第二十二讲 认识证明（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第二十二讲 认识证明 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：推理证明的必要性 1. 通过实验、观察、归纳得到的数学结论不一定都是正确的，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，还必须进行有根有据的证明。 2. 检验数学结论的常用方法与具体过程： 实验验证法: 实验验证是最基本的方法，它反映了由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法 推理论证: 任何推理都包含前提和结论两部分，前提是推理的依据部分，可以是一个，也可以是几个，结论是根据前提所推出的判断，在“前提”下，严格推理论证“结论”的正确与否，是最可靠、最科学的方法 检验数学结论的具体过程: 观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论 知识点02：定义、命题 1. 定义： 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义 2. 命题：判断一件事情的句子，叫作命题。 命题包含两层含义 ①命题必须是一个完整的句子，常为陈述句；②这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，二者缺一不可。 知识点03：命题的结构 1.命题的结构 一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，一般位于命题语句的前半部分，结论是由已知事项推断出的事项，位于语句的后半部分。 2. 命题常见形式 命题通常可以写成“ 如果… … ，那么… … ”的形式，其中，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。 有些命题的条件和结论不够明显，这时要认真分析，先把命题改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论。 知识点04：命题的分类 1. 命题的分类：命题分为真命题和假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。 2. 反例：要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。 知识点05：公理、证明、定理 1. 公理：公认的真命题称为公理。除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。 2. 定理：经过证明的真命题称为定理，每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。 3. 证明：演绎推理的过程称为证明。 (1) 证明的依据：证明命题时，需要一些基本事实、定理、定义等作为推理论证的依据。 (2)证明的基本格式：“因为……，所以……”或“∵……，∴……” 考点1：判断是否是命题 【典型例题】 下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 【变式训练1】 下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 【变式训练2】 下列语句中，属于定义的是（   ） A．两个锐角的和一定大于 B．两直线平行，内错角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 考点3：判断命题的真假 【典型例题】 下列命题中假命题是（   ） A．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 B．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 C．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 【变式训练1】 下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部 B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应高、对应中线、对应角的平分线相等 【变式训练2】 下列说法错误的有（   ） ①周长相等的两个三角形全等； ②两边相等的两个三角形全等； ③三角相等的两个三角形全等； ④三条边对应相等的两个三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点3：举反例说明命题 【典型例题】 为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1】 为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2】 已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（   ） A．16 B．15 C．24 D．42 考点4：逻辑推理 【典型例题】 以下4位老师分别任教语文、数学、英语和科学．张老师说：我不是语文老师：王老师说：我不教数学；李老师说：我是英语老师：赵老师说：我不是数学老师，也不是科学老师．下面说法不正确的是（   ） A．张老师教科学 B．王老师教科学 C．李老师教英语 D．赵老师教语文 【变式训练1】 A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制，现在知道A、B、C、D、E五人已经分别赛过5、4、3、2、1盘， 问这时F已赛过（　　）盘． A．5 B．4 C．3 D．2 一、单选题 1．下列语句是命题的是（   ） A．今天星期几？ B．相等的角是对顶角 C．在直线上任取一点 D．过点作直线的垂线 2．下列语句中，①过点P作直线的垂线；②延长线段；③直线没有延长线；④射线有延长线．是假命题的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．下列说法：①“相等的角是对顶角”是假命题；②命题“若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等”的逆命题是假命题；③一锐角和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等；④若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为60°．其中说法正确的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 5．下列选项中不是命题的是（   ） A．正数大于负数 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．如果，那么 6．对假命题“若，则”举一个反例，符合要求的反例是（   ） A． B． C． D． 7．下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 8．如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她）为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有（　　） A．22人 B．23人 C．44人 D．45人 二、填空题 9．将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 10．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断 的说法是正确的． 11．“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ． 12．命题“若，则．”的结论是 ． 13．“一次函数，当时，y随x的增大而增大”是一个 命题（填“真”或“假”）． 14．举反例：当 时，可说明命题“对于任意实数”是假命题． 15．如果，那么，这个命题的条件是 ，结论是 ． 16．要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是 ．（写出一个值即可） 三、解答题 17．用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 18．已知命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角． (1)请将上述命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例． 19．在讨论“内错角相等”是不是命题时，甲认为：这不是命题，因为这句话是错误的．乙认为：这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，你认为谁的说法是正确的？ 20．用举反例的方法说明命题“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”是假命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第二十二讲 认识证明 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：推理证明的必要性 1. 通过实验、观察、归纳得到的数学结论不一定都是正确的，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，还必须进行有根有据的证明。 2. 检验数学结论的常用方法与具体过程： 实验验证法: 实验验证是最基本的方法，它反映了由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法 推理论证: 任何推理都包含前提和结论两部分，前提是推理的依据部分，可以是一个，也可以是几个，结论是根据前提所推出的判断，在“前提”下，严格推理论证“结论”的正确与否，是最可靠、最科学的方法 检验数学结论的具体过程: 观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论 知识点02：定义、命题 1. 定义： 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义 2. 命题：判断一件事情的句子，叫作命题。 命题包含两层含义 ①命题必须是一个完整的句子，常为陈述句；②这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，二者缺一不可。 知识点03：命题的结构 1.命题的结构 一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，一般位于命题语句的前半部分，结论是由已知事项推断出的事项，位于语句的后半部分。 2. 命题常见形式 命题通常可以写成“ 如果… … ，那么… … ”的形式，其中，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。 有些命题的条件和结论不够明显，这时要认真分析，先把命题改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论。 知识点04：命题的分类 1. 命题的分类：命题分为真命题和假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。 2. 反例：要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。 知识点05：公理、证明、定理 1. 公理：公认的真命题称为公理。除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。 2. 定理：经过证明的真命题称为定理，每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。 3. 证明：演绎推理的过程称为证明。 (1) 证明的依据：证明命题时，需要一些基本事实、定理、定义等作为推理论证的依据。 (2)证明的基本格式：“因为……，所以……”或“∵……，∴……” 考点1：判断是否是命题 【典型例题】 下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 【答案】B 【分析】本题考查了命题．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确． 根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性． 【详解】A. 作，不是命题，因为它不是判断性语句， 是叙述一个过程的语句； B. 若，则，是命题，因为它是一个具有判断性的语句； C. 两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句； D. 一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句． 故选：B． 【变式训练1】 下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 【答案】D 【分析】本题考查了定义的理解.根据定义的属性进行判断即可．定义是指对某个词语、概念或事物的本质特征进行准确、清晰的描述和解释，确保人们在交流或学术讨论中达成一致理解．掌握定义的属性是解题的关键． 【详解】解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误； B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误； C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误； D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确． 故选：D． 【变式训练2】 下列语句中，属于定义的是（   ） A．两个锐角的和一定大于 B．两直线平行，内错角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 【答案】D 【分析】此题考查了命题、定理、定义，根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A．两个锐角的和一定大于，属于命题，不合题意； B．两直线平行，内错角相等，属于定理，不合题意； C．两点之间线段最短，属于命题，不合题意； D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，属于定义，符合题意； 故选D． 考点3：判断命题的真假 【典型例题】 下列命题中假命题是（   ） A．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 B．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 C．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题需要根据三角形全等的判定定理，对每个选项逐一分析，判断命题的真假．本题主要考查了三角形全等的判定定理（等）以及对不同条件下三角形全等的推理判断，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：和中，，，、分别是、边上的高，且．一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，两个三角形不全等．故A项错误，符合题意． 两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是真命题，不是假命题．故B项不符合题意． 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等是真命题，不是假命题．故C项不符合题意． 两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，不是假命题．故D项不符合题意． 故选：A． 【变式训练1】 下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部 B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应高、对应中线、对应角的平分线相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握上述知识点． 根据三角形的角平分线、中线、高，全等三角形的判定与性质，对四个选项分别作出分析，再作出判断． 【详解】解：钝角三角形的高有两条在外面，故A错误； 如图，在与中，， ，， 但与不全等，故B错误； 如图，在与中，，，， 但与不全等，故C错误； 全等三角形的对应高、对应中线、对应角的平分线相等，这是全等三角形的性质，故D正确， 故选：D． 【变式训练2】 下列说法错误的有（   ） ①周长相等的两个三角形全等； ②两边相等的两个三角形全等； ③三角相等的两个三角形全等； ④三条边对应相等的两个三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】本题考查了全等三角形的判定条件，包括、、、等定理，解题关键在于理解并应用这些定理或举反例，判断给定条件是否足以证明两个三角形全等 ．用等定理逐一分析每个命题是否正确即可． 【点睛】　解：①周长相等的两个三角形不一定全等，如：三角形A边长为（周长12），三角形B边长为（周长12），这两个三角形不全等，故此说法错误； ② 两边相等的两个三角形不一定全等；如，三角形A边长为3,4,5，三角形B边长为3,4,6，两边3和4相等，但第三边不同，这两个三角形不全等，故此说法错误； ③三角相等的两个三角形不一定全等；如，两个等边三角形边长分别为2和3，角均为，但边不相等，这两个三角形不全等； ④三条边对应相等的两个三角形全等，此说法正确． 综上，说法错误为①②③，共3个． 故选：C． 考点3：举反例说明命题 【典型例题】 为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了举反例说明命题为假命题，理解举反例的方法是解题的关键． 举例符合已知条件，但得出的结论与已知的结论矛盾，可说明原命题是假命题，据此逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.当，时，可得出，是反例，符合题意； B. 当，时，可得出，不符合题意； C. 当，时，可得出，不是反例，不符合题意； D. 当，时，可得出，不符合题意； 故选：A． 【变式训练1】 为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了列举反例，掌握列举反例的方法是解题关键． 根据各选项中的值分别求出和，再找出在条件下，使得或成立的选项即可得． 【详解】解：A、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意； B、当时，，满足，但，是正确的反例，此项符合题意； C、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意； D、当时，不满足，是错误的反例，此项不符题意； 故选：B． 【变式训练2】 已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（   ） A．16 B．15 C．24 D．42 【答案】D 【分析】本题考查了命题，证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．据此判断即可． 【详解】解：A、16是偶数，也是8的倍数，同时满足命题的题设和结论，故不能作为反例，不符合题意； B、15不是偶数，也不是8的倍数，既不满足命题的题设，也不满足结论，故不能作为反例，不符合题意； C、24是偶数，也是8的倍数，同时满足命题的题设和结论，故不能作为反例，不符合题意； D、42是偶数，但42不是8的倍数，满足命题的题设，但不满足命题的结论，故能作为反例，符合题意． 故选：D． 考点4：逻辑推理 【典型例题】 以下4位老师分别任教语文、数学、英语和科学．张老师说：我不是语文老师：王老师说：我不教数学；李老师说：我是英语老师：赵老师说：我不是数学老师，也不是科学老师．下面说法不正确的是（   ） A．张老师教科学 B．王老师教科学 C．李老师教英语 D．赵老师教语文 【答案】A 【分析】本题主要考查了逻辑推理应用题，解题方法是由确定项开始用排除法，逐个推论确定各自的正确选项，最终解决问题．根据四位老师的陈述，逐一确定各自所教学科，再判断选项的正确性． 【详解】解：李老师明确表示自己是英语老师，因此确定李老师教英语． 赵老师说“我不是数学老师，也不是科学老师”，因此赵老师只能教剩下的语文． 王老师说“我不教数学”，结合赵老师已教语文，王老师只能教科学． 张老师说“我不是语文老师”，剩下的数学由张老师任教． 验证选项： A． 张老师教科学：错误，张老师实际教数学． B． 王老师教科学：正确． C． 李老师教英语：正确． D． 赵老师教语文：正确． 综上，不正确的选项是A 故选：A． 【变式训练1】 A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制，现在知道A、B、C、D、E五人已经分别赛过5、4、3、2、1盘， 问这时F已赛过（　　）盘． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查代数推理，根据单循环赛制，每人最多赛5盘．通过逐步分析各选手的对阵情况，确定F的已赛场数． 【详解】1．A赛过5盘，在6人单循环赛中，说明A与其余所有人（B、C、D、E、F）都赛了一盘． 2．E赛过1盘，由第1点可知，E的这一盘对手必然是A．因此，E没有与B、C、D、F比赛． 3．B赛过4盘，已知B与A赛过一盘，且B没有与E比赛，所以B的另外三盘是与C、D、F赛的． 4．D赛过2盘，已知D与A赛过一盘，且D没有与E比赛．由第3点可知，B与D赛过一盘，因此D的2盘对手分别是A和B． 5．C赛过3盘，已知C与A赛过（由第1点），与B赛过（由第3点），且C没有与E、D比赛（由第2、4点），因此C的第三盘对手是F． 综上，F的对手有：A（来自第1点）、B（来自第3点）、C（来自第5点）．所以F一共赛了3盘． 故选：C． 一、单选题 1．下列语句是命题的是（   ） A．今天星期几？ B．相等的角是对顶角 C．在直线上任取一点 D．过点作直线的垂线 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义，熟练掌握命题的定义是解决本题的关键． 本题根据命题的定义，判断一件事情的句子叫做命题，逐项判断，即可得到答案． 【详解】解：A、今天星期几？是疑问句，不是命题，故选项A错误； B、相等的角是对顶角，是命题，故B选项正确； C、在直线上任取一点，不是命题，故选项C错误； D、过点作直线的垂线，不是命题，故选项D错误； 故选：B； 2．下列语句中，①过点P作直线的垂线；②延长线段；③直线没有延长线；④射线有延长线．是假命题的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查的知识点是命题的判断及假命题，先判断语句是否为命题，然后再判断命题是否为假命题解答即可． 【详解】解：①过点P作直线的垂线，不是命题； ②延长线段，不是命题； ③直线没有延长线，是真命题； ④射线有延长线，是假命题； 故选：B． 3．能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法． 根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：∵能说明判定命题“若，则”是假命题的反例， ∴举例需满足，且， 选项中只有，满足，，所以能说明命题“若，则”是假命题， 其他选项不能说明． 故选：D． 4．下列说法：①“相等的角是对顶角”是假命题；②命题“若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等”的逆命题是假命题；③一锐角和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等；④若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为60°．其中说法正确的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据所学的知识，理解判断解答即可． 本题考查了基础知识的综合，熟练掌握数学基础知识是解题的关键． 【详解】解：①“相等的角是对顶角”是假命题，本结论正确； ②命题“若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等”的逆命题是假命题，本结论正确； ③一锐角和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等，本结论正确； ④若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 当高在等腰三角形的内部时，； 当高在等腰三角形的外部时，； 故这个等腰三角形的顶角的度数为或，本结论错误． 故选：A． 5．下列选项中不是命题的是（   ） A．正数大于负数 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义：判断一件事情的语句叫命题．命题必须是一个完整的句子，它必须对某一件事情作出肯定或否定的判断，命题一般为陈述句，疑问句与作图语句（祈使句）、感叹句等都不是命题．判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可． 【详解】解：A．正数大于负数，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意； B．过直线外一点作直线的平行线是作图语言，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，符合题意； C．三角形的任意两边之和大于第三边，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意； D．如果，那么，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意； 故选：B． 6．对假命题“若，则”举一个反例，符合要求的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可． 【详解】解：当时，，而， ，是“若，则”的一个反例， 故选：A． 7．下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了举反例. 根据绝对值的性质、假命题的概念解答即可. 【详解】解：A、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； B、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； C、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； D、当时，，能说明命题是假命题，符合题意； 故选：D． 8．如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她）为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有（　　） A．22人 B．23人 C．44人 D．45人 【答案】D 【分析】题目要求确定在45名学生中，“潜力之星”的最大可能人数．根据定义，若某学生不亚于其他44人（即其语文或英语至少有一门高于对方），则该学生为“潜力之星”．通过构造两组学生，分别以语文和英语成绩为主导，确保每组学生在各自优势科目上高于另一组，且组内学生互相满足不亚于的条件，即可实现所有学生均为“潜力之星”． 【详解】1. 分组构造：将学生分为语文组和英语组， - 语文组：每个学生的语文成绩均高于英语组所有学生的语文成绩，且组内语文成绩递减，英语成绩递增， - 英语组：每个学生的英语成绩均高于语文组所有学生的英语成绩，且组内英语成绩递减，语文成绩递增； 2. 组间关系：    - 语文组学生在语文科目上高于所有英语组学生，因此语文组学生不亚于英语组学生，    - 英语组学生在英语科目上高于所有语文组学生，因此英语组学生不亚于语文组学生； 3. 组内关系：    - 语文组内，学生甲的语文成绩高于学生乙，则甲不亚于乙；乙的英语成绩高于甲，则乙也不亚于甲，    - 英语组内同理，学生间通过语文或英语成绩互相不亚于对方； 4. 结论：通过合理分配语文组和英语组人数（如22人和23人），所有45名学生均可满足“不亚于其他44人”的条件，因此“潜力之星”最多可能有45人． 故选：D． 二、填空题 9．将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 10．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断 的说法是正确的． 【答案】乙 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据命题的定义对两种说法进行判断． 【详解】解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题． 故答案为：乙． 11．“垂线段最短”的题设是 ，结论是 ． 【答案】 连接直线外一点与直线上一点的所有线段 垂线段最短 【分析】本题考查了命题的组成（题设和结论），解题的关键是理解命题的结构，准确分离出题设和结论部分． 将“垂线段最短”改写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论． 【详解】解：命题“垂线段最短”可以改写为：如果从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段，那么垂线段最短． 所以题设是从直线外一点到这条直线的所有线段中存在垂线段；结论是垂线段最短． 故答案为：连接直线外一点与直线上一点的所有线段；垂线段最短． 12．命题“若，则．”的结论是 ． 【答案】 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，根据命题是由条件和结论组成，进行作答即可． 【详解】解：∵命题“若，则．” ∴该命题的结论是， 故答案为： 13．“一次函数，当时，y随x的增大而增大”是一个 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题考查了一次函数的性质，判断命题的真假，掌握知识点是解题的关键． 根据直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，即可得出结论． 【详解】解：根据一次函数的性质可得：一次函数，当时，y随x的增大而增大是一个真命题． 故答案为：真． 14．举反例：当 时，可说明命题“对于任意实数”是假命题． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，二次根式的性质，找到一个能使得题设成立，但结论不成立的数即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：（答案不唯一）． 15．如果，那么，这个命题的条件是 ，结论是 ． 【答案】 【分析】本题考查了命题的结果，掌握命题是由题设（条件）和结论组成是关键，根据命题的结果判定即可求解． 【详解】解：如果，那么， ∴这个命题的条件是，结论是， 故答案为：①，② ． 16．要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是 ．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．根据题意解题即可． 【详解】解：由题意，当时， 满足， 但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 17．用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键： （1）根据不等式的性质，举出即可； （2）举出，但与不是对顶角，即可； （3）举出一个是同旁内角但是不互补的反例即可． 【详解】（1）解：当时，，说明“如果，则”是假命题； （2）解：如图，，但与不是对顶角； 说明“相等的两个角一定是对顶角”是假命题； （3）解：如图，与是同旁内角，但与不互补． 说明“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”是假命题． 18．已知命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角． (1)请将上述命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例． 【答案】(1)如果两个角一个是锐角，一个是钝角 ，那么这两个角互补 (2)假命题，反例为：一个角为，一个角为 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据真假命题的判定及反例可直接进行求解． 【详解】（1）解：如果两个角一个是锐角，一个是钝角 ，那么这两个角互补； （2）该命题是假命题， 反例为：一个角为，一个角为， 满足条件一个锐角和一个钝角，但，因此这两个角不互补． 19．在讨论“内错角相等”是不是命题时，甲认为：这不是命题，因为这句话是错误的．乙认为：这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，你认为谁的说法是正确的？ 【答案】乙的说法正确 【分析】本题考查命题的定义，判断命题的真假． 根据命题的定义判断即可． 【详解】解：乙的说法正确．判断某一语句是不是命题要抓住两条：①命题是一个完整的句子，通常是陈述句，疑问句和祈使句都不是命题；②命题要对某件事情作出肯定或否定的判断． “内错角相等”满足上述两个条件，是假命题． 因此乙的说法正确． 20．用举反例的方法说明命题“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”是假命题． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定．根据画出符合题意的图形，然后结合全等三角形的判定方法进行求解即可判断． 【详解】解：如图， 在和中， ， 但和不全等， ∴命题“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”是假命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$