第15章 专题9 等腰三角形中的常见模型-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学习题课件(人教版2024)安徽专版

第十三章　轴对称 专题9　等腰三角形中的常见模型 1 模型1 一线三等角模型 2 3 4 5 6 7 1 8 2 针对训练 1. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12，点E在边AC上，AE的垂直平分线交BC于点D，连接AD，DE，若∠ADE=∠B，CD=3BD，则AE= （　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 C 2 3 4 5 6 7 1 8 3 2.（淮南龙湖中学期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=∠C=30°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE=30°，DE交AC于点E，在点D的运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠ADB的度数为___________. 105°或60° 2 3 4 5 6 7 1 8 4 模型2 手拉手模型 2 3 4 5 6 7 1 8 5 类型❶ 等边三角形中的手拉手模型 3.（铜陵十五中期中）如图，已知△ABC和△CDE，B，C，E在同一条直线上，AC=CB，∠ACB=60°，DC=EC，∠DCE=60°，BD与AE交于点F，连接CF. （1）求∠AFB的度数； 针对训练 解：∵∠ACB=60°，∠DCE=60°， ∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，即∠ACE=∠BCD. 2 3 4 5 6 7 1 8 6 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD（SAS）. ∴∠CBD=∠CAE. ∵∠CBD+∠ACB=∠CAE+∠AFB， ∴∠AFB=∠ACB=60°. 2 3 4 5 6 7 1 8 7 （2）求证：FC平分∠BFE. 解：证明：如图，过点C作CH⊥AE， 垂足为H，CN⊥BD，垂足为N. ∵△ACE≌△BCD，∴AE=BD，S△ACE=S△BCD， ∴AE·CH=BD·CN，∴CH=CN. 又CH⊥AE，CN⊥BD， ∴FC平分∠BFE. 2 3 4 5 6 7 1 8 8 【变式】　如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，且A，B，D在同一条直线上，连接AE交BC于点F，连接CD交BE于点G，AE，CD交于点H，连接BH，FG. 下列结论中正确的是________________（填序号）. ①AE=CD；②BF=BG；③BH⊥FG； ④∠AHC=60°；⑤△BFG是等边三角形； ⑥FG∥AD；⑦△ABF≌△CBG； ⑧△EFB≌△DGB. ①②④⑤⑥⑦⑧　 2 3 4 5 6 7 1 8 9 4. 如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点. （1）求证：AD=BE； 解：证明：∵△ABC，△CDE都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）. ∴AD=BE. 2 3 4 5 6 7 1 8 10 （2）求∠DOE的度数； 解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC. ∵△DCE为等边三角形，∴∠DCE=60°. 又∠DCE+∠BEC=∠DOE+∠ADC，∴∠DOE=∠DCE=60°. 2 3 4 5 6 7 1 8 11 （3）求证：△MNC是等边三角形. 解：证明：由（1）知，AD=BE，AC=BC，△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE. 又点M，N分别是线段AD，BE的中点，∴AM= AD，BN= BE，∴AM=BN. 在△ACM和△BCN中， ∴△ACM≌△BCN（SAS）. ∴CM=CN，∠ACM=∠BCN. ∵∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°， ∴△MNC是等边三角形. 2 3 4 5 6 7 1 8 12 类型❷ 等腰三角形中的手拉手模型 5.（阜阳颍泉期中）如图，以△ABC的边AB，AC为边分别作△ABD和△ACE，且AE=AB，AC=AD，CE与BD相交于点M，∠EAB=∠CAD=α. 2 3 4 5 6 7 1 8 13 （1）如图1，求证：△AEC≌△ABD； 解：证明：∵∠EAB=∠CAD=α， ∴∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC，∴∠EAC=∠BAD. 在△AEC和△ABD中， ∴△AEC≌△ABD（SAS）. 2 3 4 5 6 7 1 8 14 （2）在图1中，直接写出∠EMB=________（用含α的式子表示）； （3）如图2，若α=50°，G，H分别是EC，BD的中点，求∠AHG的度数. α 解：如图，连接AG. 由（1）知，△AEC≌△ABD， ∴∠AEC=∠ABD，EC=BD. ∵G，H分别是EC，BD的中点， ∴EG=EC，BH=BD， ∴EG=BH. 2 3 4 5 6 7 1 8 15 在△AEG和△ABH中， ∴△AEG≌△ABH（SAS）. ∴AG=AH，∠EAG=∠BAH， ∴∠GAH=∠GAB+∠BAH=∠GAB+∠EAG=∠EAB=α=50°. 又AG=AH，∴∠AHG=∠AGH= ×（180°−50°）=65°. 2 3 4 5 6 7 1 8 16 6. 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∠DAE=42°，则∠AEB的度数是 （　　） A. 128° B. 130° C. 132° D. 138° 类型❸ 等腰直角三角形中的手拉手模型 C 2 3 4 5 6 7 1 8 17 7. 如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM⊥DE，垂足为M，连接BE. （1）∠AEB的度数为________； （2）线段DM，AE，BE之间的数量关系为______________. 90° AE=BE+2DM 2 3 4 5 6 7 1 8 18 8. 如图，以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），连接BD，CE，BD与CE交于点F. 2 3 4 5 6 7 1 8 19 （1）求证：BD=CE； 解：证明：∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，即∠DAB=∠EAC. 在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC（SAS）. ∴BD=CE. 　 2 3 4 5 6 7 1 8 20 （2）求证：BD⊥CE； 解：证明：∵△ADB≌△AEC，∴∠ABD=∠ACE. ∵∠CAB=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°. 又∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ACE+∠DBC， ∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°，∴∠FCB+∠CBF=90°. 在△BCF中，∠FCB+∠CBF+∠BFC=180°， ∴∠BFC=90°， 即BD⊥CE. 2 3 4 5 6 7 1 8 21 （3）连接AF，有以下两个结论：①AF平分∠DAC；②FA平分∠EFB. 其中正确的为________（填序号）. ② 2 3 4 5 6 7 1 8 22 23 $$