴PM，QM分别是ABCE、ACGE的中位线， ∴PM=BE=2，PM//BE，QM=CG=，QM//CG， ∴∠CMP=∠CEB，∠MQE=∠CGE，∠CMQ=∠MQE+∠CEG， ∵∠CMQ=∠CGE+∠CEG， ∴∠CMQ+∠CMP=∠CGE+∠CEG+∠CEB=90°， 在Rt△PQM中，由勾股定理，得 即PQ的长为． 【点睛】本题是四边形的综合题，解题的关键是掌握菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形和勾股定理、解直角三角形等有关知识点，解决本题的关键是理解等线四边形的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $