第17章 专题12 其他因式分解的方法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学习题课件(人教版2024)安徽专版

第十七章　因式分解 专题12　其他因式分解的方法 1 方法1 十字相乘法 典例1　［新趋势·材料阅读题］【阅读材料】人教版八年级上册教材第133页阅读与思考中讲述了用十字相乘法分解因式x2+3x+2的过程： 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 2 【解决问题】利用上述方法，将下列多项式分解因式： （1）x2+5x+6； （2）x2-2x-3. 【规范解答】 2×3 -3×1 （1）x2+5x+6=（x+2）（x+3）. （2）x2-2x-3=（x-3）（x+1）. 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 3 变式训练 1. 用十字相乘法分解因式： （1）x²+5x+4=________________； （2）x²-6x+8=________________； （3）x²+6x-7=________________； （4）x²-3x-28=_______________. （x+1）（x+4） （x-2）（x-4） （x+7）（x-1） （x-7）（x+4） 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 4 方法2 换元法 典例2　［新趋势·过程性学习］下面是某同学对多项式（m2-4m）（m2-4m+8）+16进行因式分解的过程. 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 5 （1）该同学第二步到第三步运用________________进行因式分解. （2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果. （3）请你模仿以上方法，尝试对多项式（x2-2x+4）·（x2-2x-2）+9进行因式分解. 完全平方公式 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 6 【规范解答】 （2）该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（m-2）4. （3）设x2-2x=y，则原式=（y+4）（y-2）+9=y2+2y+1=（y+1）2=（x2-2x+1）2=（x-1）4. x2-2x 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 7 变式训练 2. 用换元法分解因式： （1）（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4=_______________； （2）（4x2-4x）（4x2-4x+2）+1=_______________. （x-2）4 （2x-1）4　 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 8 方法3 分组分解法 典例3　［新趋势·材料阅读题］　【阅读材料】《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力. 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答. 例如，分解因式x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行因式分解. 过程如下： x2-2xy+y2-16=（x-y）2-16=（x-y+4）（x-y-4）. 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 9 这种分解因式的方法叫作分组分解法. 对于四项式的分组，可以是“一、三（或三、一）分组”，也可以是“二、二分组”. 【解决问题】根据以上方法分解因式： （1）a3-3a2-9a+27=________________； （2）x2-4xy+4y2-16=____________________. （a+3）（a-3）2 （x-2y+4）（x-2y-4） 提公因式 公式 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 10 【答案】 解析：（1）原式=（a3-3a2）-（9a-27） =a2（a-3）-9（a-3） =（a-3）（a2-9） =（a+3）（a-3）2. （2）原式=（x2-4xy+4y2）-16 =（x-2y）2-42 =（x-2y+4）（x-2y-4）. 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 11 变式训练 3. 用分组分解法分解因式： （1）a2-2ab+b2-1=__________________； （2）x3+x2-x-1=________________； （3）x2+y2-z2-2xy=___________________. （a-b+1）（a-b-1） （x-1）（x+1）2 （x-y-z）（x-y+z） 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 12 4. 若x²-y²-x+y=（x-y）·（A）恒成立，则A=___________. x+y-1 解析：因为x²-y²-x+y=（x²-y²）-（x-y）=（x-y）（x+y）-（x-y） =（x-y）（x+y-1）， 所以A=x+y-1. 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 13 5. 分解因式：4x2+4xy+12x+6y+y2+9. 解：原式=（4x2+4xy+y2）+（12x+6y）+9=（2x+y）2+6（2x+y）+9=（2x+y+3）2. 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 14 方法4 拆项补项法 典例4　［新趋势·材料阅读题］　 利用完全平方公式，可以将多项式a2x+bx+c（a，b，c均为常数，且a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，如x2-2x-8=（x2-2x+1）-9=（x-1）2-9，这样的变形方法叫作多项式ax2+bx+c的配方法. 运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如：x2-2x-8=（x-1）2-9=（x-1+3）（x-1-3）=（x+2）（x-4）. （1）根据以上材料，用多项式的配方法将x2+6x+5化成（x+m）2+n的形式是________________； （x+3）2-4 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 15 （2）把多项式x2+6x+5进行因式分解，结果为________________. 【答案】 （x+5）（x+1） 解析：（1）x2+6x+5=x2+6x+9-4=（x+3）2-4. （2）x2+6x+5=（x+3）2-4=（x+3+2）（x+3-2）=（x+5）（x+1）. 完全平方 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 16 变式训练 6. 用拆项补项法分解因式： （1）x2+8x+7； （2）a2-2ab-3b2； （3）a2-b2-4a+6b-5. 解：（1）原式=x2+8x+16-9=（x+4）2-9=（x+4+3）（x+4-3）=（x+7）（x+1）. （2）原式=a2-2ab+b2-4b2=（a-b）2-4b2=（a-b+2b）（a-b-2b）=（a+b）（a-3b）. （3）原式=a2-4a+4-（b2-6b+9）=（a-2）2-（b-3）2=（a-2+b-3）（a-2-b+3）=（a+b-5）（a-b+1）. 2 3 4 5 1 典例1 典例2 典例3 6 典例4 17 18 $$