15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(人教版2024)安徽专版

15.1 图形的轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 课题 线段的垂直平分线的性质与判定 课型 新授课 教学内容 教材第65-67页的内容 教学目标 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理和逆定理． 2.了解逆命题与逆定理的概念. 教学重难点 教学重点：线段的垂直平分线的性质定理和逆定理，尺规过一点作已知直线的垂线 教学难点：线段的垂直平分线的性质定理和逆定理的探究 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 【问题1】上节课我们学习了垂直平分线的概念，经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.根据我们之前研究几何问题的规律，接下来我们应该继续探究什么问题呢？ 教师指导学生回顾前面研究三角形的边和角，全等三角形，角平分线等过程，得出伴随几何概念的研究，一般继续探究性质与判定.这节课我们就将开始研究线段的垂直平分线的性质与判定方法. 2.发现探究，学习新知 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l 上，分别比较点P1，P2，P3，… 与点A 的距离和这些点与点B 的距离，你能发现什么？ 学生自行研究，得出结论：可以发现，P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，… ，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等. 追问：经过前面的研究你能得出什么结论呢？ 教师引导学生得出一般性的结论即线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 追问：前面我们是通过实验的方法得到的结论，能不能对这一结论进行证明呢？ 教师指导学生进行证明： 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证PA =PB． 证明：当点P与点C不重合时， ∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 【问题2】把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 学生自行给出证明： 如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为点C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB， PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．∴AC =BC． 又 PC⊥AB，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． 追问：通过上面的证明可以得到什么结论呢？ 教师引导学生得出结论： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 教师总结前面垂直平分线的性质及其逆定理：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合.也就是说线段的垂直平分线上包含了所有到线段两端点距离相等的点. 【问题3】分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，说明结论.教师总结：这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 3.学以致用，应用新知 考点1 线段的垂直平分线的性质 【例1】如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列判断正确的有_____ . ①AB⊥MN; ②MD=ND; ③AB是MN的垂直平分线; ④AD=BD. 答案：①④ 考点2 线段的垂直平分线的判定 【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E. 求证：直线AD是CE的垂直平分线． 证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上. 在Rt△ADC和Rt△ADE中， AD＝AD，CD＝ED， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE， ∴点A也在CE的垂直平分线上， ∴直线AD是CE的垂直平分线． 4.随堂训练，巩固新知 教材P67练习1,2. 【教材变式1】.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　） A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ ACB 答案：A 【教材变式2】如图所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm，则AC的长是 . 答案：10cm 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.线段的垂直平分线的性质和判定分别是什么？ 6.布置作业 1.教材P69习题15.1第4,5，6，8，13题； 2.教材P91复习题第2，3,10题； 3.学霸创新题P50-P51. 巩固复习上节课所学内容，帮助同学们回顾几何问题学习的一般过程. 让同学们自行测量猜想，然后用轴对称图形的折叠得到性质. 用三角形全等对性质进行证明，体现数学研究的严谨性，同时加深对这一性质的认识. 让同学们自行证明线段的垂直平分线的判定，让学生经历观察、探究、猜想、证明的完整过程. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括线段的垂直平分线的性质和判定. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 15.1 图形的轴对称 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 1.线段的垂直平分线的性质： 例题 2.线段的垂直平分线的判定： 练习 教学反思 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高． 学科网（北京）股份有限公司 $$