5.4用一次函数解决问题（1）学案2025-2026学年苏科版八年级数学上册

本文围绕“用一次函数解决问题（1）”展开，核心知识点为根据实际问题确定一次函数关系式并建立模型解决问题。承接函数基础知识，为后续深入应用函数解决复杂问题奠基。通过分析实际案例，培养学生数学抽象、模型观念等核心素养。 该设计亮点在于紧密联系生活实际，采用案例教学法。从学生层面看，提升解决实际问题能力；从教师层面看，提供清晰授课思路；从课堂效果看，能激发学生兴趣，有效突破教学难点。

初中数学八年级学案 课题：5.4用一次函数解决问题（1） 学习目标： 1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式． 2．能将简单的实际问题转化为数学问题(建一次函数模型)，从而解决实际问题． 一、情景引入： 名闻遐迩的玉龙雪山，位于云南丽江城北15 km，由12座山峰组成，主峰海拔5596m．海拔4500 m处一条黑白分明的雪线蜿蜒山头，由于气候变暖等原因，雪线平均每年约上升10 m，假如按此速度推算，经过几年，玉龙雪山的雪线将由现在的4500m退至山顶而消失？ 二、新知生成： 问题一： 如何根据变量关系确定函数关系？ 1. 从这段文字中，你获得哪些数量的信息？ 2. 这些数量之间有什么关系？ 3. 你能用学过的数学知识解决这个问题吗？ 4.知识提炼 实际问题中两个变量之间如果满足一次函数的关系，那么就可以用一次函数的相关知识来解决，即建立 模型将生活问题转化为数学问题来解决. 问题二：如何建立一次函数模型并解决问题? 例1. 某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，该产品的原料及加工成本合计为每件900元． （1）写出每天的生产成本（包括固定成本和原料及加工成本）与产量之间的函数表达式 ； （2）如果每件产品的出厂价为1200元，那么每天生产多少件产品，该工厂才有赢利？ 分析：审题，理清数量关系，即该产品每天的生产成本由两部分构成，一部是 ，这是一个与产量无关的常量；另一部分是原料及加工成本，它随产量的变化而变化．所以每天的生产成本是关于产量的函数. 解：(1)每天的生产成本y1（元）与产量x（件）之间的函数表达式是：y1＝ ． (2)每天的销售收入y2（元）与产量x（件）之间的函数表达式是： y2＝ ． 当销售收入y2大于生产成本y1时，工厂有赢利，即 ＞ 答： 同质训练1： 在人才招聘会上，某公司承诺：应聘者被录用后第1年的月工资为2000元，在以后的一段时间内，每年的月工资比上一年的月工资增加300元． （1）某人在该公司连续工作n年，写出他第n 年的月工资 y与n的函数表达式． （2）他第5 年的年收入能否超过40000元？ 例2.某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知行李质量为20kg时需付行李费2元，行李质量为50kg时需付行李费8元． （1）当行李的质量x超过规定时，求y与x之间的函数表达式； （2）求旅客最多可免费携带行李的质量． 同质训练2： 某市出租车收费标准：不超过3千米计费为7.0元，3千米后按2.4元/千米计费． （1）当路程表显示7km时，应付费多少元？ （2）写出车费 y (元)与路程 x (千米)之间的函数表达式； （3）小亮乘出租车出行，付费19元，计算小亮乘车的路程. 三、当堂检测： 1. 八年级（1）班班委发起为玉树灾区捐款义卖活动，决定在“六一节”当天租用摊位卖玩具筹集善款．已知同学们从批发店按每个7.6元买进玩具，并按每个15元卖出，租用摊位一天的租金为20元． （1）求同学们当天所筹集的善款y（元）与销售量x（个）之间的函数关系式（善款=销售额﹣成本）； （2）若要筹集不少于500元的慰问金，则至少要卖出玩具多少个？ 2.某厂计划生产A、B两种产品共50件。已知A产品每件可获利润700元。B产品每件可获利润1200.设生产两种产品的获利总额为y元. （1）写出y与生产A产品的件数x之间的函数表达式; （2）当生产A产品至少多少件时A产品的利润超过B产品的利润. 《5.4用一次函数解决问题（1）》作业纸 班级 姓名  A.基础巩固 1.(5´)等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是（　　） A．y＝20﹣2x B．y＝20﹣2x（5＜x＜10） C．y＝10﹣0.5x D．y＝10﹣0.5x（10＜x＜20） 2．(5´)一根弹簧的原长为12cm，它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重1kg就伸长cm，写出挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（　　） A．y＝x+12（0＜x≤15） B．y＝x+12（0≤x＜15） C．y＝x+12（0≤x≤15） D．y＝x+12（0＜x＜15） 3.(5´) 气温随着高度的升高而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km处，每升高1km，气温下降6℃；高于11km时，几乎不再变化，设地面的气温为20℃，当离地面13km时，气温为（　　）℃． A．﹣44 B．﹣45 C．﹣46 D．﹣47 4.(5´)某校办工厂现年产值是30万元，如果每增加1000元投资，一年可增加2500元产值.那么总产值y（万元）与增加的投资额x（万元）之间的函数关系式为 . 5.(8´)按照我国税法规定：个人月收入不超过3500元，免缴个人所得税．超过3500元不超过15000元部分需缴纳3%的个人所得税．试写出月收入在3500元到15000元之间的人应缴纳的税金y（元）和月收入x（元）之间的函数关系式．并求某人的工资收入为5000元，他应纳个人所得税为多少元？ 6.(8´)某市出租车计费方法如图示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费． （1）当x＞3时，求y与x之间的函数关系式； （2）若该市某乘客有一次乘出租车的车费为36元， 求这位乘客乘车的里程． 7.(9´)某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元.（1）写出每月电话费y (元)与通话次数x之间的函数关系式. （2）分别求出月通话50次、100次的电话费. （3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数. 8. (8´)某厂家生产两种款式的布质环保购物袋，每天共生产4500个，两种购物袋的成本和售价如下表，设每天生产A种购物袋x个，每天共获利y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）如果该厂每天最多投入成本10000元，那么每天最多获利多少元？ B. 强化提升 9.(5´)甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的． 施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 累计完成施工量/米 35 70 105 140 160 215 270 325 380 下列说法错误的是（　　） A．甲队每天修路20米 B．乙队第一天修路15米 C．乙队技术改进后每天修路35米 D．前七天甲，乙两队修路长度相等 10.(10´)文具超市出售某品牌的水笔，每盒标价50元，为了促销，超市制定了A，B两种方案：A：每盒水笔打九折；B：5盒以内（包括5盒）不打折，超过5盒后，超过的部分打8折．（1）若购买水笔x盒，请分别直接写出用A方案购买水笔的费用y1（元）和用B方案购买水笔的费用y2（元）关于x（盒）的关系式； （2）若你去购买水笔，如何选择哪种方案更优惠？请说明理由． 11.(12´) 参加英语夏令营的同学参观了一些景点，拍摄了很多照片，用了三卷胶卷.结束后，冲洗三卷胶卷并根据同学们的需要加印照片。已知冲洗胶卷的价格是3元/卷，加印100张以内，0.5元/张；加印超过100张可进行优惠，前100张按0.5元/张收费，超过部分按0.4元/张收费.(1）试写出冲印合计的费用y（元）与加印张数x之间的函数关系式； (2）如果去的6名同学每人加印10张，则冲印共需多少钱？如果共加印150张，则冲印共需多少钱？ (3）英语夏令营活动结束后老师结余99元，那么冲洗胶卷后还可以加印照片多少张？ 12．(10´)某鲜花专卖店制作销售两种组合的手捧鲜花，甲种组合鲜花每束128元，乙种组合鲜花每束158元．该商店计划一次制作两种组合的鲜花共60束，且全部售出．设销售甲种组合鲜花为x束，这60束鲜花的销售总额为y元． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）由于所进鲜花品种及数量限制，发现乙种组合的鲜花数量不超过甲种组合的2倍，问该商店销售甲、乙两种组合鲜花各多少束，才能使销售总额最大？ C.能力提升 13．(10´)某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表： 空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店 160 150 设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）． （1） 求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2） 为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不 变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $$