第2章 分式（优质类型）-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（湘教版2024新教材）

第2章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式的变形求值 【解惑】若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，求代数式的值，掌握分式的性质是解题的关键； 设，分与两种情况考虑，利用分式的知识即可求解． 【详解】解：设， 则， 以上三式相加得：； 当时，则； 此时， 解得：， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上，的值为或； 故选：C． 【融会贯通】 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求分式的值．将分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 2．已知：，则分式 . 【答案】 【分析】先对分子进行因式分解，再对分母提取公因式，然后将已知条件代入化简后的分式进行计算． 本题主要考查了分式的化简求值和因式分解，熟练掌握因式分解的方法（提取公因式法和公式法）以及整体代入法是解题的关键． 【详解】解：， 当时，原式． 故答案为：． 3．若，则的值为 ． 【答案】/0.2 【分析】本题考查的是分式的求值，由条件可得，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 类型二、分式中的取值范围 【解惑】若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴分子分母同正或同负， ∴或 解得或， 故选：C 2．若分式的值为负，则的范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式的值为负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，且，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 3．当 时，分式的值是非负数． 【答案】 【分析】分别确定分子、分母的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ 又分式的值是非负数 ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查根据分式的正负求解未知数的范围．分别对分子、分母的取值范围进行判断即可． 类型三、分式方程的解为参(整)数 【解惑】如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式方程的解，解答此题的关键是要明确：解方程的过程中，因为把分式方程化为整式方程，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【详解】解：∵有正数解， ∴，则， ， 去分母，得，， 移项合并，得，， ∵方程的解是正数， ∴， 解得：且， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的解．先解分式方程得到，再根据方程的解是整数求出或即可得到答案． 【详解】解： 去分母得到，， 移项合并同类项得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或，且 解得或， 即方程的解为正整数的个数是2， 故选：B 2．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式的方程的解，解出分式方程，根据解是非负数判断范围是解题的关键．解出分式方程，根据解是非负数求出的取值范围，再根据时分式方程的增根，求出此时的值，即可得到答案． 【详解】解：去分母得，， 解得，， 分式方程的解为非负数， ， ， 又， ，， 的取值范围是且， 故答案为：且． 3．已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法得出，因为分式方程的解是正整数，而，得出，进而可得出答案． 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得 ， 解得， 由于分式方程的增根是， 所以， 即， 因为分式方程的解是正整数，而， 则x的最小值为2， 所以， 解得， 故答案为：4． 类型四、分式方程的无解与增根 【解惑】关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的增根问题，掌握分式方程增根的定义是题题的关键． 由题意可得该分式方程的增根为，再把分式方程化成整式方程，然后将代入求得m的值即可． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴增根为， 由，则， 把代入，得，即． 故选C． 【融会贯通】 1．关于的方程无解，则取值为（　　） A．1或 B． C． D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解问题，理解分式方程无解为整式方程无解或分式方程出现增根两种情况是解决问题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，再分整式方程无解和分式方程出现增根两种情况进行讨论，即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得，， 整理得：， 当时，即，整式方程无解； 当，则， 若此时分式方程无解，则分式方程有增根， 即， 解得：； ∴关于的方程无解，则取值为1或． 故选：A． 2．若关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程无解的情况，先将分式方程两边同乘，整理得到，分两种情况讨论：当时，方程无解，即原分式方程无解；当时，，则，求解即可． 【详解】解：分式方程两边同乘，得， 整理，得， 当，即时，方程无解，即原分式方程无解； 当时，， ∵原分式方程无解， ∴当时，， ∴， ∴； 综上所述，当或时，分式方程无解． 故答案为：或 3．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程增根问题，先解分式方程，求出分式方程的解，进而求出增根得到关于的一元一次方程，解方程即可求解，理解增根的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程有增根， ∴， 即， ∴， 解得， 故答案为：． 类型五、分式与分式方程的新定义运算 【解惑】对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，可设，则，由可得，可得，再根据新定义计算得到结果． 【详解】解：设，则， 则， ， 则的值为． 故选：C 【融会贯通】 1．对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”即这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故选：A． 2．定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确理解新定义运算，掌握运算法则． 根据新定义的运算得出，然后将原式化简，最后代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．对于实数，，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题是新定义题型，主要考查了解分式方程，正确理解新定义法则是关键． 根据新定义的法则可得关于x的方程，解方程并检验后即得答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴原方程的解为． 故答案为： 类型六、倒数法 【解惑】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，本题属于基础题型．根据“倒数法”的解题思路即可求出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【融会贯通】 1．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的求解，倒数，根据题意理解叫“倒数法”是解题的关键． （1）先求出，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ， ∴ ， ； （2）解：， ∴， ， ，即， ， ． 2．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值． 解：，，即．，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的通分和约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：设， 则， ． 3．阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 若，求代数式的值． 解：，，即，， ． (1)若，则________，________； (2)解分式方程组； (3)若，，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题干中所给的倒数法即可求解； （2）先结合倒数法得出新的方程组，再结合二元一次方程组的加减消元法即可求解，注意最后需进行检验； （3）结合倒数法求出，，，三式相加再除以可推出，则根据倒数法即可得解． 【详解】（1）解：， ， 即， ， ， 则， 即， ， ． 故答案为：，． （2）解： 由得，， 由得，, 得，， 得，， 得，， ， ， ， ， 将代入得，， 解得， 经检验是分式方程组的解， 该分式方程组的解为． （3）解：， ， 即， ， ， 即， ， ， 即， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查的知识点是完全平方公式、分式的通分和约分、解二元一次方程组，解题关键是理解题意并能学以致用． 类型七、分式方程的实际应用 【解惑】某商店用1800元购进一批背包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的背包，所购数量与第一批购进数量相同，但进价每个便宜了10元，结果购买第二批背包用了1500元．求第一批购进每个背包的进价是多少元． 【答案】第一批每只背包的单价为60元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设第一批每只背包的单价为元，则第二批每只背包的单价为元，根据商店购进第二批同样的背包，所购数量与第一批购进数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设第一批每只背包的单价为元，则第二批每只背包的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， 答：第一批每只背包的单价为60元． 【融会贯通】 1．《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进A，B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶比一个A种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2倍．求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 【答案】A种玩偶单价为50元，B种玩偶单价为60元． 【分析】此题考查了分式方程的应用，弄清题意，弄清各量间的关系是解题的关键； 设A种玩偶单价为x元，则B种玩偶单价为元，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设A种玩偶单价为x元，则B种玩偶单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ． 答：A种玩偶单价为50元，B种玩偶单价为60元． 2．某商贩用960元从批发市场购进某种水果进行销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的质量是第一次购进质量的1.5倍．设第一次购进水果的质量为． (1)该商贩两次购进水果各多少千克； (2)若该商贩将两次购进的水果均按15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出后将余下部分每千克降价（为正整数）元全部售出，共获利1440元，则的值为______（直接写出结果）． 【答案】(1)该商贩第一次购进水果为，第二次购进水果为 (2)2或3 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）根据第二次购进水果的价格比第一次高出2元，列出分式方程，解方程即可； （2）根据共获利为1440元，列出方程，求出符合题意的的正整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：该商贩第一次购进水果为，第二次购进水果为； （2）解：由题意得：， 解得：， ∵为正整数，， ∴当时，，不合题意舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，超过范围； 综上所述，或． 故答案为：2或3． 3．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地，设第一小时内行驶的速度为． (1)直接用含x的式子表示提速后走完剩余路程所用的时间为_________h； (2)求汽车实际走完全程所用的时间． 【答案】(1)（或） (2)汽车实际走完全程所用的时间为 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找准等量关系． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）设第一小时内行驶的速度为，根据节省的时间列出方程，然后求解并检验，即可获得答案． 【详解】（1）解：剩余路程所用的时间为：（或）， 故答案为：（或）； （2）解：，根据题意得， ， 解得，经检验，是该分式方程的解， ∴汽车实际走完全程所用的时间为． 类型八、分式与分式方程的规律问题 【解惑】先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【答案】(1)，； (2)，， (3)，． 【分析】（1）仿照材料解方程，归纳总结得到结果； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想的解为：，． 故答案为：， （2）解：由， 得， ∴， ∴， 由（1）中法规律得方程的解为：， ； （3）解：由， 得， ∴， ∴， ∴， ∴，或， 解得，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【融会贯通】 1．下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． (3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 【答案】(1)第4个方程为：，得或， (2)第个方程为：，得或， (3)或． 【分析】本题主要考查分式方程的解，解题的关键在于找对规律并计算正确． （1）根据前三个方程蕴含的规律求解，即可解题； （2）根据前三个方程蕴含的规律，写出第n个方程及其方程的解即可； （3）根据原方程得到方程的一个解是，再结合题干规律分析，即可得出n的值． 【详解】（1）解：根据题意可知，第4个方程为：， 得或， 经检验，或是该方程的解； （2）解：根据题意可知，第个方程为：，即； 得或， 经检验，或是该方程的解； （3）解：n为正整数，关于x的方程的一个解是， 即方程的一个解是， 则， 得或， 解得或． 2．解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； (1)请完成上面的填空； (2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； (3)请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解? 【答案】(1) (2)的解是； (3)的解是． 【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键． （1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可； （2）由题意先观察①②③④中的方程及其解，根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解； （3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 经检验，为方程的解， 故答案为：． （2）解：由题意得：⑤的解是； 故答案为：的解是； （3）解：由题意得：第个式子及其解为：的解是． 3．阅读下列材料： 方程的解为， 方程的解为x=2， 方程的解为， …… (1)根据上述规律，可知解为的方程为_________； (2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查根据分式方程的特点与解的规律来写分式方程，观察所给的材料信息时，要注意从特殊形式到一般形式的规律与特征． （1）由具体的分式方程发现左右两边分母之差为1，再结合方程的解构建方程即可； （2）先把方程的左右两边通分计算减法运算，再去分母解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵方程的解为， 方程的解为， 方程的解为， ∴解为的方程为： （2） 方程可变形为， ∴， ∴， ∴， 解得． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 类型九、分式与分式方程的新定义应用 【解惑】定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（   ）②，（   ）③，（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （）根据互动分式的定义进行判断； （）仿照题目中给到的方法进行求解； （）根据（）找规律求解；由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ∴ ∴是分式的“互动分式” ②∵ ∴ ∴不是分式的“互动分式” ③∵， ∴ ∴不是分式的“互动分式” 故答案为：①②③ （2）设的“互动分式”为， 则， ， 即， ． 所以分式的“互动分式”为； （3）∵设的“互动分式”为， ∴， 解得：， ∵是的“互动分式”， ∴， ∴， 解得， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义 ∴， ∴当时的最大值是7． 【融会贯通】 1．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 【答案】(1)A (2) (3)1． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程，有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当时，分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； （2）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得， ， 解得． （3）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 当时，解得， 将化简得， ， 解得， 关于x的方程，x有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）， ， ． 2．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 3．请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是_________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②已知，则_________，_________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)如果，，请用含有a和b的式子表示． 【答案】(1)①“非和谐分式”；②3； (2)或或或 (3) 【分析】（1）①由，可知该分式不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，即可判断是“非和谐分式”； ②由，可得，，求出M、N即可； （2）由的值是整数，可得或或或，求出x的值即可； （3）由题分别得到，，两个式子消去可得，即可求． 本题考查分式的运算，根据所给的材料，能够将所给的分式进行拆解是解题的关键． 【详解】（1）解：①，不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 分式是“非和谐分式”， 故答案为：“非和谐分式”； ②∵， ∴，， 解得，； 故答案为：3，； （2）解：， 分式的值是整数， ∴或或或， 解得或或或； （3）解：∵， ， ①， ∵， ∴②， 由得：， ∴． 类型十、分式裂项 【解惑】用你发现的规律解答下列问题．，， (1)计算_______． (2)探究_______．（用含有n的式子表示） (3)若的值为，求n的值． (4)解方程： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，解题的关键是要能发现其规律和拆分法的应用． （1）利用已知将各分数进行分解，进而化简求出答案； （2）利用已知将各分数进行分解，进而化简求出答案； （3）结合（2）中所求，进而分解各数，化简求得n的代数式，然后建立关于n的方程，即可求解； （4）先化简左边得出，进而得出，即，求解即可得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ∴， 解得： 经检验：为原方程的解； （4）解： ∴，即， ∴， ∴， 经检验：为原方程的解． 【融会贯通】 1．阅读与思考：观察下列式子：，，，， (1)（探索规律）用正整数表示上述式子的规律是______； (2)（问题解决）容器里有升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，，第次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这升水能否倒完？说明理由； (3)（拓展探究）化简：． 【答案】(1)； (2)不能倒完，理由见解析； (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，分式的化简，根据题意找出规律是解题关键． （1）观察所给式子，即可得到规律； （2）根据（1）所得规律，计算第次倒出后剩余的水量，即可得到答案； （3）根据将式子分解，再计算即可． 【详解】（1）解：观察所给式子可知，等号左边为分数，分子是1，分母为相邻两个整相邻数的积，等号右边为相同的相邻整式的倒数的差， 则用正整数表示上述式子的规律是， 故答案为：； （2）解：不能倒完，理由如下： 第次倒出后剩余的水量为 ， 即这升水不能倒完； （3）解： 2．阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分式的加减法和分式方程的解法，弄清题中的拆项法是解本题的关键． （1）由题干中的各式总结规律即可； （2）原式变形后，利用拆项法变形，抵消合并即可得到结果； （3）方程利用拆项法变形后，即可通过解分式方程求出解． 【详解】（1）由题意得，； （2） ； （3） ， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 则原方程的根是． 3．观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类． （1）根据已知条件中的等式，找出规律即可； （2）按照（1）中的规律进行计算即可； （3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 分式思维导图 【类型覆盖】 类型一、分式的变形求值 【解惑】若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【融会贯通】 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知：，则分式 . 3．若，则的值为 ． 类型二、分式中的取值范围 【解惑】若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 2．若分式的值为负，则的范围是 ． 3．当 时，分式的值是非负数． 类型三、分式方程的解为参(整)数 【解惑】如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【融会贯通】 1．已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 3．已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 类型四、分式方程的无解与增根 【解惑】关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A．0 B． C． D． 【融会贯通】 1．关于的方程无解，则取值为（　　） A．1或 B． C． D．或2 2．若关于x的分式方程无解，则 ． 3．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 类型五、分式与分式方程的新定义运算 【解惑】对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”即这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．定义新运算：，若，则的值是 ． 3．对于实数，，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 类型六、倒数法 【解惑】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 【融会贯通】 1．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 2．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值． 解：，，即．，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 3．阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 若，求代数式的值． 解：，，即，， ． (1)若，则________，________； (2)解分式方程组； (3)若，，，求的值． 类型七、分式方程的实际应用 【解惑】某商店用1800元购进一批背包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的背包，所购数量与第一批购进数量相同，但进价每个便宜了10元，结果购买第二批背包用了1500元．求第一批购进每个背包的进价是多少元． 【融会贯通】 1．《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进A，B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶比一个A种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2倍．求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 2．某商贩用960元从批发市场购进某种水果进行销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的质量是第一次购进质量的1.5倍．设第一次购进水果的质量为． (1)该商贩两次购进水果各多少千克； (2)若该商贩将两次购进的水果均按15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出后将余下部分每千克降价（为正整数）元全部售出，共获利1440元，则的值为______（直接写出结果）． 3．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地，设第一小时内行驶的速度为． (1)直接用含x的式子表示提速后走完剩余路程所用的时间为_________h； (2)求汽车实际走完全程所用的时间． 类型八、分式与分式方程的规律问题 【解惑】先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【融会贯通】 1．下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． (3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 2．解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； (1)请完成上面的填空； (2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； (3)请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解? 3．阅读下列材料： 方程的解为， 方程的解为x=2， 方程的解为， …… (1)根据上述规律，可知解为的方程为_________； (2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的． 类型九、分式与分式方程的新定义应用 【解惑】定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（   ）②，（   ）③，（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【融会贯通】 1．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 2．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 3．请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是_________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②已知，则_________，_________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)如果，，请用含有a和b的式子表示． 类型十、分式裂项 【解惑】用你发现的规律解答下列问题．，， (1)计算_______． (2)探究_______．（用含有n的式子表示） (3)若的值为，求n的值． (4)解方程： 【融会贯通】 1．阅读与思考：观察下列式子：，，，， (1)（探索规律）用正整数表示上述式子的规律是______； (2)（问题解决）容器里有升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，，第次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这升水能否倒完？说明理由； (3)（拓展探究）化简：． 2．阅读理解并回答问题： (1)观察下列各式： …… 请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来________； (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）； (3)请利用上述规律，解方程：． 3．观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$