2.3.3点到直线的距离公式课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2．3.3　点到直线的距离公式 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点　点到直线的距离 第一部分 3 #复习回顾 平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)， 书本74页问题探究 如图，已知点P(x0,y0)，直线l：Ax+By+C=0，如何求点P到直线 l 的距离？ x y O P Q l x y O P Q l P到直线 l 的距离，即垂线段|PQ|的长度， 其中Q是垂足。 书本74页问题探究 因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出,就可以得到点P到直线的距离。 x y O P Q l 设A且直线的斜率为 书本75页问题探究 可得垂线PQ的斜率为,又知道点P的坐标为 由点斜式得：直线PQ的方程为 化简整理得：直线PQ的一般方程为 x y O P Q l 书本75页问题探究 利用两相交直线的交点坐标，即联立直线和垂线PQ的方程。 解方程组 ①得 ③—④：解得, x y O P Q l 于是，由两点距离公式 书本75页问题探究 即 已知P 点到直线距离公式 因此，点P x y O P Q l 的距离 当然可以验证，当A=0,或B=0时，上述公式仍然成立 问题探究 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离？ x y O P Q l 问题探究 x y O M(x,y) Q l P(x0,y0) 设Ml上任意一点， 是与直线的方向垂直的单位向量； 根据向量的数量积公式： 因此， 又因为 是与直线的方向垂直的单位向量；所以=1 因此， 小贴士 如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n？ 问题探究 x y O M(x,y) Q l P(x0,y0) P到直线 l 的距离，即向量的模 n =(x-x0,y-y0)，= 一、点到直线的距离公式 点P(x0,y0),直线l：Ax+By+C=0 点P到直线 l 得距离为：d= 点P到直线 l 得距离|PQ|为在上的投影长度 x y O P Q l M 书本77页 例1(求点到直线距离) 求点P(-1,2)到直线l：3x=2的距离. 注意：直线要化为一般式！ 练习巩固 例2(求直线围成图形的面积) 已知ΔABC的三个顶点A(1,3)，B(3,1)，C(-1,0)，求ΔABC的面积. x y O A C B 即时练 × × √ × 校本资料53页 返回首页 C　 校本资料53页 返回首页 3．两条直线l1：x－y＋3＝0与l2：2x＋y＝0的交点到直线x＋y－3＝0的距离为________． 校本资料53页 返回首页 4．(2026·延庆期中)已知△ABC的三个顶点A(2，2)，B(2，0)，C(0，1)，则△ABC的边AC上的高的长度为________． 校本资料53页 返回首页 应用点一　由点到直线的距离求参数 例1　(1)(2026·盐城期中)已知点(a，1)(a<0)到直线l：3x＋4y＋5＝0的距离为3，则a＝(　　) A．－2 B．－8 C．－2或－8 D．2 B　 校本资料53页 返回首页 (2)已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为__________________________________． x＋2＝0或5x＋12y－26＝0 返回首页 训练 返回首页 2．(2026·聊城期中)若以A(1，1)，B(3，5)和y轴上一点P为顶点的三角形的面积为5，则点P 的纵坐标为________． 4或－6 返回首页 A　 返回首页 (2)点(0，－1)到直线λx－y＋λ＝0(λ∈R)距离的最大值为________． 返回首页 返回首页 　　　1.实数a，b满足a＋b＋1＝0，则a2－2a＋b2的最小值为(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 训练 B　 方法二：由a＋b＋1＝0，得b＝－1－a，所以a2－2a＋b2＝a2－2a＋(－1－a)2＝2a2＋1， 依据二次函数的性质2a2＋1的最小值为1. 返回首页 2．若点P(－2，－1)到直线l：(1＋2λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离取最大值时，则λ＝________． 返回首页 返回首页 课堂巩固自测 B　 返回首页 AC　 返回首页 3．点A(3，1)到直线l：y＝k(x－1)的距离的最大值为________． 返回首页 4．(教材P79 T11改编)在直线l：y＝x上求一点P，使得以A(1，3)，B(2，5)和P为顶点的三角形的面积为2. 返回首页 课堂小结 点P(x0,y0),直线l：Ax+By+C=0 点P到直线 l 得距离为：d= 点P到直线 l 得距离|PQ|为在上的投影长度 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)当点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式不适用了．(　　) (2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　) (3)直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　) (4)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.(　　) $