精品解析：2025年吉林省长春市南湖实验中学中考三模数学试题

2024-2025学年度下学期九年级模拟练习 数学试题 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列实数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 【详解】解：A选项：，，，，故A选项符合题意； B选项：，，，，故B选项不符合题意； C选项：大于任何负数，，故C选项不符合题意； D选项：正数大于负数，，故D选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图所示的正六棱柱，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形是一个正六边形，即看到的图形如下： ， 故选：C． 3. 如图，画直线的操作过程，依据的数学基本事实，下列说法正确的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的作法和判定．根据平行线作法判断平行线的判定方法即可． 【详解】解：画直线的操作过程，依据的数学基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，同底数幂的乘法及除法，积的乘方，利用完全平方公式，同底数幂乘法及除法，积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，则A不符合题意； B、，则B符合题意； C、，则C不符合题意； D、，则D不符合题意． 5. 在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比上面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． 6. 伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意得到，，米，根据正切的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，在中，，，米， ∴ 故选：C 7. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点．分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交内部于点，连结，连结并延长交于点，添加下列条件，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键．根据全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质进行逐项判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴是等腰三角形， 由题意可知，是的角平分线， ∴垂直平分， ∴，故选项不符题意； B. 由题意可知，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故选项不符题意； C. ∵， ∴， 无法证明，故选项符合题意； D. 由题意可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分， ∴，故选项不符题意． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，点在上，，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连结点，若的面积为4.5，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数和矩形的性质，连接，根据题意得点在一条直线上，则，那么，，根据线段的比例可得，设点，则，结合三角形面积即可求得答案． 【详解】解：矩形的对称中心是， 连接，则点在一条直线上， 则， ∵的面积为4.5， ∴， ∴ ∵， ， ， 设点，则， ∴， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 10. 如图，由内到外依次为正方形，若的面积为2，的面积为5，则的边长可以是整数_________． 【答案】2 【解析】 【分析】题目主要考查算术平方根的应用，理解题意得出B的边长的取值范围是解题关键． 根据题意得出的边长，即可求解． 【详解】解：∵的面积为2，的面积为5， ∴的边长为，的边长为， ∴的边长， ∴的边长可以是整数2， 故答案为：2． 11. 如图，是两条切线，切点分别为点，点，若，的半径为2，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，根据切线的性质得，再结合，算出，然后根据弧长公式，即可作答． 【详解】解：过点O分别作，如图所示： ∵是两条切线，切点分别为点，点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为2， 则的长度为， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，若随的增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 由二次函数的图象经过，，可得其对称轴是直线，结合图象开口向下，从而当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，进而可以判断得解． 【详解】解：二次函数的图象经过，， 对称轴是直线． 又结合图象开口向下， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 若y随x的增大而减小，则． 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点，此时恰为等边三角形，则图中重叠部分图形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得到，，由折叠得到，从而推出，得到，根据为等边三角形，得到，从而可知，，过点作于点，在中，求得，再根据等边三角形的面积公式，即可求得，最后利用三角形的中线将三角形的面积平分，即可求得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵沿对角线对折，点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， 如图，过点作于点， 在中，， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中线， ∴ ∴图中重叠部分图形的面积为． 14. 如图，以点为圆心的两个同心圆中，为大圆的直径，交小圆于两点（点靠近点），大圆的弦与小圆相切于点，连结．给出下面五个结论：①；②；③；④当时，若，则阴影部分的面积和为；⑤连结，当时，与面积相等．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】题目主要考查切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质及中位线的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 根据题意，利用垂径定理及切线的性质即可判断①；利用切线的性质及各角之间的关系判断②；利用相似三角形的判定和性质判断③；利用圆周角定理及等边三角形的判定和性质，中位线的性质定理判断④；结合图形之间的面积关系即可判断⑤． 【详解】解：连接，如图所示： ∵大圆的弦与小圆相切于点， ∴，，故①正确，符合题意； ∴， ∵是小圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴，即，故③错误，不符合题意； 当时，则， 连接， ∴， ∴，为等边三角形， ∵点P、O为中点， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和为：，故④错误，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴面积，面积， ∵面积， 面积， ∴面积面积， 故⑤正确，符合题意； 综上可得：正确的结论是①②⑤， 故答案为：①②⑤． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据完全平方公式，单项式乘多项式法则进行展开，再合并同类项，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 一个不透明的口袋中装有红，黄，白小球各1个，小球除颜色外其余均相同，从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回、再随机摸出一个小球，请你用画树状图（或列表）的方法、求出两次摸出小球的颜色相同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画出树状图，共有9个等可能的结果，两次摸出小球的颜色相同的结果有3个，由概率公式即可得出结果． 【详解】解：列表如下： 红 黄 白 红 （红，红） （红，黄） （红，白） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） 共有9个等可能的结果，两次摸出小球的颜色相同的结果有3个， ∴两次摸出小球的颜色相同的概率为 17. 某工厂计划制作个玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？ 【答案】个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用；设原计划平均每天制作个摆件，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设原计划平均每天制作个摆件，根据题意得 解得 经检验是方程的解且符合题意． 答：原计划平均每天制作个摆件。 18. 如图，在中，两锐角的角平分线，相交于点O，于点F，于点G．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：如图，作与H点，     ∵，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】作与H点，首先根据三个角是直角的四边形是矩形证明出四边形是矩形，然后根据角平分线的性质得到，进而证明出四边形是正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的判定，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． 19. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）82分 （3） 结论：小涵能入选，小悦不一定能入选 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【解析】 【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数． （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可． （3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【小问1详解】 从小到大排序， 67，68，69，69，71，72， 74， ∴中位数是69， 众数是69， 平均数： 69，69，70 【小问2详解】 解：（分）． 答：小涵的总评成绩为82分． 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图： （1）如图①，在上画一点E，连结，使； （2）如图②，在上画一点F，连结，使； （3）如图③，在上画一点M，连结，使． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据网格线的特点作图即可； （2）过点D作的垂线与的交点即为所求； （3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质作图即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：过点D作的垂线，与相交于点F， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：取格点G，连接，交于点M， 由图可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查作图的应用与设计、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及对顶角相等，掌握网格的特点及线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 21. 甲、乙两家快递站分别接到了对自己所辖范围派送快递各件的任务．甲快递站前期先派送了件后，乙快递站才开始派送，且甲、乙两家快递站的派送速度相同．甲快递站经过小时后共派送快递件，由于人员变化，接下来派送速度变慢，结果小时完成派送任务．乙快递站小时完成派送任务．在某段时间内，甲、乙两家快递站的派送件数（件）与派送时间（小时）之间的关系如图所示． （1）乙快递站每小时派送_____件，的值为_____； （2）甲快递站派送速度变慢后，求关于的函数解析式； （3）当乙快递站完成派送任务时，求甲快递站未派送的快递件数． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确掌握函数图像的信息是解题的关键． （1）根据乙的总派送量和时间算出速度，再结合甲先派送的件，求出甲派送的时间； （2）根据图像及甲慢速度阶段的两个关键坐标点，设关于的函数解析式为：（，、为常数），利用待定系数法即可求解； （3）将乙完成任务的时间代入甲的慢速度函数，算出甲已派送量，再用总量减去已派送量即可得到未派送件数． 【小问1详解】 解：∵乙快递站小时完成派送件， ∴乙快递站每小时派送：（件）， ∵甲、乙两家快递站的派送速度相同， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由题可知，甲快递站派送速度变慢后，函数图像为直线，且过、， 设甲快递站派送速度变慢后，关于的函数解析式为（，、为常数），把、代入解析式，得 ， 解得， ∴甲快递站派送速度变慢后，关于的函数解析式为； 【小问3详解】 解：∵乙快递站小时完成派送任务， ∴当时，（件）， （件）； ∴当乙快递站完成派送任务时，甲快递站未派送的快递件数为件． 22. 【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． 【答案】（1）证明：∵过点作，使，连接． ∴． ∵， ∴． （2）； [方法运用] ； [拓展迁移] 【解析】 【分析】（1）由已知条件得，即可得． （2）连接，过点F作，交延长线于点G，求出，，,得，由，可得 ，故的最小值即为． [方法运用] 连接，设交于点O，证明，可得，可得，得，得，即得的最小值是． [拓展迁移]过点A作，使，连接，证明，可得，证明，，得，得的最小值是． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点F作，交延长线于点G． 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． [方法运用]连接，设交于点O． ∵菱形中，，， ∴与都是等边三角形． ∴．， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是的长． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． [拓展迁移] 过点A作，使，连接． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是线段的长． ∵， ∴． ∴． ∵等边中，， ∴． ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形的判断和性质，等边三角形性质，勾股定理，全等三角形的判断和性质，菱形性质，是解题的关键． 23. 如图，在中，，点是边上一点，连结，以为斜边构造等腰直角，使点在直线的上方，连结． （1）当点在上时，_______．（填“”“”“”） （2）当时，求的值． （3）当点在边上时，若，求的度数． （4）当是锐角且时，直接写出的长度． 【答案】（1） （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质可得，，进而得到，易证，即可推出； （2）分点P在上，点P在上，两种情况讨论即可； （3）过点P作于点H，设，则，由（1）知，得到，求出，易证是等腰直角三角形，求出，解直角三角形求出，由即可解答； （4）分点P在上，点P在上，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，当点P在上时，过点D作于点G， 设，则， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当点P在上时， 同理：， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或； 【小问3详解】 解：过点P作于点H， 设，则， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问4详解】 解：如图，当点P在上时，过点D作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（3）知， ∴， ∴； 如图，当点P在上时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是：分情况讨论． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与直线交于两点（在的左侧），点在抛物线上，横坐标为，连结．过点作的垂线交直线于点，连结． （1）点的坐标为________，点的坐标为__________； （2）当点与点重合时，求的值； （3）以为对角线构造矩形，过点作的垂线交边（或）于点． ①当点在边上时，若点到轴的距离为3，求的值； ②当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数综合问题，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意将代入二次函数解析式求解即可确定点的坐标； （2），当点与点重合时，过点A作轴于点E，设交y轴于点F，利用相似三角形的判定和性质求解即可； （3）①设交y轴于点F，，过点A作轴于点E，根据题意得出，，，利用相似三角形的判定和性质求解即可；②分两种情况分析：当点A在直线下方时，当点A在上方时，结合矩形的性质及相似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 如图，，当点与点重合时，过点A作轴于点E，设交y轴于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴； 【小问3详解】 ①设交y轴于点F，，过点A作轴于点E，如图所示： ∵点到轴的距离为3， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点A在直线下方时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 当点A在下方时， 由①得：， ∵， ∴， ∴； 当点A在上方时， 同理得：， ∵， ∴， ∴； 综上可得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期九年级模拟练习 数学试题 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列实数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图所示的正六棱柱，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，画直线的操作过程，依据的数学基本事实，下列说法正确的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点．分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交内部于点，连结，连结并延长交于点，添加下列条件，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，点在上，，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连结点，若的面积为4.5，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 10. 如图，由内到外依次为正方形，若的面积为2，的面积为5，则的边长可以是整数_________． 11. 如图，是两条切线，切点分别为点，点，若，的半径为2，则的长度为_________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，若随的增大而减小，则的取值范围是______． 13. 如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点，此时恰为等边三角形，则图中重叠部分图形的面积为________． 14. 如图，以点为圆心的两个同心圆中，为大圆的直径，交小圆于两点（点靠近点），大圆的弦与小圆相切于点，连结．给出下面五个结论：①；②；③；④当时，若，则阴影部分的面积和为；⑤连结，当时，与面积相等．上述结论中，正确结论的序号有__________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 一个不透明的口袋中装有红，黄，白小球各1个，小球除颜色外其余均相同，从口袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回、再随机摸出一个小球，请你用画树状图（或列表）的方法、求出两次摸出小球的颜色相同的概率． 17. 某工厂计划制作个玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？ 18. 如图，在中，两锐角的角平分线，相交于点O，于点F，于点G．求证：四边形是正方形． 19. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图： （1）如图①，在上画一点E，连结，使； （2）如图②，在上画一点F，连结，使； （3）如图③，在上画一点M，连结，使． 21. 甲、乙两家快递站分别接到了对自己所辖范围派送快递各件的任务．甲快递站前期先派送了件后，乙快递站才开始派送，且甲、乙两家快递站的派送速度相同．甲快递站经过小时后共派送快递件，由于人员变化，接下来派送速度变慢，结果小时完成派送任务．乙快递站小时完成派送任务．在某段时间内，甲、乙两家快递站的派送件数（件）与派送时间（小时）之间的关系如图所示． （1）乙快递站每小时派送_____件，的值为_____； （2）甲快递站派送速度变慢后，求关于的函数解析式； （3）当乙快递站完成派送任务时，求甲快递站未派送的快递件数． 22. 【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． 23. 如图，在中，，点是边上一点，连结，以为斜边构造等腰直角，使点在直线的上方，连结． （1）当点在上时，_______．（填“”“”“”） （2）当时，求的值． （3）当点在边上时，若，求的度数． （4）当是锐角且时，直接写出的长度． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与直线交于两点（在的左侧），点在抛物线上，横坐标为，连结．过点作的垂线交直线于点，连结． （1）点的坐标为________，点的坐标为__________； （2）当点与点重合时，求的值； （3）以为对角线构造矩形，过点作的垂线交边（或）于点． ①当点在边上时，若点到轴的距离为3，求的值； ②当时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $