2025年初高中数学衔接课件（共七讲）

衔接课 第一讲 数的分类 第二讲 因式分解 第三讲 方程组与不等式(组) 第四讲 一元二次方程 第五讲 一元二次函数 第六讲 一元二次不等式 第七讲 分式不等式与简单高次不等式 第一讲 数的分类 1.数的分类 (1)偶数:如果x能被2整除,则x是一个偶数. 奇数:如果x除以2的余数为1,则x是一个奇数. 第一讲 数的分类 (2)有理数：可以写成分数形式的数称为有理数 ps:有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式. (3)自然数：即非负整数，包括0和正整数. 第一讲 数的分类 2.数与数之间的关系：相等、大于、小于 3.数与数之间的运算 第一讲 数的分类 第二讲 因式分解 第二讲 因式分解 第二讲 因式分解 第二讲 因式分解 第二讲 因式分解 第二讲 因式分解 第二讲 因式分解 第二讲 因式分解 第三讲 方程组与不等式(组) 一.方程组 1.二元一次方程组：(1)代入消元法；(2)加减消元法 2.三元一次方程组 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 第三讲 方程组与不等式(组)——方程组 第三讲 方程组与不等式(组)——方程组 第三讲 方程组与不等式(组)——方程组 二.不等式与不等式组 不等式两边同时乘以一个负数，不等号要变向. 第三讲 方程组与不等式(组)——不等式(组) 三、绝对值与绝对值不等式 1.绝对值 (1)绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零 绝对值与绝对值不等式 表示x轴上坐标为x的点到坐标原点之间的距离为5 表示x轴上坐标为x的点到坐标为1的点之间的距离 1 3 A B x 0 4 C D x P |x－1| |x－3| 第三讲 方程组与不等式(组)——绝对值不等式 1、绝对值 (1)绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身 负数的绝对值是它的相反数 零的绝对值仍是零 (2)绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 (3)两数差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离 绝对值与绝对值不等式 2、含绝对值的不等式的解法 小于取中间，大于取两边 推广：若|kx+b|<a(a>0),则-a<kx+b<a. 若|kx+b|≥a(a>0),则kx+b≤-a或kx+b≥a. 绝对值与绝对值不等式 第四讲 一元二次方程 注意:在求判别式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式． 求根公式 第四讲 一元二次方程 第四讲 一元二次方程 第四讲 一元二次方程 步骤： ①化系数：把二次项系数化为1； ②配常数：加上一次项系数一半的平方,再减去相同的数； ③移项：把除了平方以外的数全部移到等式的右边,变为(x+n)2=p的形式； ④求解：开平方，移项得到方程的解. 第四讲 一元二次方程 第四讲 一元二次方程 第四讲 一元二次方程 步骤： ①化系数：把二次项系数化为1； ②配常数：加上一次项系数一半的平方,再减去相同的数； ③移项：把除了平方以外的数全部移到等式的右边,变为(x+n)2=p的形式；； ④求解：开平方，移项得到方程的解. 第四讲 一元二次方程 第四讲 一元二次方程 第四讲 一元二次方程 第四讲 一元二次方程 第四讲 一元二次方程 所谓配方法:是把代数式通过“凑”、“配”等手段，将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法； 配方法主要适用于含“二次项”的函数、方程、等式、不等式的讨论、求解与证明。 配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，其作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法在代数式的化简求值、化简根式、解方程、解函数最值和解析式、证明等式和不等式问题等方面有广泛的应用。 第四讲 一元二次方程 配方法的配方依据是二项完全平方公式： 基本变形模型 第四讲 一元二次方程 配方法在求函数最值中的应用 配方法在求解方程中的应用 第四讲 一元二次方程 配方法在化简和求值中的应用 第四讲 一元二次方程 配方法在化简和求值中的应用 7 第四讲 一元二次方程 第五讲 一元二次函数 决定 开口方向 c:截距 a>0时,开口向上 a<0时,开口向下 函数图像与y轴的交点纵坐标 （0，c） 对称轴： 第五讲 一元二次函数 2.一元二次函数图像与性质 a符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点 最值 第五讲 一元二次函数 a符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 增减性 2.一元二次函数函数图像与性质 第五讲 一元二次函数 第五讲 一元二次函数 第五讲 一元二次函数 4.一元二次函数的解析式 第五讲 一元二次函数 5.作图 作图时，要根据题目需要把特殊点和特殊线标出来,如对称轴、顶点、与坐标轴的交点等. 第五讲 一元二次函数 6.求二次函数在某一范围上的最值 (1)若对称轴在取值范围内，则最值在 和 处取得. (2)若对称轴不在取值范围内，则最值在 处取得. 对称轴 较远端点 端点 先求对称轴 第五讲 一元二次函数 第六讲 一元二次不等式 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式， 发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题： 方程的解为 不等式的解为 不等式的解为 对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式， 他们的联系又是怎样的呢？ 第六讲 一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0；ax2＋bx＋c＜0 ax2＋bx＋c≥0；ax2＋bx＋c≤0 其中a、b、c为常数，a≠0． 1.一元二次不等式：只含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的不等式,称为一元二次不等式.一般形式如下： 1.“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母； 2.“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次项系数不为0. 2.使一元二次不等式成立的的所有解x组成的集合叫做一元二次不等式的解集. 第六讲 一元二次不等式 探究：一元二次不等式和二次函数之间的关系. x y o 2 10 作出二次函数的图象,如右图. 图象与x轴有两个交点, 这两个交点的横坐标即方程=0的实数根. 第六讲 一元二次不等式 函数的零点 方程的根 函数图象与x轴交点横坐标 [注]①零点是数,不是点；②零点是函数的专属概念. 2和10 -2 第六讲 一元二次不等式 思考：能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ x y o 2 10 如图，二次函数y=x2-12x+20 的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段． 当x＜2 或x＞10时，图象在x轴上方，y＞０，即x2-12x+20>0； 当2<x＜10时，y<０，图象在x轴下方，即x2-12x+20<0； 故一元二次不等式x2－12x＋20＜0的解集是{x|2＜x＜10}. 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 的解集. 首先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图像求解. 第六讲 一元二次不等式 第六讲 一元二次不等式 例题讲解——1.解一元二次不等式 二次项系数为“负”，需要把二次项系数变为“正” 第六讲 一元二次不等式 解一元二次不等式的步骤: ①化正:化为ax2+bx+c>0(a>0) ③求根:求方程ax2+bx+c=0的根 ④画图:画函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 因式分解or求根公式 大于取两边,小于取中间. ②判别:判别△确定有无实数根 ⑤写解:由图象写出不等式的解集 第六讲 一元二次不等式 ①化正 ③求根 ④画图 ②判别 ⑤写解 第六讲 一元二次不等式 第六讲 一元二次不等式 x≤-4或x≥3 大于取两边 【总结】二次根号下有意义：根号下大于等于零 第六讲 一元二次不等式 第六讲 一元二次不等式 一元二次函数的零点 一元二次方程的根 一元二次不等式的解集端点 第六讲 一元二次不等式 三个“二次”关系的实质用数形结合的思想来解读 的解的图像与轴的交点的横坐标； 的解集的图像上的点处于轴 上方时，对应的的取值范围的集合； 的解集的图像上的点处于轴 下方时，对应的的取值范围的集合； 第六讲 一元二次不等式 已知不等式的解集求参数 一元二次方程的根 ⇔一元二次不等式的解集端点 (法1) (法2) 第六讲 一元二次不等式 第六讲 一元二次不等式 2 第六讲 一元二次不等式 (法1) 第六讲 一元二次不等式 (法2) 第六讲 一元二次不等式 √ 第六讲 一元二次不等式 第七讲 分式不等式与简单高次不等式 1. 分式不等式 简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解 第七讲 分式不等式与简单高次不等式 (1)方法一(同解变形):先移项，再通分(不要去分母)，再转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 1. 分式不等式 (2)方法二(穿根法)：移项通分再穿根 第七讲 分式不等式与简单高次不等式 同解变形(分母不为0！) 第七讲 分式不等式与简单高次不等式 73 第七讲 分式不等式与简单高次不等式 第七讲 分式不等式与简单高次不等式 答案：5 第七讲 分式不等式与简单高次不等式 -1 1 2 第七讲 分式不等式与简单高次不等式 解：不等式化为x(x-1)(x-2)(x+3)<0 由数轴穿根法，如图， 0 1 2 -3 + + + - - 所以解集为{x|-3<x<0或1<x<2} 第七讲 分式不等式与简单高次不等式 未完待续…… 解：因为不等式ax－b＞0的解是x＞1，所以a＞0，＝1， 所以(ax＋b)(x－3)＞0等价于a(x＋1)(x－3)＞0，其解应为x＜－1或x＞3，故选D. 【解】（1）不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组， 可得x≤－1或x>3. 即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x＞3}． 【解】（2）不等式<3可改写为－3<0， 即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<1. 所以，原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 解：由于原不等式等价于 因此结合不等式解集知a＝5. $$