精品解析：福建省三明市尤溪县第七中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

尤溪七中2024--2025（上）第一次过程性评价 九年级数学 一．填空题（每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程2x2－3x－1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 2、－1 B. 2、0 C. 2、3 D. 2、－3 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 4. 在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于( ) A. 3cm B. 4cm C. 2.5cm D. 2cm 6. 根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A. 1.1＜x＜1.2 B. 1.2＜x＜1.3 C. 1.3＜x＜1.4 D. 无法判定 7. 如图，在矩形中，，，为的中点，点，G分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为（　　） A. 18 B. 14 C. 16 D. 12 8. 受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点若，，则线段的长为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　） A. 6 B. 3 C. 2 D. 4.5 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 方程的根为__________ 12. 已知菱形的对角线，则菱形的面积为______． 13. 已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为__． 14. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为_______． 15. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________． 16. 如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是______．（填序号） 二．解答题（共86分） 17. 解方程：（配方法）． 18. 解方程：（公式法） 19. 20. 解方程：． 21. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形． （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积． 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根、． （1）求的取值范围； （2）若方程的一个根为，求方程的另一个根及的值． 23. 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若在每件降价幅度不超过10元的情况下，每件降价1元，则每天可多售5件． （1）如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ （2）每天是否可以获得3000元的利润？若可以，请确定每件应降价多少元；若不可以，请说明理由． 24. 阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下： ∵，由，得； ∴代数式的最小值是4. （1）仿照上述方法求代数式的最小值. （2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值. 25. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 尤溪七中2024--2025（上）第一次过程性评价 九年级数学 一．填空题（每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程2x2－3x－1＝0的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 2、－1 B. 2、0 C. 2、3 D. 2、－3 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项进行解答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是2，． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程移项得：x2-8x=-9，配方得：x2-8x+16=7，即（x-4）2=7， 故选A． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 4. 在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由已知三个内角为，可判定该四边形为矩形，再根据正方形的判定，添加一组邻边相等即可推出该四边形为正方形，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵四边形内角和为，， ∴， ∴四边形四个内角均为， ∴四边形是矩形． A、添加时，矩形中一组邻边相等，可推出矩形是正方形，符合要求； B、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求； C、可由已知条件推出，仍只能得到矩形，不符合要求； D、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求． 5. 如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于( ) A. 3cm B. 4cm C. 2.5cm D. 2cm 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵菱形ABCD的周长为24cm， ∴AB=24÷4=6cm， ∵对角线AC、BD相交于O点， ∴OB=OD，∵E是AD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE=AB=×6=3cm． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质和中位线的性质，掌握菱形和中位线的性质是解题关键． 6. 根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A. 1.1＜x＜1.2 B. 1.2＜x＜1.3 C. 1.3＜x＜1.4 D. 无法判定 【答案】C 【解析】 【分析】由表格可发现3的值在2.29和3.76之间，再看对应的x的值即可得． 【详解】由表可以看出,当x取1.3与1.4之间的某个数时,y=3,即这个数是的一个根． 的一个解x的取值范围为1.3<x<1.4． 故选C． 【点睛】考查了一元二次方程的近似解，看懂图表是解题的关键． 7. 如图，在矩形中，，，为的中点，点，G分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为（　　） A. 18 B. 14 C. 16 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质及等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是能够利用等腰三角形的性质证得两三角形全等． 首先根据等腰直角三角形的性质证得，从而得到，，然后根据梯形面积公式求得结论即可． 【详解】解：为等腰直角三角形，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，，为的中点， ，， ， ， 故选：C． 8. 受新型冠状病毒感染的影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据该企业某月份的生产总值以及经过两个月连续降低的生产总值，即可得到关于的一元二次方程，进而得到本题的正确选项． 【详解】解：依题意可得：， 故选． 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题的相关知识点，找出等量关系正确列出方程是解题的关键． 9. 如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点若，，则线段的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边对等角，相似三角形的性质与判定等等，根据题干的条件可得出为直角的中线，则，再由角平分线的定义和等边对等角得到，则，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵于点F，D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 10. 如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　） A. 6 B. 3 C. 2 D. 4.5 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，由PE+PM=PE′+PM=E′M知点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，利用S菱形ABCD= AC•BD=AB•E′M求得E′M的长即可得答案． 【详解】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P 则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点 则有PE+PM=PE′+PM=E′M ∵四边形ABCD是菱形 ∴点E′在CD上 ∵AC=6，BD=6 ∴AB= 由S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M得×6×6=3•E′M 解得：E′M=2 即PE+PM的最小值是2 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，确定出点P的位置是解题的关键． 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 12. 已知菱形的对角线，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 13. 已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为__． 【答案】1 【解析】 【分析】由a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则a2﹣2a＝1，然后将2a2﹣4a﹣1化为2（a2﹣2a）﹣1，最后将a2﹣2a＝1代入计算即可． 【详解】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根， ∴a2﹣2a＝1， ∴2a2﹣4a﹣1 ＝2（a2﹣2a）﹣1 ＝2×1﹣1 ＝1． 故答案为1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求值，正确理解一元二次方程的解的含义是解答本题的关键． 14. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为_______． 【答案】（100-x）（80-x）=7644 【解析】 【详解】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长为（100-x），宽为（80-x）的长方形， 根据长方形的面积公式列方程：（100-x）（80-x）=7644 故答案为：（100-x）（80-x）=7644 15. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________． 【答案】2.5## 【解析】 【分析】根据∠EDC：∠EDA=1： 2，可得∠EDC=30°， ∠EDA=60°，进而得出DC=AC，进而求得CE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC = 90°， AC= BD= 10，OA= OC=AC = 5，ОВ=OD=BD=5， ∴OС = OD， ∴∠ODC = ∠OCD ， ∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°， ∴∠EDC = 30°，∠EDA= 60°， ∵DE⊥ AC， ∴∠DEC= 90°， ∴∠DAC= 30°， ∴DC=AC= 5， ∴EC =DC= 2.5． 故答案为：2.5． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和矩形的性质，根据已知得出∠DAC=30°是解题关键． 16. 如图，，，点在上，四边形是矩形，连接，交于点，连接交于点．下列4个判断：①；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形，其中，判断正确的是______．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可判断①；先根据等腰三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后根据角的和差即可判断②；先证出，从而可得，再设，从而可得，由此即可判断③；先证出，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得为等腰三角形，然后根据角的和差可得，由此即可得判断④． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， （等腰三角形的三线合一），则①正确； ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ，则②错误； ， （等腰三角形的三线合一）， 在和中，， ， ， 设， ， ， ， ， ，则③正确； ， ， 连接， 点是线段的中点， ， 在和中，， ， ， 为等腰三角形， ， ，即， 为等腰直角三角形，则④正确； 综上，判断正确的是①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是④，正确找出两个全等三角形是解题关键． 二．解答题（共86分） 17. 解方程：（配方法）． 【答案】，． 【解析】 【分析】先移项得到x2+2x=3，再把方程两边加上1得到x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4，然后利用直接开平方法求解． 【详解】∵x2+2x=3，x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程． 18. 解方程：（公式法） 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，， ∴ ∴ 解得，． 19. 【答案】， 【解析】 【分析】先将方程变形为，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：方程变形，得 或 ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用公式法求解一元二次方程是解题的关键． 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：方程化为， 所以， 所以，． 21. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形． （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积． 【答案】 （1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠COD＝90°， ∴四边形OCED是矩形． （2）4． 【解析】 【分析】（1）由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD=90°，则可证得四边形CODE为矩形； （2）首先推知△ABC是等边三角形，所以AC=4，则OC=AC=2，根据勾股定理知，结合矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4， ∴AB＝BC＝CD＝4． 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝4， ∴OC＝AC＝2， ∴ ∴矩形OCED的面积是2×2＝4． 【点睛】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根、． （1）求的取值范围； （2）若方程的一个根为，求方程的另一个根及的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根，则，求解即可． （2）把代入，得出关于m的方程求解即可求出m值，再把m值代入方程，然后解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根、， ∴， 即， 解得：； 【小问2详解】 解：把代入，得 ， 即 解得：， ∴， ， 或， ∴，， ∴方程的另一个根为． 【点睛】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的解，根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次，有两实数根，则；没有实数根，则；反之也成立． 23. 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若在每件降价幅度不超过10元的情况下，每件降价1元，则每天可多售5件． （1）如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ （2）每天是否可以获得3000元的利润？若可以，请确定每件应降价多少元；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）每件应降价4元 （2）不可以获得3000元的利润， 理由如下： 设每件应降价y元（0＜y≤10且y为整数），则每件盈利（44﹣y）元，每天可售出（20+5y）件， 依题意得：（44﹣y）（20+5y）＝3000， 整理得：y2﹣40y+424＝0， ∵Δ＝（﹣40）2﹣4×1×424＝﹣96＜0， ∴此方程无实数根， ∴每天不可以获得3000元的利润． 【解析】 【分析】（1）设每件应降价x元（0＜x≤10且x为整数），则每件盈利（44﹣x）元，每天可售出（20+5x）件，利用每天获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）不可以，设每件应降价y元（0＜y≤10且y为整数），则每件盈利（44﹣y）元，每天可售出（20+5y）件，利用每天获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣96＜0，即可得出此方程无实数根，进而可得出每天不可以获得3000元的利润． 【小问1详解】 解：设每件应降价x元（0＜x≤10且x为整数），则每件盈利（44﹣x）元，每天可售出（20+5x）件， 依题意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600， 整理得：x2﹣40x+144＝0， 解得：x1＝4，x2＝36（不合题意，舍去）． 答：每件应降价4元． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记当Δ＜0时，方程无实数根． 24. 阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下： ∵，由，得； ∴代数式的最小值是4. （1）仿照上述方法求代数式的最小值. （2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值. 【答案】（1）；（2）有最大值，最大值为32. 【解析】 【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：（1）∵，由， 得 ； ∴代数式的最小值是； （2）， ∵， ∴， ∴代数式有最大值，最大值为32. 【点睛】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． 25. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形， 理由：由旋转可知：，， 又， 四边形是矩形． ∵． 四边形是正方形； （2）． 证明：如图，过点作，垂足为， 则， ． 四边形是正方形， ，． ， ． ． ∵， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）由旋转可知：，,再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明； （2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合、即可解答； （3）过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、则BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图：过E作EG⊥AD ∴GE//AB ∴∠1=∠2 设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x 在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15 ∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9 ∴BE=9,AE=12 ∴sin∠1= ,cos∠1= ∴sin∠2= ,cos∠2= ∴AG=7.2,GE=9.6 ∴DG=15-7.2=7.8 ∴DE=． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $