精品解析：四川省广安友实学校2022—2023学年九年级下学期第二次月考数学试题

广安友实学校 2022-2023学年度下期初2020级阶段作业 数 学 一．选择题（每题3分，满分30分） 1. 若，互为相反数，则下列等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 随着我国金融科技的不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，今年“双十一”天猫成交额高达2135亿元．将数据“2135亿”用科学记数法表示为 A. 2.135×1011 B. 2.135×107 C. 2.135×1012 D. 2.135×103 3. 如图所示的四棱柱的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 画一个三角形，其内角和是 B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球 5. 下列各徽标中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ） A. x＞﹣3且x≠0 B. x＞﹣3 C. x≥﹣3 D. x≠﹣3 8. 如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝1，AC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，其中点与点B是对应点，且点C、、在同一条直线上，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 2.5 D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标是，顶点B的坐标是，对角线AC，BD的交点为M．将正方形ABCD绕着原点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（满分18分，每小题3分） 11. 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为__． 12. 分解因式：______． 13. 关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是___________． 14. 如图，将菱形折叠，使点落在边的点F处，折痕为．若，则________． 15. 如图，扇形纸片的半径为3，沿折叠扇形纸片点O恰好落在弧上的点C处，则图中阴影部分的面积为______． 16. 抛物线的部分图象如图所示，抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标为．下列结论中：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点坐标为；⑤若点在该抛物线上，则．其中正确的有____．（填序号）． 三．解答题 17. 计算： 18. 先化简，再求值：÷，其中． 19. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数（k为常数且）的图像交于，B两点，与x轴交于点C． （1）求a，k的值及点B的坐标； （2）若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标． 四、实践应用 21. 某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． （1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ （2）请把图2的条形统计图补充完整； （3）若全校参展作品中有五名同学获得一等奖，其中有三名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生和一名女生的概率． 22. 为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍． （1）求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润． 23. 某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长． （参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．） 24. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，M，N均是格点．点P是这个网格图形中的格点，连结，，且满足．在如图所示的网格中，画出点P的位置（每个图中画一种），并写出对应的长． （1）图（1）中 ； （2）图（2）中 ； （3）图（3）中 ； （4）图（4）中 ； 五、推理与论证 25. 已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BD于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且∠OEB＝∠ACD． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）求证：CD2＝CG•CA； （3）若⊙O的半径为，BG的长为，求tan∠CAB． 六、拓展探究 26. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标； (3)在抛物线上是否存在点N，使S⊿ABN=S⊿ABC，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安友实学校 2022-2023学年度下期初2020级阶段作业 数 学 一．选择题（每题3分，满分30分） 1. 若，互为相反数，则下列等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意直接根据相反数的定义和性质，进行分析即可得出答案． 【详解】解：A. ，注意b≠0，此选项当选； B. ，此选项排除； C. ，此选项排除； D. ，此选项排除. 故选：A. 【点睛】本题考查相反数，熟练掌握相反数的定义和性质是解答此题的关键． 2. 随着我国金融科技的不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，今年“双十一”天猫成交额高达2135亿元．将数据“2135亿”用科学记数法表示为 A. 2.135×1011 B. 2.135×107 C. 2.135×1012 D. 2.135×103 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为ax10n的形式，其中1<|a| < 10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变为a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同. 【详解】解：2135亿= 2.135×1011，故答案为A. 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为ax10n的形式，其中1<|a| < 10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 3. 如图所示的四棱柱的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据三视图的定义可得答案. 【详解】解：正面看易得四棱柱的两条棱位于四棱柱的主视图内, 且为虚线. 故选B. 【点睛】本题考查了三视图的知识, 主视图是从物体的正面看得到的视图, 找到从正面看所得到的图形即可, 注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 画一个三角形，其内角和是 B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故本选项错误； B、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7是必然事件，故本选项错误； C、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项正确； D、在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球是不可能事件，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5. 下列各徽标中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，分别进行判断，即可得到答案. 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故B错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C正确； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误； 故选：C. 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是熟记定义. 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、与不是同类项，不能合并，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确． 7. 函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ） A. x＞﹣3且x≠0 B. x＞﹣3 C. x≥﹣3 D. x≠﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不为0列式计算即可． 【详解】解：∵函数y＝， ∴，解得：x＞﹣3． 故选：B． 【点睛】本题考查函数基本知识，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件． 8. 如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可完成． 【详解】∵ ∴ ∴BC=3CE ∵BC+CE=10 ∴3CE+CE=10 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键． 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝1，AC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，其中点与点B是对应点，且点C、、在同一条直线上，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 2.5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，即可推出，用勾股定理求出，则． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够证明出． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标是，顶点B的坐标是，对角线AC，BD的交点为M．将正方形ABCD绕着原点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作轴，垂足为N，证明．求出点D的坐标为．进一步求出点M的坐标为．分析可知点M旋转一周需要旋转（次），利用，，可知第2022次旋转结束时和第6次旋转结束时，点M的坐标相同，且此时点M的位置就是绕点O逆时针旋转270°（或顺时针旋转90°）的位置．故可知点M的坐标为． 【详解】解：∵，， ∴，． 过点D作轴，垂足为N，如解图所示， 则． ∵四边形ABCD为正方形， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∴点D的坐标为． ∵点M为BD的中点， ∴点M的坐标为． 由题意，可知正方形ABCD绕着原点O逆时针旋转，每次旋转45°，点M也绕着原点O逆时针旋转，每次旋转45°，则点M旋转一周需要旋转（次）． 又∵，， ∴第2022次旋转结束时和第6次旋转结束时，点M的坐标相同，且此时点M的位置就是绕点O逆时针旋转270°（或顺时针旋转90°）的位置． ∴第2022次旋转结束时，点M的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与旋转规律，正方形性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是理解第2022次旋转结束时和第6次旋转结束时，点M的坐标相同，且此时点M的位置就是绕点O逆时针旋转270°（或顺时针旋转90°）的位置． 二．填空题（满分18分，每小题3分） 11. 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为__． 【答案】10 【解析】 【分析】求出方程的解确定出等腰三角形的底边与腰长，求出三角形周长即可． 【详解】解：方程， 因式分解得， 解得：或， 若4为底边，2为腰，因为，构不成三角形； 若4为腰，2为底，因为，能构成三角形，此时周长为； 则周长为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握因式分解法解一元二次方程、三角形的三边关系、等腰三角形的性质是解题的关键． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式-y，再运用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式= = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法因式分解，综合运用这两种方法分解因式，是解题的关键． 13. 关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解： ∵解不等式①得：x＞8， 解不等式②得：x＜2-4a， ∴不等式组的解集是8＜x＜2-4a， ∵关于x的不等式组有四个整数解，是9、10、11、12， ∴12＜2-4a≤13， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 14. 如图，将菱形折叠，使点落在边的点F处，折痕为．若，则________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，解题关键是理清折叠前后重叠的线段及角相等．根据菱形的性质得，，由折叠的性质可得，，再根据“等边对等角”可得，利用平角计算出的值，然后利用三角形内角和即可计算的值． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵将菱形折叠，使点落在边的点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，扇形纸片的半径为3，沿折叠扇形纸片点O恰好落在弧上的点C处，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，利用分割法求出图形的面积即可，掌握扇形的面积公式，是解题的关键． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴四边形为菱形， 连接，交于点，则：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 抛物线的部分图象如图所示，抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标为．下列结论中：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点坐标为；⑤若点在该抛物线上，则．其中正确的有____．（填序号）． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想思考问题．根据二次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下，交轴于正半轴， ，， ， 故①正确； ， ， ， ， 故②错误； 观察图象可知，抛物线与直线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， 故③正确； 抛物线的对称轴，与轴交于， 另一个交点坐标， 故④错误； 时，函数有最大值， 点在该抛物线上，则， ， 故⑤正确． 故答案为：①③⑤． 三．解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则，绝对值，乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：÷，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先将括号内通分计算，再根据分式的乘除法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值；掌握好分式的计算法则是解决本题的关键． 19. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 【答案】（1） 证明： 正方形ABCD， （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明再结合BE＝DF，从而可得结论； （2）先利用正方形的性质证明 再求解EF的长，再利用四边形AECF的面积，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连结AC， 正方形ABCD， ∴四边形AECF的面积 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，掌握“正方形的对角线相等且互相垂直平分”是解本题的关键． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数（k为常数且）的图像交于，B两点，与x轴交于点C． （1）求a，k的值及点B的坐标； （2）若点P在x轴上，且，直接写出点P的坐标． 【答案】（1），，点B的坐标为 （2）点或 【解析】 【分析】（1）通过一次函数求得点的坐标，代入反比例函数求得值，联立一次函数与反比例函数即可求解； （2）设点P的坐标为，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得， ∴． 把代入反比例函数， ∴，∴反比例函数的表达式为， 联立两个函数的表达式得 解得或， ∴点B的坐标为． 【小问2详解】 解：当时，得， ∴点． 设点P的坐标为， ∵，∴， 解得，， ∴点或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 四、实践应用 21. 某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． （1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ （2）请把图2的条形统计图补充完整； （3）若全校参展作品中有五名同学获得一等奖，其中有三名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）12件 （2） 补充作图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，数据的处理，用树状图或列表法求概率，牢记相关内容是解题的关键； （1）根据扇形统计图算出C班作品数量占整体的份数，然后再计算整体件数即可； （2）由第一问知道作品总件数，算出B班件数，画图即可； （3）画出表格或树状图，然后计算概率即可； 【小问1详解】 解：（件） 【小问2详解】 B组件数为：（件）， 【小问3详解】 画树状图如下： 所有等可能的情况共有20种，其中恰好抽中一名男生和一名女生的情况共有12种， 恰好抽中一名男生和一名女生的概率为． 22. 为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍． （1）求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元；（2）购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，且最大利润是2400元 【解析】 【分析】（1）设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为（x+30）元，利用“用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍”列方程求解即可； （2）设该商场购进甲品牌T恤衫y件，则购进乙品牌T恤衫（100-y）件，结合题目条件得到y的范围，并列出利润关于y的一次函数，运用一次函数的性质结合y范围即可求解． 【详解】解：（1）设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为（x+30）元， 由题意，得， 方程两边乘，得， 解得， 检验，当时，， 所以，原分式方程的解为． 故甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元． （2）设该商场购进甲品牌T恤衫y件，则购进乙品牌T恤衫（100-y）件， ∵购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍， ∴． ∴． 由题意，利润=-20y+4000， ∵， ∴W随y的增大而减小， ∴当时，W的最大值为元， ∴获利最大的进货方案是：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，且最大利润是2400元． 【点睛】本题主要考查了分式方程、一元一次不等式、一次函数在实际问题中的应用.熟练运用一次函数的性质确定最大利润方案是解决本题的关键． 23. 某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长． （参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．） 【答案】1.8米 【解析】 【分析】设PA=PN=x，Rt△APM中求得=1.6x, 在Rt△BPM中，解得x=3，MN=MP-NP=0.6x=1.8. 【详解】在Rt△APN中，∠NAP=45°， ∴PA=PN, 在Rt△APM中，, 设PA=PN=x， ∵∠MAP=58°, ∴=1.6x, 在Rt△BPM中，, ∵∠MBP=31°，AB=5, ∴, ∴ x=3, ∴MN=MP-NP=0.6x=1.8（米）, 答：广告牌的宽MN的长为1.8米． 【点睛】熟练掌握三角函数的定义并能够灵活运用是解题的关键. 24. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，M，N均是格点．点P是这个网格图形中的格点，连结，，且满足．在如图所示的网格中，画出点P的位置（每个图中画一种），并写出对应的长． （1）图（1）中 ； （2）图（2）中 ； （3）图（3）中 ； （4）图（4）中 ； 【答案】（1）图见解析, （2）图见解析， （3）图见解析， （4）图见解析，6 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，圆周角定理． （1）在边上取点，使，连接，，利用可证得，进而可得是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可； （2）（3）（4）作的外接圆可得出符合条件的点，再利用勾股定理可求得答案． 【小问1详解】 解：如图，在边上取点，使，连接，， ，， ， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ； , 故答案为：； 【小问2详解】 解：点P如图中的所示： ； , 故答案为：； 【小问3详解】 解：点P如图中的所示： , 故答案为：； 【小问4详解】 解：点P如图中的所示： , 故答案为：6； 五、推理与论证 25. 已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BD于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且∠OEB＝∠ACD． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）求证：CD2＝CG•CA； （3）若⊙O的半径为，BG的长为，求tan∠CAB． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）tan∠CAB＝． 【解析】 【分析】（1）由∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD知∠OEB＝∠ABD，由OF⊥BD知∠BFE＝90°，即∠OEB＋∠EBF＝90°，从而得∠ABD＋∠EBF＝90°，据此即可得证； （2）连接AD，证△DCG∽△ACD即可得； （3）先证△CDF∽△GCF得，再证△DCG∽△ABG得，据此知，由r＝，BG＝知AB＝2r＝5，根据tan∠CAB＝tan∠ACO＝可得答案． 【详解】（1）∵∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD， ∴∠OEB＝∠ABD， ∵OF⊥BD， ∴∠BFE＝90°， ∴∠OEB+∠EBF＝90°， ∴∠ABD+∠EBF＝90°，即∠OBE＝90°， ∴BE⊥OB， ∴BE是⊙O的切线； （2）连接AD， ∵OF⊥BD， ∴， ∴∠DAC＝∠CDB， ∵∠DCG＝∠ACD， ∴△DCG∽△ACD， ∴， ∴CD2＝AC•CG； （3）∵OA＝OB， ∴∠CAO＝∠ACO， ∵∠CDB＝∠CAO， ∴∠ACO＝∠CDB， 而∠CFD＝∠GFC， ∴△CDF∽△GCF， ∴， 又∵∠CDB＝∠CAB，∠DCA＝∠DBA， ∴△DCG∽△ABG， ∴， ∴， ∵r＝，BG＝， ∴AB＝2r＝5， ∴tan∠CAB＝tan∠ACO＝＝． 【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、圆的切线的判定等知识点． 六、拓展探究 26. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标； (3)在抛物线上是否存在点N，使S⊿ABN=S⊿ABC，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）y＝x2－2x－3；(2) M(1,-2)；(3) ，（1，-4）. 【解析】 【分析】（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，连接BC得出M点位置，即为符合条件的M点； （3）根据题意可知OC=3，要使S⊿ABN=S⊿ABC，则三角形ABN的高为4，即N点的纵坐标为±4，设点N的坐标为（x，±4），代入函数解析式求解即可得出N点的坐标. 【详解】解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得： 解得： 故抛物线的解析式：y=x2-2x-3． （2）如图所示：连接BC，交直线l于点M，此时点M到点A，点C的距离之和最短， 设直线BC的解析式为：y=kx+d，则 解得： 故直线BC的解析式为：y=x-3， ∵x=-=1， ∴x=1时，y=1-3=-2， 故M（1，-2）； （3）存在，理由如下： 点C（0，－3）， ∴OC=3，即三角形ABC的高为3 要使S⊿ABN=S⊿ABC，则三角形ABN的高为4，即N点的纵坐标为±4， 设N为（x，±4） 所以当y=4时，有x2-2x-3=4即x2-2x-7=0，解得 当y=-4时，有x2-2x-3=-4即x2-2x+1=0，解得x=1 所以N点的坐标为，（1，-4） 【点睛】此题主要考查了二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、三角形的面积计算等知识，在判定动点问题时要注意分类进行讨论，以免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $