湖南省多校大联考2026届高三上学期阶段性检测（一）数学试题

保密★启用前 高三数学 过 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需玫 动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 蒙 在本试卷上无效 批 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 州 1.已知复数z=(1+2i)i,则其共轭复数z= 分 A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 2.已知集合A=11,2,3,5,6,7},B={xx-2eA|,则A∩B= A.11,2,3} B.11,3,5} C.15,6,7} D.13,5,7 毁 3.已知向量a=(5,m),b=(0,4),若b,b-a）=号，则实数m= 桨 A.0 B.1 C.3 D.5 4.已知a,beR,则“6≠0”是“+a+也>2”的 a+b a 盈 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知双曲线C:x-号=1的左、右焦点分别为F,F,若C上一点A到y轴的距离为5，则 3 △AF,F2的面积为 A.46 B.26 C.23 D.6 6.已知i血0+im。-引）=1，则m0+】 c D. 数学试题 第1页（共4页） 7.已知八x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)=(x一3)/(x)的图象关点(3,0)中付称， 若g(-1)=-4,则f八5)= A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图，棱长为2的正八面体内部有一个圆柱，正八体的一条对角线'与圆柱的轴重行，且E 八面体的每个面均与圆柱的上底面或下底面的圆周相切，则这个圆柱 的体积的最大值为 A.82m 85π B 81 27 c.642x 27 n.322m 9 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知a是递增的等比数列，其前n项和为3者山=2S=?.则 A.a1=1 35 B.4,-4=16 Cs D.{S+2引是等比数列 10已知函数)=m(2x+plpl<号引的图象关于直线x=晋对称，则 Ax)的图象关于点（后，0对称 Bx)在区间受，）上单调递减 C)在区间-m,-) 内有两个极值点 D.将y=2n+)的图象向下平移1个单位长度即可得到x)的图象 1已知函数)则 A.f(x)在(1,2)上具有单调性 B.方程ef代x)=ln2有两个不相等的实根 C对任意xeR)<日 D.存在名∈R,使得)> 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12已知函数)=a>0且a1),若2)+4)=3.则a= 13.抛物线有这样的光学性质：与抛物线的对称轴平行的光线经抛物线反射后，反射光线经过 抛物线的焦点，由光路是可逆的，可知从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛 物线的对称轴平行.如图，雷达接收器的截面曲线可看作抛物线C:yY=4x,光信号沿着直 线y=】人射到C上的点A,经C反射到点B,反射光线AB与x轴交于C的焦点F,则光信 号经B点反射后，反射光线所在直线的方程为 4已知西数八)的定文效为(0。+)，其导数为了()：，曲线y=)在点 A(af八a))(f八a)≠0)处的切线为l1,过点A作l1的垂线L2,若L1,l2与x轴的交点横坐标 分别为x1,则产+二20的最小值为】 尤2-x1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 在△ABC中，内角AB,C所对的边分别为ab,cA为领角，且号=oCeB2cs7 sin2C (1)求A: (2)设D为AB的中点，若CD=BC,且b+c=10,求△ABC的面积 16.(15分) 在信道内传输0,1信号，信号的发射和接收都有A,B两种模式，若发射与接收的模式相 同，则接收的信号与发射的信号相同，若发射与接收的模式不同，则接收的信号与发射的 信号也不同。每次发射和接收信号时，选择A模式的概率均为子，选择B模式的概率均为 ,每次发射和接收相互独立。 数学试题第3页（共4页） (1)求一次信号传输中，接收的信号与发射的信号相同的概率： (2)信号发射器从2个0和3个】中随机选择3个信号依次发射，记发射信号1的个数 为X (ⅰ)求X的分布列和数学期望： (ⅱ)当X=2时，求接收的信号是2个0和1个1的概率. 17.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A,B,C中，侧面BCC,B,为矩形，平面BCC,B,⊥平面ACC,A,AM=2, AC=A C=2. (1)证明：A,C⊥平面ABC; (2)若AB,=√3，求直线AB,与平面BCC,B,所成角的征弦值 18.(17分)》 已知函数)=alnx+2,aeR (1)若a=2,求曲线y=(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当a变化时，曲线y=八x)过定点(x,o),证明：2<%<n2; (3)若)<a<1,求函数g()=x)-的零点个数 19.(17分) 已知椭圆C:名+=1(a>b>0)的离心率为，且经过点A(3,0),直线4,4过点A且 相互垂直，4交C于另一点P,42交C于另一点Q (1)求C的方程： (2)证明：直线PQ过定点； (3)先将C绕原点0旋转90°，再将所得曲线上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的 A(A>0)倍得到椭圆E,若2与E的一个交点为R,且IAP1=IARI,求E的长轴长的 取值范围。 数学试题第4页（共4页）高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.A 2.D 3.C 4.C 5.B 6.B 7.A 8.B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.ACD 10.ABD 11.BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.4 13.y=-4 14号 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解析(1)由条件及正弦定理得nC sin'C sin B cos Ccos B+2cos2A' 整理得sin Csin B=cos Ccos B+2cos2A, 所以C0s(B+C)=-2c0s2A.… (3分) 所以c0s(T-A)=-2cos2A,即c0sA=2cos2A. 又A为锐角，cosA≠0， 所以A=之，故A= 3 …(6分） (2)在△ACD中由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos A, 即a2=B+子-S①…☑ (7分) 在△ABC中由余弦定理得a2=b2+c2-bc.②.… (8分) 02消去a,得3=2c,即6=多。 …（10分) 因为b+c=10,所以b=6,c=4, 所以5a=2 einA=7×6x4x=6后 2 (13分) 16.解析(1)一次信号传输中，接收的信号与发射的信号相同的概率为P ()+(8高 …(4分） (2)(1)由题意知X的所有可能取值为1,2,3， 且P(X=1)= C8=10: …(7分) 一1 所以X的分布列为 X 1 2 3 3 3 1 P 10 5 10 所以(0=1×+2×号+3×0-号 (9分) (ⅱ)当X=2时，发射的信号为1个0和2个1.要使接收的信号为2个0和1个1，有下列两种情况： ①这3个信号发射与接收的均不相同：A=(令)=品： (11分) 2中1个1被接收为0，另外2个信号发射与接收的信号相同：片=C心×号×（冬厂-忍 …(13分)》 故接收的信号是2个0和1个1的概率为P,+P,=52+25612 27.75177 …(15分) 17.解析(1).侧面BCC,B1为矩形，.BC⊥CC1,又平面BCCB1⊥平面ACC,A1,平面BCC,B∩平面ACC,A1=CC1, .BC⊥平面ACC1A1,.BC⊥AC.…(2分) .AA =2,AC=A C=2,.'.AA?=AC2+A C2, ∴.AC⊥A1C.… (4分) 又AC∩BC=C,AC,BCC平面ABC,.A1C⊥平面ABC.… (6分) (2)连接AC1,如图. 由已知可得CC1=2,AC=√2，∠ACC1=135°， 由余弦定理可得AG=√2+（万2+2x2x反×号=而 …(7分） :B1C1∥BC,.BC1⊥平面ACC1A1,B1C1⊥AC1, B1C1=/13-10=5.. …(8分） 由(1)可知CA,CB,CA1两两互相垂直，故以C为坐标原点，CA,CB,CA1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所 示的空间直角坐标系，… …(9分）》 B 则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,5,0),B1(-25,2),C(-2,0,2),…(10分) 一2 .c=(0,5,0),cC=(-2,0,2),AB=(-22,5,2). 设平面BCC1B,的法向量为n=(x,y,z), n·CB=5y=0, 则 取=(1,0,1).…（12分） ln.cC=-2x+2z=0, 设直线AB,与平面BCC,B1所成的角为O, 则sim0=1cas(m,AB》1=1n·AB1=压 Inl·IABI 13, ·直线AB与平面BCC,B,所成角的正弦值为屋 13 …(15分） 18解折（1)若a=2,则f代)=2nx-士()=2+ -+ x29无>0，… (1分) 所以f'(1)=3,f1)=-1, 因此曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=3x-4.…(3分) (2)=a(m-)+ 因为曲线y=x)过定点(00)，所以1n0-=0,从而%=f)==n0…(5分) 易知函数h(x)=hx-士在(0，+0)上单测递增，且A(1)=-1<0,h(2)=n2-子>0， 1 所以X0∈(1,2).…(7分） h2,即<%<n2 (9分) (3f'(x)=g-=4=a--）,x>0. x x2 x2 令f(x)=0,得x=1=>0, a 所以当0<x<-时，f(x)<0代x)单调递减：当x>I-时，f'(x)>0,fx)单调递增， a e 因此x=。2） (12分) 当号<a<1时0<。<1，且。）<)=1-a<分 (14分) 由(2)可知，存在e(1,2),满足6)>2，又当x>0且0时f代)→+0，…… (16分) 故g(x)有两个零点. (17分) 19.解析(1)因为C过点A(√3,0)，所以a=3, 因为C份离心率为5所以匠区-要得6=1 a 一3 所以C的方程为+三1.…(3分） (2)易知14，山的斜率均存在且不为0，故设：x=网+5,4：=-六+5. 「x2+3y2-3=0, 由 得(m2+3)y2+25my=0, Lx=my+3. 故n=- m2,xm=33,,所以PY23m、25m 25m m2+3,m2+3 …(5分) 同理可得(35m-525m】 1+3m2'1+3m2 若m≠±1，则直线PQ:y= 4m 35-5m2 4m_ 3(m2-1) m2+3 3(m2-1) -2 故直线PQ过点 (7分) 若m=±1，则直线P0:x=,直线P0过点（号. 综上，直线PQ过定点 …(9分) (3)由题意可知E的方程为+3=X.…(10分） 因为A(5,0),P(xp,yp),R(xRyR),所以A=(p-5,yp),A=(xg-5,yR) 根据对称性，不妨将A函看作是由AP逆时针旋转90°得到， 因为A.A成=0,1A=1A,所以xg-万=-yp,yR=xp-5,所以R(5-yxp-5).…(12分) 因为点R在E上， =5-+-手24-2（告+小 3 3 又点P在C上，所以季+2=1，所以X=5-25(号+） …(14分) xp=3cos a, 设 其中ae(0,r)U(π，2π)， LYp sin a, 则=5-25（停su+smd=5-4n(a+看）e[1,9,即Ae[1,3], 故椭圆E的长轴长25入的取值范围是[23,65].… (17分) 4