精品解析：2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考四模数学试题

初三年级综合练习 数学 本试卷包括三道大题，共8页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本大题共有8道小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年5月25日，一汽红旗长春马拉松鸣枪开跑，来自34个国家和地区的35000名参赛者以奔腾的脚步奏响“激情长马”的乐章．将35000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 一个扇形的半径为3，扇形的圆心角度数为，则弧长为（ ） A. B. C. D. 6. 周末清晨，小明从家出发匀速跑步前往公园，到达公园后和朋友们组队打了一会儿篮球赛，结束运动后匀速步行回家．下面能反映小明离家距离与时间的大致关系的图象是（ ） A. B. C. D. 7. 利用尺规作图在一个矩形内作菱形，则下列作法中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B在y轴正半轴上，点A在反比例函数的图象上，若顶点C和边的中点M都在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共有6道小题，每小题3分，共18分． 9. 因式分解：_______． 10. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 11. 如图，小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为 ____． 12. 中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？解：设甲原来有x枚钱币，乙原来有y枚钱币，则可列方程组为：_______． 13. 如图，等边在正五边形的内部，连接，则的大小是______度． 14. 如图，在矩形中，，，点G是边的中点，点E，F分别是边，上的点（不与端点重合），且满足，连结、、、，设、交于点O，点M是的中点，连结、．给出下列结论：①；②；③当时，；④的最小值是．上述结论中，正确结论的序号有_______． 三、解答题：本大题共10小题，共78分． 15. 计算： 16. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 17. 国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，已知“哪吒”纪念品每件35元，“敖丙”纪念品每件20元，若该商场计划用不超过2900元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件． 18. 如图，四边形内接于，是的直径，直线与相切于点，，连结． （1）求证：． （2）用圆规和无刻度的直尺，过点作的切线．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 东北师大附中初中部每年一次的“爱心义卖”活动，是由学校团委组织，号召七、八年级同学通过售卖物品筹得善款用于公益事业的公益活动．通过这样的活动让学生们体会传递一份爱，温暖身边人的快乐，培养学生成为有温情，有爱心，有担当的好少年．今年，七年级有1230名学生、八年级有1200名学生参与爱心义卖活动，现从每个年级各随机抽取15人对他们所筹善款进行调查，相关数据整理如下： 【数据收集】七年级15名同学所筹善款如下： 20，22，23，23，25，25，26，27，27，28，31，31，31，33，36． 八年级15名同学所筹善款如下： 15，18，20，20，23，25，27，28，28，30，30，34，34，34，42． 【数据分析】两组数据的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 27.2 27 a 八年级 27.2 b 34 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）_______，_______． （2）若所筹善款超过30元被评为“爱心公益小达人”，请估计该校七年级、八年级共有多少人能被评为“爱心公益小达人”． （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，每个年级又随机抽取5人进行统计，若八年级新抽取的5人所筹善款均为整数且互不相同，中位数为27，则八年级两次抽取的共20名同学所筹善款的中位数为_______． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图．要求： （1）在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上． （2）在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． （3）在图③中作一个面积为3的，点G不在格点上． 21. 图1为某公交车运行线路图（单位：米），甲从家出发匀速步行10分钟到达车站，3分钟后坐上公交车，5分钟后到达图书馆．若公交车全程速度保持不变，甲离家的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示．请结合图象解答下列问题． （1）甲的步行速度为___________米/分；公交车的行驶速度为___________米/分； （2）求图2中线段的函数表达式； （3）甲下车后，这辆公交车继续行驶至终点站，休整30分钟，原路返回．若甲想搭上同一辆公交车回家，则甲最多在图书馆学习多长时间？（图书馆到图书馆站和各站点上下车时间均忽略不计） 22. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图，是等边三角形，边长为，点分别是边上的点（均不与三角形顶点重合），且，连接，试探究的最小值． 【问题解决】经讨论，小组同学想利用构造平行四边形的方式解决问题：如图，过点作且，连接，通过平行四边形的性质可推出，故将问题转化为探究的最小值，只要得出的度数不变，即可确定点在射线上运动，进而求出的最小值．下面是部分证明过程： 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 证明过程缺失 ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值（填写依据：_______） ∴的最小值为________． 请补全缺失的证明过程； 【结论应用】 如图，当中，，，点、点分别是边、边上的动点（均不与三角形顶点重合），且，连接，则的最小值是_______； 【拓展提升】 如图，当中，，，点、点分别是边、边上的动点（均不与三角形顶点重合），且，连接，则的最小值是_______． 23. 如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，连接，以为腰在右侧作等腰直角，且．点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）点到的距离为_______． （2）通过分析，可知（不需证明），由此可得_______． （3）当线段与边有交点时，设交点为，若点将线段分为的两部分，求此时的长． （4）当点恰好落在矩形的边所在直线上时，直接写出的长．（写出两个即可） 24. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点P和点Q都在抛物线上，点P的横坐标为m，点Q关于点P的对称点A在y轴上，过点Q作轴于点B，连接． （1）求该抛物线对应的函数关系式并直接写出点Q的横坐标（用含m的代数式表示）． （2）当时，求点A的坐标． （3）当是等腰直角三角形时，求m的值． （4）当点P在对称轴左侧，且点O在线段上时，连接，．若，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级综合练习 数学 本试卷包括三道大题，共8页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本大题共有8道小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下四个数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较有理数的大小，化简多重符号，绝对值．先化简各选项，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ， 因此四个选项中最小的数是， 故选D． 2. 2025年5月25日，一汽红旗长春马拉松鸣枪开跑，来自34个国家和地区的35000名参赛者以奔腾的脚步奏响“激情长马”的乐章．将35000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数字35000用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行作答即可． 【详解】解：将数字35000用科学记数法表示为． 故选：B 3. 如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了立体图形的三视图，掌握三视图的定义和画法是解题的关键． 根据俯视图的定义即可解答． 【详解】解：俯视图是从上面看，平面图形三列两行，中间列为两个小正方形，每行分别为两个小正方形，B图形符合． 故选B． 4. 如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查解直角三角形的应用，等腰三角形三线合一的性质，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角函数求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， 故选：C． 5. 一个扇形的半径为3，扇形的圆心角度数为，则弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式，代入即可求解． 【详解】解：∵一个扇形的半径为3，扇形的圆心角度数为， ∴扇形的弧长为 ． 故选：B 6. 周末清晨，小明从家出发匀速跑步前往公园，到达公园后和朋友们组队打了一会儿篮球赛，结束运动后匀速步行回家．下面能反映小明离家距离与时间的大致关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象与实际生活的联系．根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断． 【详解】解：图象应分三个阶段， 第一阶段：跑步到公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大； 第二阶段：在公园打了一会儿篮球赛，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变； 第三阶段：散步回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，并且这段的速度小于第一阶段的速度． 故选：C． 7. 利用尺规作图在一个矩形内作菱形，则下列作法中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，尺规作图等知识，根据矩形的性质和菱形的判定定理，平行四边形的判定与性质，且结合全等三角形的性质和判定进行逐项分析，证明即可． 【详解】解：A．依题意： 由作图可得，垂直平分线段， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ∴， ∴ ∴四边形是菱形，故A选项不符合题意； B．如图， 根据作图可得是的垂直平分线，是的垂直平分线， 则，， 即， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理证明四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 同理得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；故B选项不符合题意； 如图所示： 结合作图过程得出平分，， ∴ 由矩形的性质得， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；故C选项不符合题意； 如图所示： 由矩形的性质得，， 结合作图过程得分别平分， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， 则无法证明四边形是菱形， 故D选项符合题意； 故选：D 8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B在y轴正半轴上，点A在反比例函数的图象上，若顶点C和边的中点M都在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，中点坐标计算公式，解题的关键是根据平行四边形条件表示出点A，M的坐标． 先设，，再表示出点M，然后根据四边形为平行四边形，表示出点A，将点M，点A的坐标分别代入相应的反比例函数解析式中，得到关于的方程求解． 【详解】解：由题意，连接交于点， 设，， ∴点M的坐标为，． ∵以，为邻边作， ∴与互相平分， ∴， ∴， ∴点A的横坐标为，纵坐标为， ∴点A的坐标为． ∴点C和的中点M都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 故选：C． 二、填空题：本大题共有6道小题，每小题3分，共18分． 9. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法因式分解是解题的关键． 直接提取公因式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 11. 如图，小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】证明得到，则矩形的面积：矩形的面积为，根据纸片的面积即可求出的面积．此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积：矩形的面积为， ∵矩形的面积为， ∴矩形的面积为． 故答案为：． 12. 中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？解：设甲原来有x枚钱币，乙原来有y枚钱币，则可列方程组为：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”先列出方程即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得， 故答案为：． 13. 如图，等边在正五边形的内部，连接，则的大小是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，正多边形的内角和问题，由是等边三角形，则，，又正五边形，则，，所以，然后通过三角形内角和定理和等边对等角即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，点G是边的中点，点E，F分别是边，上的点（不与端点重合），且满足，连结、、、，设、交于点O，点M是的中点，连结、．给出下列结论：①；②；③当时，；④的最小值是．上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，根据矩形的性质证明，在根据相似三角形的判定，即可证明结论； 对于②，根据，可证明，再根据直角三角形的性质，即可证明结论； 对于③，先求出的长，再证明，即可求得的长； 对于④，作点G关于的对称点，连结，，证明，再求出的最小值，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 点M是的中点， ， ， ， ， 故②正确； 当时， 点G是边的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， 故③错误； 作点G关于的对称点，连结，， ， 由②知，， ， ， 当点F在上时，的值最小，最小值为线段的长， 此时，，， ， 的最小值为， 故④正确； 正确结论的序号有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，将转化为求解是关键． 三、解答题：本大题共10小题，共78分． 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零次幂、负整数次幂、特殊角的三角形函数值等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据零次幂、负整数次幂、特殊角的三角形函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 16. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，用树状图（列表）求概率， 对于（1），用概率公式计算即可； 对于（2），列表得出所有结果，再根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种， 所以恰好选中青神竹编的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解： 第一次 第二次 A B C D A B C D 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D的概率是． 17. 国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，已知“哪吒”纪念品每件35元，“敖丙”纪念品每件20元，若该商场计划用不超过2900元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件． 【答案】33件 【解析】 【分析】设购进“哪吒”纪念品的数量为件，得出“敖丙”纪念品数量为件，再依据资金限制条件列出不等式，求解得出的取值范围，结合为整数确定最大值 ．本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据题意列出不等式并求解是解题的关键． 【详解】解：设购进“哪吒”纪念品m件，则“敖丙”纪念品件， 根据题意得：． 解得：， m为整数， m的最大值为33． 答：最多购进“哪吒”纪念品33件． 18. 如图，四边形内接于，是的直径，直线与相切于点，，连结． （1）求证：． （2）用圆规和无刻度的直尺，过点作的切线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 证明：是圆的直径． ， ． 直线是圆的切线． ， ， ， ． ，， ， ． （2） 解：连接 ，用直尺过点 作直线 垂直于 ，直线 即为所求切线． 【解析】 【分析】（1）通过证明它们所对的弧相等，利用圆的切线性质、圆周角定理及等量代换推出弧相等即可． （2）根据圆的切线性质，圆心与切点的连线垂直于切线，利用直尺和圆规构造过点 与 垂直的直线 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了圆的切线性质、圆周角定理、等弧对等弦以及圆的切线作图，熟练掌握圆的相关性质和定理是解题的关键． 19. 东北师大附中初中部每年一次的“爱心义卖”活动，是由学校团委组织，号召七、八年级同学通过售卖物品筹得善款用于公益事业的公益活动．通过这样的活动让学生们体会传递一份爱，温暖身边人的快乐，培养学生成为有温情，有爱心，有担当的好少年．今年，七年级有1230名学生、八年级有1200名学生参与爱心义卖活动，现从每个年级各随机抽取15人对他们所筹善款进行调查，相关数据整理如下： 【数据收集】七年级15名同学所筹善款如下： 20，22，23，23，25，25，26，27，27，28，31，31，31，33，36． 八年级15名同学所筹善款如下： 15，18，20，20，23，25，27，28，28，30，30，34，34，34，42． 【数据分析】两组数据的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 27.2 27 a 八年级 27.2 b 34 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）_______，_______． （2）若所筹善款超过30元被评为“爱心公益小达人”，请估计该校七年级、八年级共有多少人能被评为“爱心公益小达人”． （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，每个年级又随机抽取5人进行统计，若八年级新抽取的5人所筹善款均为整数且互不相同，中位数为27，则八年级两次抽取的共20名同学所筹善款的中位数为_______． 【答案】（1）， （2）约有730人 （3）27.5 【解析】 【分析】（1）分别依据众数、中位数的定义，对七年级、八年级数据进行分析计算即可． （2）先分别算出七年级、八年级抽取样本中善款超过元的人数占比，再用各年级总人数乘对应占比，最后求和得到两年级“爱心公益小达人”总人数． （3）先明确八年级新抽取人数据特征（整数、互不相同、中位数 ），再将两次抽取的人数据排序，依据中位数定义确定最终中位数． 本题主要考查了统计中的平均数、中位数、众数的概念及用样本估计总体的知识，熟练掌握这些统计量的定义和计算方法，以及样本估计总体的思路是解题的关键． 【小问1详解】 解：七年级数据：，，，，，，，，，，，，，， 出现的次数最多（次 ） 七年级众数 八年级数据：，，，，，，，，，，，，，， 数据共个，排序后第个是 八年级中位数 【小问2详解】 ； 解：七年级、八年级能被评为“爱心公益小达人”的人数：（人）； 【小问3详解】 解：八年级第一次抽取人，数据排序：，，，，，，，，，，，，，，； 新抽取人，中位数，则这人数据排序后中间数是，且数据为整数、互不相同，可设为，，，，（ ）， 两次共人，将所有数据排序，第、个数分别是27 、 ， 中位数为， 八年级两次抽取名同学所筹善款的中位数为. 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图．要求： （1）在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上． （2）在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． （3）在图③中作一个面积为3的，点G不在格点上． 【答案】（1） 如图①，四边形即为所求． （2） 如图②，四边形即为所求． （3） 如图③，点G即为所求（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为4的等腰梯形即可； （2）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为5的平行四边形即可； （3）取格点H，使，过点H利用平移的性质作的平行线，在平行线上取不是格点的点G即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 图1为某公交车运行线路图（单位：米），甲从家出发匀速步行10分钟到达车站，3分钟后坐上公交车，5分钟后到达图书馆．若公交车全程速度保持不变，甲离家的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示．请结合图象解答下列问题． （1）甲的步行速度为___________米/分；公交车的行驶速度为___________米/分； （2）求图2中线段的函数表达式； （3）甲下车后，这辆公交车继续行驶至终点站，休整30分钟，原路返回．若甲想搭上同一辆公交车回家，则甲最多在图书馆学习多长时间？（图书馆到图书馆站和各站点上下车时间均忽略不计） 【答案】（1）60；600 （2）； （3）甲最多在图书馆学习90分钟． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据图形利用速度等于路程除以时间即可求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求得公交车从图书馆站到终点站用时，根据题意列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：甲的步行速度为米/分； 公交车的行驶速度为米/分； 故答案为：60；600； 【小问2详解】 解：设直线的函数表达式为， 把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：公交车从图书馆站到终点站用时分， 则同一辆公交车到达图书馆站需要时间分， 答：甲最多在图书馆学习90分钟． 22. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图，是等边三角形，边长为，点分别是边上的点（均不与三角形顶点重合），且，连接，试探究的最小值． 【问题解决】经讨论，小组同学想利用构造平行四边形的方式解决问题：如图，过点作且，连接，通过平行四边形的性质可推出，故将问题转化为探究的最小值，只要得出的度数不变，即可确定点在射线上运动，进而求出的最小值．下面是部分证明过程： 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 证明过程缺失 ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值（填写依据：_______） ∴的最小值为________． 请补全缺失的证明过程； 【结论应用】 如图，当中，，，点、点分别是边、边上的动点（均不与三角形顶点重合），且，连接，则的最小值是_______； 【拓展提升】 如图，当中，，，点、点分别是边、边上的动点（均不与三角形顶点重合），且，连接，则的最小值是_______． 【答案】[问题解决]依据：垂线段最短；，[结论应用]，[拓展提升]． 【解析】 【分析】[问题解决]由是等边三角形，则，证明四边形是平行四边形，则有，又，，则有，，可得，故有点在射线上运动，当时，取最小值，然后代入即可求解； [结论应用]如图，过点作使，连接，作射线，证明四边形是平行四边形，则有，可证明，则点在射线上运动，故当时，取最小值，此时是等腰直角三角形，然后通过勾股定理即可求解； [拓展提升]如图，过点作使，连接，作射线，则，证明四边形是平行四边形，则有，又，，所以，设，则，则，所以，得点在射线上运动，当时，取最小值，然后由即可求解． 【详解】[问题解决]证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值（垂线段最短）， ∴的最小值为， 故答案为：垂线段最短，； [结论应用]解：如图，过点作使，连接，作射线， ∴四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值， 此时是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； [拓展提升]解：如图，过点作使，连接，作射线，如图所示： ，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴ 设，则， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值， ∴， ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，连接，以为腰在右侧作等腰直角，且．点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）点到的距离为_______． （2）通过分析，可知（不需证明），由此可得_______． （3）当线段与边有交点时，设交点为，若点将线段分为的两部分，求此时的长． （4）当点恰好落在矩形的边所在直线上时，直接写出的长．（写出两个即可） 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（）过点作于，再证明即可求解； （）由矩形的性质得，即得，进而由相似三角形的性质即可求解； （）过点作于，过点作于，可得四边形是矩形，得到，再分和两种情况，利用相似三角形和全等三角形的判定和性质解答即可； （）分点落在上，点落在的延长线上和点落在上三种情况，分别画出图形，利用矩形的性质及全等三角形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是以为腰的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，过点作于，过点作于，则，， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 同理可得，， ∴； 综上，的长为或； 【小问4详解】 解：当点落在上时，如图， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当点落在的延长线上时，如图，过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当点落在上时，如图， 同理（）可证， ∴， ∴； 综上，的长为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点P和点Q都在抛物线上，点P的横坐标为m，点Q关于点P的对称点A在y轴上，过点Q作轴于点B，连接． （1）求该抛物线对应的函数关系式并直接写出点Q的横坐标（用含m的代数式表示）． （2）当时，求点A的坐标． （3）当是等腰直角三角形时，求m的值． （4）当点P在对称轴左侧，且点O在线段上时，连接，．若，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），点Q的横坐标为 （2）点A的坐标为 （3）m的值为1或 （4） 【解析】 【分析】（1）将点代入求出c的值，即可得出抛物线的解析式，根据轴对称的性质，求出点Q的横坐标即可； （2）先求出点P的坐标为，点Q的坐标为，然后根据中点坐标公式求出点A的坐标即可； （3）先求出，，根据，是等腰直角三角形，得出，即，求出结果即可； （4）根据点P在对称轴左侧，且点O在线段上，得出，求出，根据，得出，求出，即可得出． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； ∵点Q关于点P的对称点A在y轴上， ∴点P为的中点， ∵点P的横坐标为m，点A的横坐标为0， ∴点Q的横坐标为； 【小问2详解】 解：当时，点P的纵坐标为：， 即点P的坐标为， 点Q的横坐标为，纵坐标为： ∴点Q的坐标为， ∵点P为的中点， ∴， ∴点A的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点P的横坐标为m，点Q的横坐标为， ∴点P的坐标为：， 点Q的坐标为：， ∵点P为的中点， ∴， ∴点A的坐标为， ∵轴于点B，点A在y轴上， ∴，点B的坐标为：， ∴， ， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时， 解得：或（舍去）， 当时， 解得：或（舍去）， 综上分析可知：当是等腰直角三角形时，m的值为1或； 【小问4详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点P在对称轴左侧，且点O在线段上， ∴， 解得：， 根据解析（3）可知：， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 综上分析可知：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $